DE · Abitur

Analytische Geometrie und Lineare Algebra

Die analytische Geometrie übersetzt Anschauung in Rechnung: Punkte werden Koordinaten, Geraden und Ebenen werden Gleichungen, und Fragen nach Lage, Abstand und Winkel werden zu Aufgaben, die man ausrechnen kann. Die KMK verankert das in den Leitideen L3 („Raum und Form") und L2 („Messen") — mit Abständen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen ausdrücklich im erhöhten Anforderungsniveau.

6 Abschnitte~18 Min Lesezeit4 KompetenzenStand 05/2026

T·0555 / 10

Prüfungsprofil

K4 · Mathematische Darstellungen verwendenK5 · Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehenK2 · Probleme mathematisch lösenK1 · Mathematisch argumentieren

Operatoren:berechnenbestimmenuntersuchenbegründennachweisen

grundlegendes Niveau

gA: geometrische Sachverhalte koordinatisieren, elementare Vektoroperationen ausführen und Kollinearität prüfen, das Skalarprodukt geometrisch deuten, Streckenlängen und Winkel bestimmen, Geraden und Ebenen analytisch beschreiben und Lagebeziehungen von GERADEN untersuchen (A2).

erhöhtes Niveau

eA: zusätzlich Lagebeziehungen von Geraden UND Ebenen untersuchen (A2) sowie Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen bestimmen (A2).

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Analytische Geometrie und Lineare Algebra

6 Abschnitte30 Merksätze8 Formeln30 Fehlerwarnungen

Vektoren — Komponenten, Operationen, Betrag#

~2 Min LesezeitBasisL3K4

Vektor im Raum — Pfeil vom Ursprung zum Punkt

Abb. 1Ortsvektor mit Komponenten in x-, y- und z-Richtung; Pfeilspitze am Punkt.

Ein Vektor ist keine Position, sondern eine VERSCHIEBUNG: Er beschreibt Richtung und Länge, nicht einen Ort. Alle Pfeile gleicher Länge und Richtung stellen denselben Vektor dar — er ist frei im Raum verschiebbar. Erst der ORTSVEKTOR, der stets im Ursprung beginnt, macht daraus die Beschreibung eines Punktes.

Diese Unterscheidung trägt die ganze Kapitelrechnung. Der Verbindungsvektor zweier Punkte entsteht als Differenz ihrer Ortsvektoren,

\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}

— „Spitze minus Fuß". Wer die Reihenfolge vertauscht, erhält den Gegenvektor und rechnet konsequent in die falsche Richtung weiter.

Addition und Skalarmultiplikation laufen komponentenweise. Geometrisch entspricht die Addition dem Aneinanderhängen der Pfeile, die Multiplikation mit

r > 0

einer Streckung ohne Richtungsänderung, mit

r < 0

zusätzlich der Umkehr. Zwei Vektoren heißen KOLLINEAR, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist — anschaulich: sie sind parallel.

Die Kollinearitätsprüfung ist eine Standardaufgabe und funktioniert komponentenweise: Man prüft, ob alle Quotienten

b_i/a_i

denselben Wert ergeben. Sorgfalt verlangt der Fall einer Nullkomponente — dort muss die entsprechende Komponente des anderen Vektors ebenfalls null sein, sonst liegt keine Kollinearität vor.

Der BETRAG

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

ist die Länge des Vektors und damit der räumliche Satz des Pythagoras. Er liefert unmittelbar den Abstand zweier Punkte als

|\overrightarrow{AB}|

und erlaubt die NORMIERUNG: Teilt man einen Vektor durch seinen Betrag, entsteht ein Einheitsvektor gleicher Richtung — die Standardform, in der Richtungen angegeben werden.

