DE · Abitur

Matrizen und Übergangsprozesse

Matrizen sind das Werkzeug, mit dem sich mehrstufige Prozesse in einer einzigen Rechnung fassen lassen: Wanderungsbewegungen zwischen Städten, Marktanteile zwischen Anbietern, Altersstufen einer Population. Die KMK nennt sie ausdrücklich in Leitidee L1 — mathematische Prozesse durch Matrizen unter Nutzung von Matrizenmultiplikation und inversen Matrizen beschreiben, im erhöhten Niveau ergänzt um Potenzen, Grenzmatrizen und Fixvektoren.

6 Abschnitte~19 Min Lesezeit4 KompetenzenStand 05/2026

T·0666 / 10

Prüfungsprofil

K3 · Mathematisch modellierenK5 · Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehenK4 · Mathematische Darstellungen verwendenK2 · Probleme mathematisch lösen

Operatoren:berechnenbestimmeninterpretierenbegründenbeurteilen

grundlegendes Niveau

gA: einfache Sachverhalte mit Tupeln oder Matrizen beschreiben; mathematische Prozesse durch Matrizen unter Nutzung von Matrizenmultiplikation und inversen Matrizen beschreiben (A1).

erhöhtes Niveau

eA: zusätzlich Potenzen von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen nutzen sowie Grenzmatrizen und Fixvektoren interpretieren (A1); Eigenwerte und Eigenvektoren als Werkzeug für das Langzeitverhalten deuten.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Matrizen und Übergangsprozesse

6 Abschnitte30 Merksätze4 Formeln30 Fehlerwarnungen

Matrizen — Operationen und Inverse#

~3 Min LesezeitBasisL1K5

Matrizenrechnung — Regeln und Fallen

Abb. 1🔴 Die Matrizenmultiplikation ist NICHT kommutativ: A·B und B·A sind im Allgemeinen verschieden — oft ist nur eines von beiden überhaupt definiert.

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, das Daten mit ZWEI Ordnungsmerkmalen aufnimmt — etwa Produktionsmengen nach Werk und Produkt oder Übergangsanteile von jedem Zustand in jeden anderen. Ihr Format

m \times n

nennt zuerst die Zeilen, dann die Spalten; diese Reihenfolge ist Konvention und muss durchgehalten werden.

Addition und Skalarmultiplikation laufen elementweise und setzen gleiches Format voraus — hier gibt es keine Überraschungen. Die MULTIPLIKATION dagegen ist die eigentliche Erfindung: Das Element in Zeile

i

, Spalte

j

des Produkts entsteht als Skalarprodukt der

i

-ten ZEILE von

A

mit der

j

-ten SPALTE von

B

. Definierbar ist sie nur, wenn die Spaltenzahl von

A

mit der Zeilenzahl von

B

übereinstimmt.

Diese Regel wirkt willkürlich, ist es aber nicht: Sie ist genau so gebaut, dass die Matrix die HINTEREINANDERAUSFÜHRUNG zweier Prozesse beschreibt. Wendet man erst

B

und dann

A

an, so leistet das Produkt

A\cdot B

beides in einem Schritt — deshalb ist die Multiplikation die zentrale Operation und nicht die Addition.

Die Matrixmultiplikation ist NICHT kommutativ:

A\cdot B

und

B\cdot A

sind im Allgemeinen verschieden und oft nicht einmal beide definiert. Sachlich ist das einleuchtend — „erst umfüllen, dann erhitzen" ergibt etwas anderes als die umgekehrte Reihenfolge. Assoziativ und distributiv ist sie dagegen sehr wohl, sodass Klammern verschoben werden dürfen, die REIHENFOLGE aber nicht.

Die Einheitsmatrix

E

mit Einsen auf der Hauptdiagonale spielt die Rolle der Zahl 1. Eine INVERSE

A^{-1}

mit

A\cdot A^{-1} = E

macht einen Prozess rückgängig und beantwortet damit die Rückwärtsfrage: Welcher Anfangszustand führt auf einen beobachteten Endzustand? Sie existiert genau dann, wenn die Determinante von null verschieden ist — andernfalls ist Information verloren gegangen und der Prozess nicht umkehrbar.

