DE · Abitur

Analysis — Integralrechnung

Die Integralrechnung beantwortet die Umkehrfrage der Differentialrechnung: Nicht „wie schnell ändert sich etwas?", sondern „wie viel hat sich insgesamt angesammelt?". Dass beide Fragen zwei Seiten derselben Sache sind, ist der Hauptsatz — die vielleicht folgenreichste Aussage der Schulmathematik. Die KMK verlangt ausdrücklich, das bestimmte Integral als (re-)konstruierten Bestand zu deuten und den Hauptsatz geometrisch-anschaulich zu begründen (L4).

6 Abschnitte~18 Min Lesezeit4 KompetenzenStand 05/2026

T·0444 / 10

Prüfungsprofil

K1 · Mathematisch argumentierenK3 · Mathematisch modellierenK5 · Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehenK4 · Mathematische Darstellungen verwenden

Operatoren:berechnenbestimmenbegründeninterpretierenherleiten

grundlegendes Niveau

gA: das bestimmte Integral deuten, insbesondere als (re-)konstruierten Bestand; Bestände aus Änderungsraten und Anfangsbestand berechnen; Inhalte von Flächen bestimmen, die durch Funktionsgraphen begrenzt sind; Funktionen mittels Stammfunktionen integrieren.

erhöhtes Niveau

eA: zusätzlich das Volumen von Rotationskörpern um die Abszissenachse bestimmen; die ln-Funktion als Stammfunktion von $1/x$ nutzen; Integrationstechniken (Substitution, partielle Integration) und uneigentliche Integrale.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Analysis — Integralrechnung

6 Abschnitte30 Merksätze6 Formeln30 Fehlerwarnungen

Stammfunktion und unbestimmtes Integral#

~3 Min LesezeitBasisL4K5

Grundintegrale

Abb. 1Jede Stammfunktion trägt ein +C. Bei bestimmten Integralen fällt es heraus — bei Anfangswertaufgaben ist es der ganze Punkt.

Eine Stammfunktion

F

zu einer Funktion

f

ist eine Funktion, deren Ableitung wieder

f

ergibt:

F'(x) = f(x)

. Die Integralrechnung beginnt damit als reine UMKEHRAUFGABE des Ableitens — man sucht die Funktion, aus der die gegebene entstanden ist. Deshalb ist jede Ableitungsregel zugleich eine Integrationsregel, nur rückwärts gelesen.

Stammfunktionen sind nie eindeutig: Ist

F

eine, so ist auch

F + C

für jede Konstante

C

eine, weil die Ableitung einer Konstanten null ist. Die Gesamtheit aller Stammfunktionen heißt unbestimmtes Integral

\int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C

. Das Weglassen von

C

ist der klassische Anfängerfehler und wird in Klausuren als Fehler gewertet.

Umgekehrt ist die Konstante mehr als eine Formalie: Sie ist genau der Freiheitsgrad, den eine ANFANGSBEDINGUNG festlegt. Kennt man einen Funktionswert — einen Anfangsbestand, einen Startpunkt —, so bestimmt dieser

C

eindeutig. Ohne Anfangsbedingung ist die Aufgabe unterbestimmt, mit ihr eindeutig lösbar.

Die Grundintegrale ergeben sich durch Rückwärtslesen der Ableitungsregeln. Für Potenzen gilt

\int x^n\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C

— der Exponent wird um eins erhöht und durch den NEUEN Exponenten geteilt. Diese Regel versagt genau bei

n = -1

, weil dann durch null geteilt würde; dort tritt der Logarithmus ein:

\int \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln|x| + C

Faktor- und Summenregel gelten wie beim Ableiten: Konstante Faktoren dürfen vorgezogen, Summen gliedweise integriert werden. Für Produkte und Verkettungen gibt es dagegen KEINE einfache Regel — das ist der entscheidende Unterschied zum Ableiten. Wer

\int f\cdot g

als

\int f \cdot \int g

behandelt, begeht den folgenschwersten Fehler dieses Kapitels.

Die zuverlässigste Kontrolle ist deshalb die Probe: Man leitet das Ergebnis ab und muss den Integranden zurückerhalten. Sie kostet zwei Zeilen, deckt jeden Vorzeichen- und Faktorfehler auf und sollte bei jeder Integration ausgeführt werden.