Vokabeln

→ Kartei

der VektorVerschiebung mit Richtung und Längefrei verschiebbar, kein Ort
der OrtsvektorVektor vom Ursprung zu einem Punkt
kollinearVielfache voneinander, also parallel
der BetragLänge des Vektors
der EinheitsvektorVektor der Länge 1 in gegebener Richtung

Betrag (Länge) eines Vektors im R³

|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

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Typische Fehler

$\overrightarrow{AB} = \vec a - \vec b$ statt $\vec b - \vec a$ gebildet.
Beim Betrag die Wurzel vergessen und das Quadrat der Länge angegeben.
Kollinearität nur an zwei von drei Komponenten geprüft.
Punkt und Ortsvektor gleichgesetzt und dadurch Verschiebung und Position vermischt.
Beim Normieren mit dem Betrag multipliziert statt durch ihn zu teilen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie allgemein, dass drei Punkte $A$ , $B$ , $C$ genau dann kollinear sind, wenn $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ linear abhängig sind. Erläutern Sie, wie sich diese Bedingung mit dem Kreuzprodukt in eine einzige Gleichung fassen lässt.

Aktive Wiederholung

Gegeben sind $A(1|2|3)$ , $B(4|0|-2)$ und $C(-2|6|13)$ . Bestimmen Sie $\overrightarrow{AB}$ und $|\overrightarrow{AB}|$ und untersuchen Sie, ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Begründen Sie Ihr Vorgehen.

Passende Aufgaben üben54 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L3 (Kultusministerkonferenz)

Skalarprodukt, Orthogonalität, Winkel#

~2 Min LesezeitStandardL2L3

Skalarprodukt — Bedeutung und Anwendungen

Abb. 2Das Skalarprodukt liefert eine ZAHL, kein Vektor. Aus dieser Zahl folgen Winkel, Orthogonalität und Länge — drei Aufgabenklassen aus einer Formel.

Das Skalarprodukt ist das Werkzeug, mit dem aus Vektoren WINKEL werden. Es verknüpft zwei Vektoren zu einer ZAHL — nicht zu einem Vektor, was der Name betont — und zwar auf zwei gleichwertige Weisen: rechnerisch als

\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

und geometrisch als

|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi

Die Gleichsetzung beider Formen ist der eigentliche Satz dieses Abschnitts, denn aus ihr folgt die Winkelformel

\cos\varphi = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

. Damit ist jeder Winkel im Raum berechenbar, ohne ihn zeichnen zu müssen — genau das meint „analytische" Geometrie.

Am wichtigsten ist das ORTHOGONALITÄTSKRITERIUM: Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Das folgt unmittelbar aus

\cos 90° = 0

und ist die am häufigsten gebrauchte Einzelaussage des ganzen Kapitels — Normalenvektoren, Lotfußpunkte und Abstandsformeln beruhen sämtlich darauf.

Das VORZEICHEN trägt Information, die man ohne Rechnung nutzen kann: Ein positives Skalarprodukt bedeutet einen spitzen Winkel, ein negatives einen stumpfen, null den rechten. Ergibt eine Winkelrechnung einen stumpfen Winkel, wo sachlich ein spitzer erwartet wird, ist meist ein Richtungsvektor falsch orientiert — der Betrag im Zähler behebt das, wenn nach dem SCHNITTWINKEL gefragt ist.

Ein häufiger Sonderfall ist der Nachweis, dass ein Dreieck rechtwinklig ist: Man bildet die drei Verbindungsvektoren und prüft die Skalarprodukte paarweise auf null. Das ist schneller und sicherer als der Weg über den Satz des Pythagoras mit Beträgen, weil keine Wurzeln auftreten.

Vokabeln

→ Kartei

das SkalarproduktVerknüpfung zweier Vektoren zu einer ZAHL
orthogonalsenkrecht; Skalarprodukt gleich null
der Schnittwinkelstets der spitze WinkelBetrag im Zähler verwenden
die Projektionsenkrechter Schatten eines Vektors auf einen anderen

Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

\vec{a}\cdot \vec{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos\varphi

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Typische Fehler

Das Skalarprodukt als Vektor behandelt; es ist eine Zahl.
Die Beträge im Nenner der Winkelformel vergessen.
Bei Schnittwinkeln den Betrag weggelassen und einen stumpfen Winkel angegeben.
Aus $\vec a\cdot\vec b = 0$ auf $\vec a = \vec 0$ oder $\vec b = \vec 0$ geschlossen.
Den Taschenrechner im Bogenmaß belassen und das Ergebnis in Grad interpretiert.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie aus dem Skalarprodukt die Projektionsformel her, die die Länge der Projektion von $\vec a$ auf $\vec b$ als $\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}$ angibt, und deuten Sie sie geometrisch. Erläutern Sie, wie diese Größe beim Lotfußpunktverfahren gebraucht wird.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie für $\vec{a} = (1|2|3)$ und $\vec{b} = (4|0|-2)$ das Skalarprodukt, beide Beträge und den eingeschlossenen Winkel. Beurteilen Sie anhand des Vorzeichens, ob der Winkel spitz oder stumpf ist, bevor Sie rechnen.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitideen L2 und L3 (Kultusministerkonferenz)

Geraden im Raum — Parameterform und Lage#

~3 Min LesezeitStandardL3K2

Lagebeziehungen von Geraden im Raum

Abb. 3Im Raum gibt es einen vierten Fall, den es in der Ebene nicht gibt: windschief. Die Prüfreihenfolge ist deshalb wichtig.

Im Raum gibt es keine Geradengleichung der Form

y = mx + b

— eine solche Gleichung beschreibt dort eine EBENE. Geraden werden stattdessen parametrisch angegeben:

\vec{x} = \vec{p} + t\cdot\vec{u}

mit einem Stützvektor

\vec{p}

zu einem Punkt der Geraden und einem Richtungsvektor

\vec{u}

. Der Parameter

t

durchläuft alle reellen Zahlen und erzeugt so jeden Punkt.

Diese Darstellung ist NICHT eindeutig: Jeder Punkt der Geraden taugt als Stützvektor, und jedes Vielfache des Richtungsvektors als Richtung. Zwei äußerlich verschiedene Gleichungen können dieselbe Gerade beschreiben — deshalb ist der Nachweis der Gleichheit selbst eine Aufgabe: Richtungsvektoren kollinear UND ein Punkt der einen liegt auf der anderen.

Die Punktprobe ist das Grundwerkzeug: Ein Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn das Gleichungssystem

\vec{q} = \vec{p} + t\vec{u}

EINEN Parameter

t

besitzt, der ALLE drei Komponentengleichungen zugleich erfüllt. Ein

t

, das nur zwei Zeilen löst, beweist gerade das Gegenteil.

Für die Lage zweier Geraden im Raum gibt es vier Möglichkeiten, und ihre Unterscheidung folgt einem festen Ablauf. Zuerst prüft man die Richtungsvektoren auf Kollinearität: Sind sie kollinear, so sind die Geraden identisch oder echt parallel — entschieden durch eine Punktprobe. Sind sie es nicht, so schneiden sie sich oder sind windschief.

Diese letzte Entscheidung fällt über das Gleichsetzen der Parameterformen. Das entstehende System hat drei Gleichungen für zwei Unbekannte und ist damit ÜBERBESTIMMT: Man löst zwei Gleichungen und prüft die dritte. Passt sie, schneiden sich die Geraden; passt sie nicht, sind sie windschief. Der Fall windschief hat kein Gegenstück in der Ebene und wird deshalb besonders gern geprüft.

Vokabeln

→ Kartei

die Parameterform$\vec x = \vec p + t\,\vec u$
der StützvektorOrtsvektor eines Punktes der Geraden
der Richtungsvektorgibt die Richtung der Geraden an
windschiefweder parallel noch schneidendnur im Raum möglich
die PunktprobePrüfung, ob ein Punkt auf der Geraden liegt

Parameterform einer Geraden

g: \vec{x} = \vec{p} + t\cdot \vec{u},\quad t\in\mathbb{R}

Musterlösung

Lagebeziehung zweier Geraden

Untersuchen Sie die Lage der Geraden $g: \vec{x} = (1, 0, 2)^{T} + t(1, 1, 1)^{T}$ und $h: \vec{x} = (3, 3, 4)^{T} + s(2, 2, 2)^{T}$ .