Vokabeln

→ Kartei

die Matrixrechteckiges Zahlenschema im Format $m \times n$
die MatrixmultiplikationZeile mal Spalte; beschreibt Hintereinanderausführungnicht kommutativ
die EinheitsmatrixMatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale
die inverse Matrixmacht den Prozess rückgängig; existiert nur bei $\det \neq 0$
die HauptdiagonaleElemente mit gleichem Zeilen- und Spaltenindex

Matrixmultiplikation (Zeile · Spalte)

(A\cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

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Typische Fehler

Matrizen elementweise multipliziert statt Zeile mal Spalte.
Die Reihenfolge im Produkt vertauscht und damit den Prozess umgekehrt beschrieben.
Formate nicht geprüft und ein undefiniertes Produkt gebildet.
Eine Inverse angegeben, ohne die Determinante auf $\neq 0$ zu prüfen.
Zeilen- und Spaltenzahl im Format $m \times n$ vertauscht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie mithilfe der Determinante, wann eine $2\times 2$ -Matrix invertierbar ist, und deuten Sie den Fall $\det A = 0$ geometrisch als Abbildung, die die Ebene auf eine Gerade oder einen Punkt zusammenfallen lässt — und damit nicht umkehrbar ist.

Aktive Wiederholung

Gegeben sind $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ . Berechnen Sie $A\cdot B$ und $B\cdot A$ , vergleichen Sie die Ergebnisse und bestimmen Sie $A^{-1}$ mit Probe.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L1 (A1) (Kultusministerkonferenz)

Stochastische Übergangsmatrizen und Fixvektor#

~3 Min LesezeitStandardL1K3

Übergangsgraph zweier Zustände A und B

Abb. 2Übergangswahrscheinlichkeiten 0,7 (A→A), 0,3 (A→B), 0,4 (B→A), 0,6 (B→B).

Eine stochastische Übergangsmatrix beschreibt, welcher ANTEIL eines Zustands im nächsten Schritt in welchen anderen Zustand wechselt. Ihre Einträge sind Wahrscheinlichkeiten oder Anteile zwischen 0 und 1, und — das ist das Kennzeichen — die Einträge jeder SPALTE addieren sich zu 1, weil nichts verloren geht und nichts hinzukommt.

Diese Spaltensummenprobe ist die beste Selbstkontrolle beim Aufstellen. Ergibt eine Spalte nicht 1, ist entweder ein Übergang vergessen worden oder Zeilen und Spalten sind vertauscht. In manchen Lehrwerken wird zeilenweise notiert; entscheidend ist, die eigene Konvention zu benennen und durchzuhalten — mit Spaltenkonvention gilt

\vec{v}_{n+1} = M\cdot\vec{v}_n

Der Zustand nach

n

Schritten folgt dann durch wiederholte Anwendung, also

\vec{v}_n = M^{\,n}\cdot\vec{v}_0

. Genau das meint die KMK mit „Potenzen von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen nutzen": Statt

n

einzelner Schritte genügt eine Matrixpotenz — und die Einträge von

M^{\,n}

sind selbst wieder Übergangsanteile, nun über

n

Schritte hinweg.

Viele solcher Prozesse laufen auf einen stabilen Zustand zu, der sich nicht mehr ändert: den FIXVEKTOR

\vec{v}^*

mit

M\cdot\vec{v}^* = \vec{v}^*

. Bestimmt wird er als Lösung des homogenen Systems

(M - E)\vec{v} = \vec{0}

zusammen mit der Normierungsbedingung, dass die Komponenten sich zur Gesamtmenge addieren — ohne diese Zusatzbedingung ist die Lösung nur bis auf einen Faktor bestimmt.

Sachlich ist der Fixvektor die Verteilung, bei der Zu- und Abflüsse jedes Zustands sich genau aufheben. Bei Marktanteilen ist es der langfristige Gleichgewichtsanteil, bei Wanderungsbewegungen die Bevölkerungsverteilung, die sich einpendelt. Diese Deutung — nicht die Zahlen — ist in Prüfungsaufgaben die verlangte Leistung.