Vokabeln

→ Kartei

die StammfunktionFunktion $F$ mit $F' = f$
das unbestimmte IntegralGesamtheit aller Stammfunktionen, $F(x) + C$
die Integrationskonstanteder Freiheitsgrad $C$wird durch eine Anfangsbedingung festgelegt
der Integranddie zu integrierende Funktion
die Anfangsbedingunggegebener Funktionswert zur Bestimmung von $C$

Standard-Stammfunktionen

\int x^{n}\, dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\;(n \neq -1),\quad \int \tfrac{1}{x}\, dx = \ln|x| + C,\quad \int \mathrm{e}^{x}\, dx = \mathrm{e}^{x} + C,\quad \int \sin x\, dx = -\cos x + C

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Typische Fehler

Die Integrationskonstante $C$ weggelassen.
$\int x^{-1}\,\mathrm{d}x$ mit der Potenzregel behandelt und durch null geteilt.
$\int f\cdot g\,\mathrm{d}x$ als Produkt der Einzelintegrale berechnet.
Beim Erhöhen des Exponenten durch den ALTEN statt den neuen Exponenten geteilt.
Die Betragsstriche in $\ln|x|$ vergessen und dadurch den Definitionsbereich unzulässig eingeschränkt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie, warum sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion höchstens um eine Konstante unterscheiden (Hinweis: Betrachten Sie die Ableitung ihrer Differenz und nutzen Sie den Zusammenhang zwischen verschwindender Ableitung und Konstanz).

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie die Stammfunktionen von $f(x) = 3x^2 - \dfrac{2}{x} + e^{x}$ und geben Sie diejenige an, für die $F(1) = 0$ gilt. Führen Sie die Probe durch Ableiten aus.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L4 (Kultusministerkonferenz)

Hauptsatz und bestimmtes Integral#

~3 Min LesezeitStandardL4L2

Bestimmtes Integral als orientierte Fläche

Abb. 2∫ₐᵇ f(x) dx misst die orientierte Fläche zwischen Graph und x-Achse.

Das bestimmte Integral entsteht aus einer ganz anderen Frage als die Stammfunktion: Man will die Fläche unter einer Kurve bestimmen. Der Weg dorthin ist die Riemann-Summe — man zerlegt das Intervall in schmale Streifen, nähert jeden durch ein Rechteck und lässt die Streifenbreite gegen null gehen. Der Grenzwert dieser Summen ist

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

Der HAUPTSATZ der Differential- und Integralrechnung verbindet nun beide Welten und ist deshalb so bedeutend:

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)

. Ein mühsamer Grenzprozess wird durch zwei Funktionsauswertungen ersetzt. Ohne ihn wäre jede Flächenberechnung ein Grenzwertproblem; mit ihm ist sie eine Einsetzübung.

Anschaulich begründen lässt er sich über die Integralfunktion

I(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t

, die die bis

x

angesammelte Fläche misst. Wächst

x

um ein kleines

h

, so kommt näherungsweise der Streifen

f(x)\cdot h

hinzu — die Änderungsrate der angesammelten Fläche ist also

f(x)

selbst. Damit ist

I' = f

, und

I

ist eine Stammfunktion.

Beim Rechnen ist streng zwischen INTEGRAL und FLÄCHENINHALT zu unterscheiden. Das Integral zählt Flächen unterhalb der

x

-Achse NEGATIV; es misst eine Bilanz, keinen Inhalt. Für den Flächeninhalt müssen deshalb zuerst die Nullstellen im Intervall bestimmt, dann abschnittsweise integriert und die BETRÄGE addiert werden.

Wie stark das auseinanderfällt, zeigt ein symmetrischer Fall: Für

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

ist

\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = 0

, obwohl die Kurve dort keineswegs auf der Achse liegt — die Flächen oberhalb und unterhalb heben sich exakt auf. Wer die Frage nach dem Flächeninhalt mit dieser Null beantwortet, hat den Unterschied nicht verstanden.

Die Fläche ZWISCHEN zwei Kurven ergibt sich als

\int_a^b (f(x) - g(x))\,\mathrm{d}x

, wobei

f

die obere Funktion ist. Die Integrationsgrenzen sind dabei die Schnittstellen beider Kurven, und wechselt die Lage innerhalb des Intervalls, muss auch hier abschnittsweise gerechnet werden.

Vokabeln

→ Kartei

das bestimmte IntegralGrenzwert der Riemann-Summen; Bilanz mit Vorzeichen
der Hauptsatz$\int_a^b f = F(b) - F(a)$
die Riemann-SummeNäherung durch Rechteckstreifen
die Integralfunktion$I(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$; ihre Ableitung ist $f$
der Flächeninhaltstets positivBeträge der Teilintegrale addieren

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a),\quad \text{wobei } F'(x) = f(x)

Riemann-Summe — Annäherung des Integrals durch Rechtecke

Abb. 3Rechtecksumme (Riemann-Summe) aus n schmalen Rechtecken konvergiert für n → ∞ gegen das bestimmte Integral.

Interaktive Grafik lädt…

Musterlösung

Fläche zwischen Kurve und x-Achse berechnen

Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f(x) = 4 - x^{2}$ und der x-Achse.