Schritt 1 — Richtungsvektoren
$\vec{u} = (1,\,1,\,1)^{T}$ , $\vec{v} = (2,\,2,\,2)^{T} = 2\vec{u}$ — kollinear, also sind $g$ und $h$ parallel oder identisch.
Schritt 2 — Punktprobe
Setze den Stützpunkt $(3,\,3,\,4)^{T}$ von $h$ in $g$ ein: aus der ersten Komponente $1+t=3$ folgt $t=2$ . Für $t=2$ liefert $g$ aber $(3,\,2,\,4)^{T}$ — die zweite Komponente ergibt $2\neq 3$ (Widerspruch).
Schritt 3 — Schluss
Der Stützpunkt von $h$ liegt nicht auf $g$ ; bei kollinearen Richtungsvektoren ohne gemeinsamen Punkt sind die Geraden echt parallel (nicht identisch).

Ergebnis: $g$ und $h$ sind echt parallel — gleiche Richtung, aber kein gemeinsamer Punkt.

Typische Fehler

Beim Gleichsetzen zweier Geraden denselben Parameter verwendet.
Die dritte Gleichung nach dem Lösen der ersten beiden nicht geprüft und windschief mit schneidend verwechselt.
Aus nicht-kollinearen Richtungsvektoren sofort auf einen Schnittpunkt geschlossen.
Bei der Punktprobe nur zwei Komponenten geprüft.
Als Ergebnis die Parameterwerte angegeben statt den Schnittpunkt auszurechnen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie, warum es im Raum windschiefe Geraden gibt, in der Ebene aber nicht, und leiten Sie daraus ab, wie viele Bedingungen zwei Geraden im Raum erfüllen müssen, um sich zu schneiden. Erläutern Sie, wie sich der Abstand zweier windschiefer Geraden über einen zu beiden orthogonalen Vektor bestimmen lässt.

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie die Lage der Geraden $g:\ \vec{x} = (1|0|2) + t\,(2|1|-1)$ und $h:\ \vec{x} = (3|1|0) + s\,(-4|-2|2)$ . Benennen Sie das Ergebnis mit dem Fachbegriff und begründen Sie jeden Schritt Ihres Vorgehens.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L3 (A2) (Kultusministerkonferenz)

Ebenen — Parameter-, Normalen- und Koordinatenform#

~3 Min LesezeitStandardL3K4

Ebene durch Stützvektor und Normalenvektor

Abb. 4Normalenform: n⃗ · (x⃗ − p⃗) = 0; die Ebene ist Menge aller x⃗ senkrecht auf n⃗ durch P.

Eine Ebene wird durch einen Punkt und ZWEI nicht-kollineare Richtungsvektoren aufgespannt:

\vec{x} = \vec{p} + r\,\vec{u} + s\,\vec{v}

. Die Bedingung der Nicht-Kollinearität ist wesentlich — sind beide Richtungen parallel, entsteht nur eine Gerade. Zwei Parameter statt einem sind der formale Ausdruck dafür, dass eine Ebene zweidimensional ist.

Ungleich mächtiger ist die NORMALENFORM. Sie beschreibt die Ebene über einen Vektor

\vec{n}

, der auf ihr senkrecht steht: Ein Punkt

X

liegt genau dann in der Ebene, wenn

\vec{n}\cdot(\vec{x} - \vec{p}) = 0

gilt. Ausmultipliziert entsteht die KOORDINATENFORM

n_1x + n_2y + n_3z = d

— eine einzige Gleichung ohne Parameter.

Der praktische Wert dieser drei Formen liegt darin, dass jede ihre eigene Stärke hat: Die Parameterform erzeugt bequem Punkte, die Koordinatenform prüft in einer Zeile, ob ein Punkt in der Ebene liegt, und die Normalenform ist der Ausgangspunkt aller Abstands- und Winkelrechnungen. Der WECHSEL zwischen ihnen ist deshalb eine Kernfertigkeit und wird regelmäßig eigens verlangt.