Vokabeln

→ Kartei

die ÜbergangsmatrixMatrix der Anteile, die zwischen Zuständen wechseln
stochastischalle Spaltensummen gleich 1
der FixvektorVerteilung mit $M\vec v = \vec v$langfristiges Gleichgewicht
die NormierungsbedingungSumme der Komponenten gleich der Gesamtmenge
der ZustandsvektorVerteilung zu einem Zeitpunkt

Fixvektor einer stochastischen Matrix M

M\cdot \vec{v} = \vec{v}\quad \Leftrightarrow\quad (M - E)\,\vec{v} = \vec{0}

Musterlösung

Langzeitverteilung über Fixvektor

Eine stochastische Matrix $M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ modelliert den Übergang zwischen Zuständen A und B. Bestimmen Sie den Fixvektor mit Anteilen $a + b = 1$ .

Schritt 1 — Fixvektor-Bedingung
$M\vec{v} = \vec{v}$ , also $\begin{cases} 0{,}7a + 0{,}4b = a \\ 0{,}3a + 0{,}6b = b \end{cases}$ .
Schritt 2 — Umformen
Aus der ersten Gleichung: $0{,}4b = 0{,}3a$ , also $b = 0{,}75 a$ .
Schritt 3 — Normierung
$a + 0{,}75 a = 1 \Rightarrow a = \tfrac{4}{7}\approx 0{,}571$ , $b = \tfrac{3}{7}\approx 0{,}429$ .
$\vec{v} = (\tfrac{4}{7}, \tfrac{3}{7})^{T}$

Ergebnis: Langzeitverteilung: rund 57 % im Zustand A, 43 % im Zustand B.

Typische Fehler

Zeilen und Spalten vertauscht und dadurch die Übergangsrichtung umgekehrt.
Beim Fixvektor die Normierungsbedingung vergessen und eine ganze Lösungsschar angegeben.
$\vec{v}_0 \cdot M$ statt $M \cdot \vec{v}_0$ gerechnet.
Eine Matrix als stochastisch bezeichnet, deren Spaltensummen nicht 1 ergeben.
Den Fixvektor berechnet, aber nicht im Sachzusammenhang gedeutet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie, dass der Fixvektor ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist, und begründen Sie, warum jede spaltenstochastische Matrix den Eigenwert 1 besitzt (Hinweis: Betrachten Sie die Zeilensummen der transponierten Matrix).

Aktive Wiederholung

Zwischen zwei Anbietern wandern jährlich $20\,\%$ der Kunden von A zu B und $30\,\%$ von B zu A. Stellen Sie die Übergangsmatrix auf, prüfen Sie die Spaltensummen, berechnen Sie die Verteilung nach zwei Jahren bei Startanteilen $(0{,}6;\,0{,}4)$ und bestimmen Sie den Fixvektor mit Deutung.

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Populationsmodelle und Verflechtungsmatrizen#

~3 Min LesezeitVertiefungL1K3

Wachstumsmodelle im Vergleich

Abb. 3Jedes Modell folgt aus einer Annahme über die WACHSTUMSRATE. Wer die Annahme benennt, kann das Modell begründen statt es nur anzuwenden.

Nicht jede Prozessmatrix ist stochastisch. Bei POPULATIONSMODELLEN nach Leslie beschreiben die Einträge keine Anteile, sondern Fortpflanzungs- und Überlebensraten — die Gesamtzahl darf und soll sich ändern. Die erste Zeile enthält die Fruchtbarkeitsraten der Altersklassen, die Subdiagonale die Überlebensraten von einer Klasse in die nächste; alles andere ist null.

Diese Struktur ist keine Willkür, sondern die direkte Übersetzung des Sachverhalts: Nachwuchs entsteht nur in der jüngsten Klasse (daher die erste Zeile), und altern kann man nur um genau eine Stufe je Zeitschritt (daher die Subdiagonale). Wer die Matrix aus dem Text aufstellt, sollte diese beiden Sätze als Kontrolle mitsprechen.

Das Langzeitverhalten entscheidet sich am Wachstumsfaktor — dem betragsgrößten Eigenwert

\lambda

. Für

\lambda > 1

wächst die Population, für

\lambda < 1

stirbt sie aus, für

\lambda = 1

bleibt sie stationär. Bemerkenswert ist, dass sich die ALTERSVERTEILUNG dabei einem festen Verhältnis annähert, selbst wenn die Gesamtzahl wächst — das ist der zugehörige Eigenvektor.