Schritt 1 — Nullstellen ermitteln
$4 - x^{2} = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ als Integrationsgrenzen.
Schritt 2 — Stammfunktion
$F(x) = 4x - \tfrac{x^{3}}{3}$ .
Schritt 3 — Hauptsatz anwenden
$\int_{-2}^{2} (4 - x^{2})\, dx = F(2) - F(-2) = (8 - \tfrac{8}{3}) - (-8 + \tfrac{8}{3}) = 16 - \tfrac{16}{3} = \tfrac{32}{3}$ .
$A = \tfrac{32}{3} \approx 10{,}67$

Ergebnis: Flächeninhalt $A = \tfrac{32}{3} \approx 10{,}67$ FE.

Typische Fehler

Den Flächeninhalt als bloßes Integral angegeben und Flächen unter der Achse negativ gezählt.
Die Nullstellen im Integrationsintervall übersehen und in einem Zug integriert.
Bei Flächen zwischen Kurven $g - f$ statt $f - g$ gerechnet und ein negatives Ergebnis erhalten.
Die Grenzen vertauscht und das Vorzeichen des Integrals umgekehrt.
$F(a) - F(b)$ statt $F(b) - F(a)$ eingesetzt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie den Hauptsatz über die Integralfunktion $I(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ , indem Sie den Differenzenquotienten $\dfrac{I(x+h) - I(x)}{h}$ betrachten und geometrisch als mittlere Höhe des Streifens deuten. Erläutern Sie, welche Eigenschaft von $f$ dabei gebraucht wird.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie $\int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 2)\,\mathrm{d}x$ und anschließend den FLÄCHENINHALT zwischen dem Graphen und der $x$ -Achse über demselben Intervall. Erklären Sie, warum beide Ergebnisse verschieden sind.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L4 (Kultusministerkonferenz)

Anwendungen — Rotationsvolumen, Arbeit, Bestand#

~3 Min LesezeitStandardL2K3

Anwendungen des Integrals

Abb. 4Fläche und Integral sind nicht dasselbe: Unterhalb der x-Achse liefert das Integral einen negativen Beitrag. Deshalb steht die Nullstellenbestimmung vor der Flächenberechnung.

Die wichtigste Anwendung des Integrals ist zugleich die, die am wenigsten nach Fläche aussieht: die REKONSTRUKTION eines Bestands aus seiner Änderungsrate. Kennt man die Zuflussrate

f(t)

und den Anfangsbestand

B_0

, so gilt

B(t) = B_0 + \int_{t_0}^{t} f(s)\,\mathrm{d}s

. Die KMK nennt genau das als Kernkompetenz — Bestände aus Änderungsraten und Anfangsbestand berechnen.

Der Schlüssel zum Verständnis liegt in den EINHEITEN. Wird eine Rate in Litern pro Minute über Minuten integriert, so ergibt das Liter: Die Einheit des Integrals ist stets das Produkt der Einheiten von Funktionswert und Variable. Diese Kontrolle deckt fast jeden Modellierungsfehler auf und sollte in der Lösung ausdrücklich stehen.

Damit erklärt sich auch die Vorzeichenfrage im Sachkontext: Ein negatives Teilintegral bedeutet nicht „negative Fläche", sondern ABFLUSS — der Bestand nimmt in dieser Phase ab. Anders als bei der reinen Flächenberechnung ist hier also gerade die vorzeichenbehaftete Bilanz das Gesuchte, und Beträge zu addieren wäre falsch.

Bei ROTATIONSKÖRPERN um die

x

-Achse liefert das Integral Volumina:

V = \pi\int_a^b (f(x))^2\,\mathrm{d}x

. Die Herleitung ist die vertraute Streifenidee, nur in drei Dimensionen — jeder Streifen wird zu einer dünnen Kreisscheibe mit Radius

f(x)

und Volumen

\pi f(x)^2\,\mathrm{d}x

. Das Quadrat und das

\pi

sind die beiden am häufigsten vergessenen Bestandteile.

Weitere Anwendungen folgen demselben Muster „Rate mal Zeit summieren": Die Arbeit einer wegabhängigen Kraft ist

W = \int F(s)\,\mathrm{d}s

, der zurückgelegte Weg aus einer Geschwindigkeit

s = \int v(t)\,\mathrm{d}t

, die elektrische Ladung aus der Stromstärke. Wer das Muster erkennt, muss keine dieser Formeln einzeln lernen.