Von der Parameter- zur Normalenform gelangt man über einen Vektor, der auf BEIDEN Spannvektoren senkrecht steht — das leistet das Kreuzprodukt

\vec{u}\times\vec{v}

unmittelbar. Alternativ, und ohne Kreuzprodukt, löst man das lineare System

\vec{n}\cdot\vec{u} = 0

und

\vec{n}\cdot\vec{v} = 0

; auch dieser Weg ist zulässig und in manchen Ländern der geforderte.

Umgekehrt liest man aus der Koordinatenform den Normalenvektor direkt an den KOEFFIZIENTEN ab: Bei

2x + y - 2z = 6

ist

\vec{n} = (2|1|-2)

. Die Spurpunkte — die Schnittpunkte mit den Achsen — erhält man, indem man jeweils zwei Koordinaten null setzt; sie liefern schnell eine anschauliche Skizze der Ebene.

Vokabeln

→ Kartei

die Normalenform$\vec n\cdot(\vec x - \vec p) = 0$
die Koordinatenform$n_1x + n_2y + n_3z = d$Koeffizienten sind der Normalenvektor
der Normalenvektorsteht senkrecht auf der Ebene
die Spannvektorenzwei nicht-kollineare Richtungen der Ebene
der SpurpunktSchnittpunkt der Ebene mit einer Koordinatenachse

Drei Darstellungen einer Ebene

\text{Parameter: } \vec{x} = \vec{p} + s\vec{u} + t\vec{v}\;\;|\;\;\text{Normalen: } \vec{n}\cdot(\vec{x} - \vec{p}) = 0\;\;|\;\;\text{Koord.: } ax_{1} + bx_{2} + cx_{3} = d

Kreuzprodukt (Vektorprodukt) — Normalvektor auf \vec{a} und \vec{b}

\vec{a}\times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2} \\ a_{3}b_{1} - a_{1}b_{3} \\ a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \end{pmatrix}

Typische Fehler

Kollineare Spannvektoren gewählt und dadurch nur eine Gerade beschrieben.
Nach dem Aufstellen der Koordinatenform vergessen, $d$ über den Stützpunkt zu bestimmen.
Den Normalenvektor mit einem Spannvektor verwechselt.
Beim Kreuzprodukt die Reihenfolge vertauscht und das Vorzeichen des Normalenvektors nicht beachtet (zulässig, aber konsistent zu halten).
Die Parameterform für eine Punktprobe verwendet, wo die Koordinatenform eine Zeile genügt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Untersuchen Sie die Lagebeziehungen zweier Ebenen (identisch, parallel, schneidend) anhand ihrer Normalenvektoren und begründen Sie, warum sich zwei nicht-parallele Ebenen im Raum stets in einer GERADEN schneiden. Bestimmen Sie für ein selbst gewähltes Beispiel diese Schnittgerade.

Aktive Wiederholung

Die Ebene $E$ enthält $P(1|0|2)$ und wird von $\vec{u} = (2|1|0)$ und $\vec{v} = (0|1|3)$ aufgespannt. Bestimmen Sie einen Normalenvektor, stellen Sie die Koordinatenform auf und prüfen Sie, ob $Q(3|2|5)$ in $E$ liegt.

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Abstands- und Lotfußpunktaufgaben#

~3 Min LesezeitStandardL2L3

Abstandsberechnungen im Raum

Abb. 5Alle Abstände lassen sich auf denselben Gedanken zurückführen: den LOTFUSSPUNKT. Die Formeln sind Abkürzungen dieses Weges.

Abstand bedeutet in der Geometrie immer den KLEINSTEN Abstand, und dieser wird stets längs der Senkrechten gemessen. Aus diesem einen Satz folgt jede Formel dieses Abschnitts: Wo ein Abstand gesucht ist, ist eine Orthogonalitätsbedingung der Schlüssel — und damit das Skalarprodukt.

Der Abstand eines Punktes von einer EBENE ist der bequemste Fall, weil die Hessesche Normalform ihn in einer Zeile liefert:

d = \dfrac{|n_1x_0 + n_2y_0 + n_3z_0 - d_E|}{|\vec{n}|}

. Der Betrag im Zähler macht das Ergebnis vorzeichenfrei; die Division durch

|\vec{n}|

ist der Schritt, der am häufigsten vergessen wird und das Ergebnis um einen konstanten Faktor verfälscht.