VERFLECHTUNGSMATRIZEN beschreiben einen anderen Prozesstyp: mehrstufige Produktion, bei der Rohstoffe zu Zwischen- und dann zu Endprodukten werden. Sind

A

die Matrix Rohstoff→Zwischenprodukt und

B

die Matrix Zwischen→Endprodukt, so leistet das PRODUKT

B\cdot A

den Gesamtzusammenhang Rohstoff→Endprodukt in einem Schritt.

Die Reihenfolge im Produkt ist dabei die häufigste Fehlerquelle und folgt aus der Multiplikationsregel: Angewandt wird von rechts nach links, also steht die ZUERST wirkende Matrix rechts. Die Rückwärtsfrage — welche Rohstoffmengen für einen gewünschten Endproduktvektor nötig sind — führt auf ein lineares Gleichungssystem oder, bei quadratischer invertierbarer Matrix, auf die Inverse.

Vokabeln

→ Kartei

die Leslie-MatrixPopulationsmatrix mit Fruchtbarkeits- und Überlebensraten
die VerflechtungsmatrixMatrix mehrstufiger Produktionszusammenhänge
die AltersklasseStufe der Population im Modell
der Wachstumsfaktorbetragsgrößter Eigenwert; entscheidet über Wachstum oder Aussterben
die stabile AltersverteilungVerhältnis der Klassen, das sich langfristig einstellt

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Musterlösung

Populationsentwicklung mit Leslie-Matrix

Eine Population mit zwei Altersklassen hat die Leslie-Matrix $L = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0{,}4 & 0 \end{pmatrix}$ und Anfangsverteilung $\vec{p}_{0} = \begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix}$ . Berechnen Sie die Verteilung nach zwei Generationen und interpretieren Sie das Ergebnis.

Schritt 1 — Erste Generation
Multipliziere $L$ mit $\vec{p}_{0}$ : Geburten $0\cdot 100 + 3\cdot 50 = 150$ , Überlebende $0{,}4\cdot 100 + 0\cdot 50 = 40$ .
$\vec{p}_{1} = L\,\vec{p}_{0} = \begin{pmatrix} 150 \\ 40 \end{pmatrix}$
Schritt 2 — Zweite Generation
Erneut mit $L$ multiplizieren: $0\cdot 150 + 3\cdot 40 = 120$ und $0{,}4\cdot 150 + 0\cdot 40 = 60$ .
$\vec{p}_{2} = L\,\vec{p}_{1} = \begin{pmatrix} 120 \\ 60 \end{pmatrix}$
Schritt 3 — Gesamtbestand vergleichen
Gesamt: $\vec{p}_{0}$ 150, $\vec{p}_{1}$ 190, $\vec{p}_{2}$ 180 — der Bestand schwankt, ohne sich bereits stabilisiert zu haben.
Schritt 4 — Interpretieren
Die starke Geburtenrate (3) und die niedrige Überlebensrate (0,4) erzeugen ein oszillierendes Verhalten; die stabile Altersverteilung ergäbe sich erst über den dominanten Eigenwert von $L$ .

Ergebnis: Verteilung nach zwei Generationen: $\vec{p}_{2} = (120,\,60)^{T}$ ; der Gesamtbestand oszilliert noch und nähert sich erst langfristig der stabilen Altersstruktur.

Typische Fehler

Die Leslie-Matrix als stochastisch behandelt und Spaltensummen von 1 erwartet.
Die Reihenfolge im Verflechtungsprodukt vertauscht.
Fruchtbarkeits- und Überlebensraten in derselben Zeile untergebracht.
Aus dem Wachstum der Gesamtzahl geschlossen, die Altersverteilung ändere sich weiter — sie stabilisiert sich.
Rückwärtsfragen durch Division statt über Inverse oder LGS zu lösen versucht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Bestimmen Sie für eine zweistufige Leslie-Matrix den betragsgrößten Eigenwert und den zugehörigen Eigenvektor und deuten Sie beide: den Eigenwert als jährlichen Wachstumsfaktor, den Eigenvektor als stabile Altersverteilung. Erläutern Sie, warum sich diese Verteilung unabhängig vom Startvektor einstellt.