Der Abstand eines Punktes von einer GERADEN verlangt den Lotfußpunkt. Das Standardverfahren ist immer dasselbe: Man schreibt einen allgemeinen Geradenpunkt

F(t)

hin, bildet den Verbindungsvektor

\overrightarrow{PF}

zum gegebenen Punkt und erzwingt Orthogonalität zum Richtungsvektor über

\overrightarrow{PF}\cdot\vec{u} = 0

. Diese eine Gleichung liefert

t

, damit

F

und schließlich den Abstand als

|\overrightarrow{PF}|

Genau dieses Verfahren trägt weiter, als es zunächst scheint: Es liefert nicht nur den Abstand, sondern auch den LOTFUSSPUNKT selbst — und der wird gebraucht, wenn nach dem Spiegelpunkt gefragt ist. Der an einer Geraden oder Ebene gespiegelte Punkt ergibt sich als

\vec{p}' = 2\vec{f} - \vec{p}

, weil der Lotfußpunkt die Mitte zwischen Punkt und Spiegelpunkt ist.

Bei parallelen Objekten vereinfacht sich alles: Der Abstand zweier paralleler Ebenen oder einer Geraden von einer zu ihr parallelen Ebene ist der Abstand EINES beliebigen Punktes des einen Objekts vom anderen. Man wählt dafür den Stützpunkt — die Wahl ist frei, weil der Abstand überall gleich ist, und genau diese Begründung gehört in die Lösung.

Vokabeln

→ Kartei

die Hessesche Normalformnormierte Normalenform für Abstandsrechnungen
der LotfußpunktFußpunkt des Lots vom Punkt auf Gerade oder Ebene
der SpiegelpunktPunkt mit dem Lotfußpunkt als Mitte
das Lotdie Senkrechtelängs ihr wird jeder Abstand gemessen

Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

\vec{a}\cdot \vec{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos\varphi

Musterlösung

Abstand Punkt — Ebene mit Hesse-Normalform

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $P(1\mid 2\mid -3)$ von der Ebene $E: 2x_{1} - x_{2} + 2x_{3} = 6$ .

Schritt 1 — Normalenvektor
$\vec{n} = (2, -1, 2)^{T}$ mit $|\vec{n}| = \sqrt{4+1+4} = 3$ .
Schritt 2 — Hesse-Normalform
Normiere: $\tfrac{1}{3}(2x_{1} - x_{2} + 2x_{3} - 6) = 0$ .
Schritt 3 — Punkt einsetzen
Mit der Konstanten $d_{0}=6$ der Koordinatenform: $d(P,E) = \tfrac{|2\cdot 1 - 1\cdot 2 + 2\cdot(-3) - 6|}{3} = \tfrac{|2 - 2 - 6 - 6|}{3} = \tfrac{12}{3} = 4$ .
$d(P, E) = \dfrac{|\vec{n}\cdot \vec{p} - d_{0}|}{|\vec{n}|}$

Ergebnis: Abstand $d(P, E) = 4$ LE.

Typische Fehler

Die Division durch $|\vec n|$ in der Hesseschen Normalform weggelassen.
Beim Lotfußpunkt das Skalarprodukt mit dem Stützvektor statt mit dem Richtungsvektor gebildet.
Den Betrag im Zähler vergessen und einen negativen Abstand angegeben.
Beim Spiegelpunkt $\vec p' = \vec f - \vec p$ statt $2\vec f - \vec p$ gerechnet.
Bei parallelen Ebenen die Stützpunkte voneinander subtrahiert, statt einen Punkt-Ebene-Abstand zu bestimmen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Entwickeln Sie ein Verfahren für den Abstand zweier WINDSCHIEFER Geraden, indem Sie einen zu beiden Richtungsvektoren orthogonalen Vektor bilden und den Verbindungsvektor der Stützpunkte darauf projizieren. Begründen Sie, warum dieses Vorgehen den kleinsten Abstand liefert.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $P(3|1|-1)$ von der Ebene $E:\ 2x + y - 2z = 6$ . Berechnen Sie anschließend den Lotfußpunkt und den an $E$ gespiegelten Punkt $P'$ .