Aktive Wiederholung

Eine Population hat drei Altersklassen mit den Fruchtbarkeitsraten $(0;\,3;\,1)$ und den Überlebensraten $0{,}5$ (Klasse 1→2) und $0{,}25$ (Klasse 2→3). Stellen Sie die Leslie-Matrix auf, berechnen Sie die Verteilung nach zwei Zeitschritten für den Startvektor $(100;\,40;\,20)$ und beurteilen Sie die Tendenz.

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Determinante und lineare Abbildungen#

~3 Min LesezeitStandardL3L1

Determinante und lineare Abbildung

Abb. 4Die Determinante ist ein Flächen- bzw. Volumenfaktor. Ihr Vorzeichen sagt, ob die Abbildung die Orientierung umkehrt.

Jede Matrix lässt sich als ABBILDUNG lesen: Sie ordnet jedem Vektor einen Bildvektor zu, und zwar linear — Geraden bleiben Geraden, der Ursprung bleibt fest, und Summen wie Vielfache werden respektiert. Drehungen, Spiegelungen, Streckungen und Scherungen sind die Standardbeispiele, und ihre Matrizen lassen sich unmittelbar aus den Bildern der Einheitsvektoren ablesen.

Genau das ist der praktischste Merksatz des Abschnitts: Die SPALTEN einer Abbildungsmatrix sind die Bilder der Einheitsvektoren. Wer die Wirkung einer Abbildung auf

\vec{e}_1

und

\vec{e}_2

kennt, kann die Matrix sofort hinschreiben — und umgekehrt aus einer gegebenen Matrix die geometrische Wirkung ablesen.

Die DETERMINANTE misst, wie die Abbildung Flächen beziehungsweise Volumina verändert: Ein Einheitsquadrat wird auf ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt

|\det A|

abgebildet. Für

2\times 2

ist sie

ad - bc

, für

3\times 3

liefert die Regel von Sarrus das Ergebnis — ein Verfahren, das ausdrücklich NUR für

3\times 3

gilt.

Das VORZEICHEN der Determinante ist keine Nebensache: Es sagt, ob die Orientierung erhalten bleibt. Eine positive Determinante beschreibt eine Drehung oder Streckung, eine negative eine Abbildung mit Spiegelungsanteil — der Umlaufsinn kehrt sich um. Diese Deutung wird in Aufgaben gern verlangt und ist ohne Rechnung zu haben.

Der Fall

\det A = 0

ist der interessanteste: Die Abbildung drückt die Ebene auf eine Gerade (oder den Raum auf eine Ebene) zusammen. Dabei geht Information verloren, mehrere Urbilder haben dasselbe Bild, und die Abbildung ist nicht umkehrbar — genau deshalb existiert die Inverse dann nicht. Determinante null, keine Inverse und ein nicht eindeutig lösbares Gleichungssystem sind drei Formulierungen desselben Sachverhalts.

Vokabeln

→ Kartei

die lineare AbbildungZuordnung, die Summen und Vielfache respektiert
die DeterminanteFlächen- bzw. VolumenänderungsfaktorVorzeichen zeigt die Orientierung
die Regel von SarrusRechenschema für $3\times 3$-Determinantengilt NUR für 3×3
die OrientierungUmlaufsinn; kehrt sich bei negativer Determinante um

Determinante einer 3×3-Matrix (Entwicklung nach erster Zeile)

\det\!\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)

Die Sarrus-Regel ist eine gleichwertige Alternative für 3×3-Matrizen; eine Determinante ungleich null bedeutet invertierbar.

Musterlösung

Determinante und Lösbarkeit eines LGS beurteilen

Untersuchen Sie mit der Determinante, ob das LGS mit Koeffizientenmatrix $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ eindeutig lösbar ist.