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Schnittwinkel und Körperberechnungen#

~4 Min LesezeitVertiefungL2L3

Winkel und Körperberechnungen

Abb. 6Bei Winkeln zwischen Ebenen und Geraden entscheidet, ob mit dem Normalen- oder dem Richtungsvektor gerechnet wird — daher der Wechsel von cos zu sin.

Winkel zwischen geometrischen Objekten werden stets über die passenden Vektoren bestimmt, und die Wahl entscheidet über die Formel. Zwischen zwei GERADEN rechnet man mit den Richtungsvektoren, zwischen zwei EBENEN mit den Normalenvektoren — in beiden Fällen mit dem Betrag im Zähler, damit der spitze Winkel herauskommt.

Der Winkel zwischen Gerade und Ebene ist der Sonderfall, der am häufigsten falsch gerechnet wird. Bildet man das Skalarprodukt aus Richtungs- und Normalenvektor, erhält man den Winkel zur NORMALEN — nicht zur Ebene. Der gesuchte Winkel ist sein Komplement, weshalb hier der SINUS steht:

\sin\varphi = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}

Für Flächen und Volumina liefert die Vektorrechnung geschlossene Formeln. Das KREUZPRODUKT

\vec{u}\times\vec{v}

steht senkrecht auf beiden Vektoren, und sein BETRAG ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms — die Dreiecksfläche ist demnach die Hälfte davon. Damit lassen sich Flächen im Raum berechnen, ohne Höhen konstruieren zu müssen.

Das SPATPRODUKT

(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}

liefert entsprechend das Volumen des aufgespannten Spats, und ein Sechstel davon ist das Volumen der Pyramide über demselben Dreieck. Verschwindet das Spatprodukt, so liegen die drei Vektoren in einer Ebene — sie sind komplanar, und das Volumen ist null. Diese Nullbedingung ist ein eleganter Komplanaritätstest.

In Anwendungsaufgaben treten diese Werkzeuge fast immer kombiniert auf: Aus gegebenen Eckpunkten werden Kantenvektoren gebildet, daraus Flächen über das Kreuzprodukt, das Volumen über das Spatprodukt und schließlich Höhen als Volumen geteilt durch Grundfläche. Wer diese Kette kennt, löst Körperaufgaben ohne jede räumliche Konstruktion.

Vokabeln

→ Kartei

das KreuzproduktVektor senkrecht auf beiden; Betrag = Parallelogrammfläche
das Spatprodukt$(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w$; Betrag = Spatvolumen
komplanarin einer gemeinsamen Ebene liegendSpatprodukt null
der Schnittwinkel Gerade–Ebeneüber den SINUS zu bestimmen

Schnittwinkel zwischen Ebenen bzw. Gerade und Ebene

\cos\alpha = \frac{|\vec{n}_{1}\cdot \vec{n}_{2}|}{|\vec{n}_{1}|\,|\vec{n}_{2}|}\;(\text{Ebene–Ebene}),\qquad \sin\beta = \frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}\;(\text{Gerade–Ebene})

Bei Gerade–Ebene tritt der Sinus auf, weil der gesuchte Winkel das Komplement des Winkels zwischen Richtungs- und Normalenvektor ist; der Betrag im Zähler liefert stets den spitzen Winkel.

Flächen- und Volumenformeln mit Vektoren

A_{\triangle} = \tfrac{1}{2}\,|\vec{a}\times \vec{b}|,\qquad V_{\text{Spat}} = |(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|,\qquad V_{\text{Pyr}} = \tfrac{1}{3}\,G\cdot h

Der Betrag des Kreuzprodukts ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms; das Spatprodukt liefert das Volumen des Parallelepipeds.

Musterlösung

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden $g:\vec{x}=(0,\,0,\,0)^{T}+t\,(2,\,1,\,2)^{T}$ und der Ebene $E: x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=6$ .

Schritt 1 — Vektoren ablesen
Richtungsvektor $\vec{u}=(2,\,1,\,2)^{T}$ , Normalenvektor $\vec{n}=(1,\,2,\,2)^{T}$ aus der Koordinatenform.
Schritt 2 — Beträge und Skalarprodukt
$\vec{u}\cdot \vec{n}=2+2+4=8$ ; $|\vec{u}|=\sqrt{4+1+4}=3$ , $|\vec{n}|=\sqrt{1+4+4}=3$ .
Schritt 3 — Sinusformel anwenden
$\sin\beta=\dfrac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}=\dfrac{8}{3\cdot 3}=\dfrac{8}{9}\approx 0{,}889$ .
$\sin\beta=\frac{8}{9}\approx 0{,}889$
Schritt 4 — Winkel deuten
$\beta=\arcsin\!\left(\tfrac{8}{9}\right)\approx 62{,}7^{\circ}$ : ein spitzer Schnittwinkel, da Richtungs- und Normalenvektor nicht parallel sind.

Ergebnis: Der Schnittwinkel beträgt $\beta\approx 62{,}7^{\circ}$ — die Gerade durchstößt die Ebene unter einem spitzen Winkel.

Musterlösung

Dreiecksfläche über das Kreuzprodukt

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten $A(1\mid 0\mid 0)$ , $B(0\mid 2\mid 0)$ , $C(0\mid 0\mid 2)$ .

Schritt 1 — Spannvektoren
$\vec{AB}=B-A=(-1,\,2,\,0)^{T}$ und $\vec{AC}=C-A=(-1,\,0,\,2)^{T}$ .
Schritt 2 — Kreuzprodukt
$\vec{AB}\times \vec{AC}=(2\cdot 2-0\cdot 0,\;0\cdot(-1)-(-1)\cdot 2,\;(-1)\cdot 0-2\cdot(-1))=(4,\,2,\,2)^{T}$ .
$\vec{AB}\times \vec{AC}=(4,\,2,\,2)^{T}$
Schritt 3 — Betrag
$|\vec{AB}\times \vec{AC}|=\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ .
Schritt 4 — Fläche
Dreiecksfläche $A_{\triangle}=\tfrac{1}{2}\,|\vec{AB}\times \vec{AC}|=\tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6}=\sqrt{6}\approx 2{,}449$ .
$A_{\triangle}=\sqrt{6}\approx 2{,}45$

Ergebnis: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist $A_{\triangle}=\sqrt{6}\approx 2{,}45$ FE.

Typische Fehler

Bei Gerade–Ebene mit dem Kosinus gerechnet und den Komplementwinkel angegeben.
Die Dreiecksfläche als voller Betrag des Kreuzprodukts angegeben statt als Hälfte.
Beim Pyramidenvolumen den Faktor $\tfrac{1}{6}$ vergessen.
Den Betrag im Zähler weggelassen und einen stumpfen Schnittwinkel erhalten.
Beim Kreuzprodukt eine Komponente falsch vorzeichnet — die Probe über das Skalarprodukt mit $\vec u$ und $\vec v$ (beide null) wurde ausgelassen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie, dass das Spatprodukt genau dann null ist, wenn die drei Vektoren komplanar sind, und deuten Sie diesen Zusammenhang über die Determinante. Bestimmen Sie anschließend den Abstand des Punktes $D$ von der Ebene $ABC$ auf zwei Wegen — über die Hessesche Normalform und über Volumen geteilt durch Grundfläche — und vergleichen Sie die Ergebnisse.

Aktive Wiederholung

Gegeben sind $A(0|0|0)$ , $B(4|0|0)$ , $C(0|3|0)$ und $D(0|0|5)$ . Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ , das Volumen der Pyramide $ABCD$ und den Schnittwinkel zwischen der Geraden $AD$ und der Ebene durch $A$ , $B$ und $C$ .

Passende Aufgaben üben54 Fragen zum Thema

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitideen L2 und L3 (Kultusministerkonferenz)

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Belege & Quellen

Quellen

Kultusministerkonferenz

Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L3

Siehe auch