Schritt 1 — Entwicklung nach erster Zeile
$\det A = 2\,(3\cdot 2 - 1\cdot 1) - 1\,(1\cdot 2 - 1\cdot 0) + 0$ .
Schritt 2 — Unterdeterminanten berechnen
$3\cdot 2 - 1\cdot 1 = 5$ und $1\cdot 2 - 1\cdot 0 = 2$ .
$\det A = 2\cdot 5 - 1\cdot 2 + 0 = 8$
Schritt 3 — Lösbarkeit folgern
Wegen $\det A = 8 \neq 0$ ist $A$ invertierbar; das LGS $A\vec{x}=\vec{b}$ besitzt für jede rechte Seite $\vec{b}$ genau eine Lösung.

Ergebnis: $\det A = 8 \neq 0$ , also ist $A$ regulär und das LGS eindeutig lösbar.

Typische Fehler

Die Regel von Sarrus auf $4\times 4$ -Matrizen angewandt.
Das Vorzeichen der Determinante ignoriert und die Spiegelung übersehen.
Bei $\det A = 0$ dennoch eine Inverse angegeben.
Zeilen und Spalten beim Ablesen der Abbildungsmatrix vertauscht.
In der $2\times 2$ -Determinante $ad - bc$ mit $ab - cd$ verwechselt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie an einem selbst gewählten Beispiel, dass $\det(A\cdot B) = \det A \cdot \det B$ gilt, und deuten Sie diese Produktregel über die Hintereinanderausführung zweier Flächenänderungen. Begründen Sie damit, warum die Hintereinanderausführung zweier orientierungsumkehrender Abbildungen die Orientierung erhält.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie die Determinante von $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ , deuten Sie Betrag und Vorzeichen geometrisch und geben Sie $A^{-1}$ an. Beschreiben Sie außerdem, welche Abbildung die Matrix $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ bewirkt.

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Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierung#

~3 Min LesezeitVertiefungL1K1

Eigenwerte und Eigenvektoren

Abb. 5Ein Eigenvektor ist eine Richtung, die die Abbildung NICHT dreht — sie wird nur gestreckt. Der Eigenwert ist der Streckfaktor.

Die meisten Vektoren ändern unter einer Abbildung sowohl Länge als auch Richtung. Einige wenige tun das nicht: Sie werden nur GESTRECKT oder gestaucht, ihre Richtung bleibt erhalten. Solche Vektoren heißen Eigenvektoren, der zugehörige Streckfaktor

\lambda

heißt Eigenwert — formal

A\cdot\vec{v} = \lambda\,\vec{v}

mit

\vec{v} \neq \vec{0}

Sie sind deshalb so wertvoll, weil sie die Abbildung in ihre einfachsten Bestandteile zerlegen: Längs eines Eigenvektors wirkt die komplizierte Matrix wie eine bloße Multiplikation mit einer Zahl. Das Langzeitverhalten eines Prozesses hängt daher fast nur davon ab, welcher Eigenwert den größten Betrag hat — er bestimmt, in welche Richtung sich alles entwickelt.

Berechnet werden die Eigenwerte über die Bedingung, dass

(A - \lambda E)\vec{v} = \vec{0}

eine nichttriviale Lösung besitzt. Das ist genau dann der Fall, wenn die Matrix

A - \lambda E

nicht invertierbar ist, also

\det(A - \lambda E) = 0

gilt. Diese charakteristische Gleichung ist bei

2\times 2

eine quadratische Gleichung in

\lambda

Zu jedem Eigenwert findet man die Eigenvektoren durch Lösen des zugehörigen homogenen Systems. Weil dieses System per Konstruktion unterbestimmt ist, ergibt sich stets eine ganze GERADE von Lösungen — jedes Vielfache eines Eigenvektors ist wieder einer. Man gibt deshalb einen Repräsentanten an, gern mit ganzzahligen Komponenten.

Der Fixvektor stochastischer Matrizen aus dem früheren Abschnitt ist nichts anderes als ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 — die beiden Begriffe fallen zusammen. Damit schließt sich der Kreis: Was dort als Gleichgewichtsverteilung eingeführt wurde, erscheint hier als Sonderfall eines allgemeinen Prinzips.

Vokabeln

→ Kartei

der EigenwertStreckfaktor $\lambda$ mit $A\vec v = \lambda\vec v$
der EigenvektorVektor, dessen Richtung die Abbildung erhältNullvektor ausgeschlossen
die charakteristische Gleichung$\det(A - \lambda E) = 0$
die DiagonalisierungZerlegung $A = S D S^{-1}$ zur bequemen Potenzbildung

Eigenwertgleichung und charakteristisches Polynom

A\vec{v} = \lambda\vec{v}\;\Leftrightarrow\;(A-\lambda E)\vec{v} = \vec{0}\;\Leftrightarrow\;\det(A-\lambda E) = 0

Eigenwerte $\lambda$ sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms; die zugehörigen Eigenvektoren spannen den Eigenraum auf.

Musterlösung

Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen

Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Schritt 1 — Charakteristisches Polynom
$\det(A-\lambda E)=\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}=(2-\lambda)^{2}-1$ .
$(2-\lambda)^{2}-1 = \lambda^{2}-4\lambda+3$
Schritt 2 — Eigenwerte
$\lambda^{2}-4\lambda+3=0$ liefert über die pq-Formel $\lambda_{1}=3$ und $\lambda_{2}=1$ .
Schritt 3 — Eigenvektor zu λ = 3
$(A-3E)\vec{v}=\vec{0}$ : $-v_{1}+v_{2}=0$ , also $\vec{v}_{1}=(1,\,1)^{T}$ (bis auf Vielfache).
Schritt 4 — Eigenvektor zu λ = 1
$(A-E)\vec{v}=\vec{0}$ : $v_{1}+v_{2}=0$ , also $\vec{v}_{2}=(1,\,-1)^{T}$ .

Ergebnis: Eigenwerte $\lambda_{1}=3$ (Eigenvektor $(1,\,1)^{T}$ ) und $\lambda_{2}=1$ (Eigenvektor $(1,\,-1)^{T}$ ); $A$ ist diagonalisierbar.

Typische Fehler

Den Nullvektor als Eigenvektor angegeben; er ist per Definition ausgeschlossen.
$\det(A - \lambda E)$ mit $\det A - \lambda$ verwechselt.
Nur einen Eigenvektor angegeben und die Vielfachen als andere Lösungen missverstanden.
Eigenwerte und Eigenvektoren vertauscht — der Eigenwert ist die ZAHL, der Eigenvektor die Richtung.
Die Probe $A\vec v = \lambda\vec v$ weggelassen und einen Vorzeichenfehler übersehen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Erläutern Sie, wie sich mit Eigenwerten und Eigenvektoren die Potenz $A^{\,n}$ bequem berechnen lässt (Diagonalisierung $A = S D S^{-1}$ , also $A^{\,n} = S D^{\,n} S^{-1}$ ), und begründen Sie, warum das für die Untersuchung mehrstufiger Prozesse der entscheidende Vorteil ist.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren von $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , führen Sie für beide die Probe durch und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

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Langzeitverhalten, Grenzmatrix und Ergodizität#

~3 Min LesezeitVertiefungL1K3

Grenzmatrix und stationäre Verteilung

Abb. 6Die Grenzmatrix beantwortet die Frage nach dem Langzeitverhalten. Ihre Existenz ist an Bedingungen geknüpft, die zuerst zu prüfen sind.

Bildet man bei einer stochastischen Übergangsmatrix immer höhere Potenzen

M^{\,n}

, so nähern sich diese unter bestimmten Bedingungen einer festen GRENZMATRIX. Deren Besonderheit ist bemerkenswert: Alle ihre Spalten sind gleich, und jede von ihnen ist der Fixvektor.

Sachlich bedeutet das die stärkste Aussage dieses Kapitels: Nach hinreichend vielen Schritten hängt die Verteilung NICHT MEHR vom Startzustand ab. Ob eine Kundschaft anfangs vollständig bei Anbieter A oder gleichmäßig verteilt war, spielt langfristig keine Rolle — das System vergisst seinen Anfang. Genau diese Eigenschaft heißt Ergodizität.

Sie gilt allerdings nicht immer, und die Bedingungen zu prüfen gehört zur vollständigen Lösung. Erforderlich ist, dass der Prozess von jedem Zustand aus jeden anderen erreichen kann und dabei nicht in einem starren Zyklus gefangen ist. Praktisch prüft man das, indem man untersucht, ob eine Potenz

M^{\,k}

ausschließlich positive Einträge besitzt.

Zwei Gegenbeispiele zeigen, was schiefgehen kann. Enthält der Prozess einen ABSORBIERENDEN Zustand, den man betreten, aber nicht mehr verlassen kann, so landet am Ende alles dort — der Grenzzustand hängt dann nicht mehr von den Anteilen, sondern von der Struktur ab. Und ein streng periodischer Prozess, der zwischen zwei Zuständen hin und her springt, konvergiert überhaupt nicht, sondern pendelt für immer.

Praktisch bestimmt man die Grenzverteilung nicht durch Potenzieren, sondern über den Fixvektor — das ist erheblich schneller und exakt statt genähert. Das Potenzieren dient der Anschauung und der Kontrolle: Stimmen die Spalten von

M^{\,20}

näherungsweise mit dem berechneten Fixvektor überein, ist die Rechnung bestätigt.

Vokabeln

→ Kartei

die GrenzmatrixGrenzwert der Potenzen $M^{\,n}$alle Spalten gleich dem Fixvektor
die ErgodizitätUnabhängigkeit des Langzeitverhaltens vom Startzustand
der absorbierende ZustandZustand, der nicht mehr verlassen wird
die Periodizitätzyklisches Pendeln ohne Konvergenz

Musterlösung

Grenzmatrix und stabile Verteilung eines Markov-Prozesses

Für die stochastische Matrix $M=\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ soll die langfristige Verteilung unabhängig vom Startvektor bestimmt werden.

Schritt 1 — Ergodizität prüfen
Alle Einträge von $M$ sind positiv, also ist $M$ regulär (ergodisch); daher konvergiert $M^{n}$ gegen eine Grenzmatrix mit identischen Spalten gleich dem Fixvektor.
Schritt 2 — Fixvektor ansetzen
$M\vec{v}=\vec{v}$ mit $\vec{v}=(a,b)^{T}$ : aus Zeile 1 folgt $0{,}8a+0{,}3b=a$ , also $0{,}3b=0{,}2a$ und damit $b=\tfrac{2}{3}a$ .
Schritt 3 — Normieren
$a+b=1$ ergibt $a+\tfrac{2}{3}a=1$ , also $a=\tfrac{3}{5}=0{,}6$ und $b=0{,}4$ .
$\vec{v}=(0{,}6,\;0{,}4)^{T}$
Schritt 4 — Grenzmatrix angeben
Da jede Spalte gegen den Fixvektor strebt, gilt $\lim_{n\to\infty} M^{n}=\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}6 \\ 0{,}4 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ — unabhängig von der Startverteilung.

Ergebnis: Stabile Verteilung $(0{,}6;\,0{,}4)$ ; die Grenzmatrix hat zwei identische Spalten gleich dem Fixvektor, sodass jeder Startzustand langfristig zu 60 % in Zustand 1 endet.

Typische Fehler

Startunabhängigkeit behauptet, ohne die Voraussetzungen zu prüfen.
Bei einem absorbierenden Zustand denselben Fixvektor wie im regulären Fall erwartet.
Bei periodischen Prozessen eine Grenzmatrix angegeben, obwohl die Potenzen pendeln.
Die Grenzverteilung durch mühsames Potenzieren statt über den Fixvektor bestimmt.
Die Spalten der Grenzmatrix als verschieden angenommen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Konstruieren Sie eine $2\times 2$ -Übergangsmatrix mit einem absorbierenden Zustand und eine, deren Potenzen periodisch pendeln. Begründen Sie für beide, warum die Aussage über die Startunabhängigkeit hier nicht gilt, und formulieren Sie die Bedingung, die im regulären Fall erfüllt ist.

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie für die Übergangsmatrix $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ , ob eine Grenzmatrix existiert. Bestimmen Sie die Grenzverteilung über den Fixvektor und prüfen Sie Ihr Ergebnis anhand einer hohen Potenz. Deuten Sie das Ergebnis im Kontext von Marktanteilen.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L1 (A1) (Kultusministerkonferenz)

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Belege & Quellen

Quellen

Kultusministerkonferenz

Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L1 (A1)

Siehe auch