Vokabeln

→ Kartei

die ÄnderungsrateZu- oder Abnahme je Zeiteinheit
der Bestandaufsummierte Größe; Anfangsbestand plus Integral
der RotationskörperKörper durch Drehung eines Graphen um die Achse
die RekonstruktionRückgewinnung des Bestands aus der Rate

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a),\quad \text{wobei } F'(x) = f(x)

Musterlösung

Rotationsvolumen um die x-Achse

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Graph von $f(x) = \sqrt{x}$ für $0 \leq x \leq 4$ um die x-Achse rotiert.

Schritt 1 — Volumenformel
Rotationsvolumen $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2}\, dx$ .
Schritt 2 — Quadrat der Funktion
$[f(x)]^{2} = x$ .
Schritt 3 — Integral auswerten
$V = \pi \int_{0}^{4} x\, dx = \pi \cdot \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = \pi \cdot 8 = 8\pi$ .
$V = 8\pi \approx 25{,}13$

Ergebnis: Rotationsvolumen $V = 8\pi \approx 25{,}13$ VE.

Typische Fehler

Beim Rotationsvolumen $f(x)$ statt $(f(x))^2$ integriert.
Den Faktor $\pi$ weggelassen.
Im Sachkontext die Beträge der Teilintegrale addiert und dadurch Abflüsse als Zuflüsse gezählt.
Den Anfangsbestand $B_0$ vergessen und nur die Änderung angegeben.
Einheiten nicht mitgeführt und Rate mit Bestand verwechselt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie die Rotationsvolumenformel über die Zerlegung in Kreisscheiben her und bestimmen Sie damit das Volumen des Körpers, der bei Rotation von $f(x) = \sqrt{x}$ über $[0;\,4]$ um die $x$ -Achse entsteht. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Volumen des umschließenden Zylinders.

Aktive Wiederholung

In ein Becken fließt Wasser mit der Rate $f(t) = 4 - 0{,}5t$ (in Litern pro Minute), zu Beginn enthält es $10$ Liter. Bestimmen Sie den Bestand nach 6 Minuten, den Zeitpunkt des maximalen Bestands und deuten Sie das Vorzeichen der Rate ab $t = 8$ .

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L2 (Kultusministerkonferenz)

Integrationstechniken — Substitution und partielle Integration#

~3 Min LesezeitVertiefungL4K5

Integrationstechniken

Abb. 5Die Wahl der Technik richtet sich nach dem BAU des Integranden. Diese vier Erkennungszeichen decken die Abituraufgaben ab.

Produkte und Verkettungen lassen sich nicht gliedweise integrieren — für sie gibt es zwei Verfahren, und jedes ist die Umkehrung einer Ableitungsregel. Die SUBSTITUTION kehrt die Kettenregel um, die PARTIELLE INTEGRATION die Produktregel. Wer das weiß, kann sich beide Formeln herleiten statt sie zu merken.

Die Substitution greift, wenn der Integrand die Bauart „äußere Funktion mal innere Ableitung" hat, also

\int f(g(x))\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x

. Man setzt

u = g(x)

, ersetzt

g'(x)\,\mathrm{d}x

durch

\mathrm{d}u

und integriert nach

u

. Das Erkennen dieser Bauart — insbesondere, dass die innere Ableitung als Faktor VORHANDEN sein muss — ist der eigentliche Schritt.

Bei BESTIMMTEN Integralen sind zwei Wege möglich, und einer davon ist fehleranfällig: Entweder man substituiert die GRENZEN mit (dann rechnet man in

u

zu Ende), oder man kehrt am Schluss zur ursprünglichen Variablen zurück und setzt die alten Grenzen ein. Grenzen unverändert zu lassen und trotzdem in

u

einzusetzen ist der häufigste Fehler dieses Abschnitts.

Die partielle Integration lautet

\int u\,v'\,\mathrm{d}x = u\,v - \int u'\,v\,\mathrm{d}x

. Sie tauscht ein Integral gegen ein anderes — nützlich nur, wenn das neue einfacher ist. Die Wahl von

u

und

v'

entscheidet also alles: Als

u

wählt man den Faktor, der sich durch Ableiten VEREINFACHT, typischerweise eine Potenz oder den Logarithmus.

Der Musterfall ist

\int x\,e^{x}\,\mathrm{d}x

: Mit

u = x

und

v' = e^x

wird

u' = 1

, und das verbleibende Integral

\int e^x\,\mathrm{d}x

ist trivial. Mit der umgekehrten Wahl entstünde

\int \tfrac{x^2}{2}e^x\,\mathrm{d}x

— schlimmer als der Anfang. Genau daran erkennt man, ob die Wahl richtig war.

Ein lehrreicher Sonderfall ist

\int \ln x\,\mathrm{d}x

: Es sieht nicht nach einem Produkt aus, wird aber eines, wenn man

v' = 1

setzt. Mit

u = \ln x

folgt

u' = 1/x

, und das verbleibende Integral kürzt sich zu

\int 1\,\mathrm{d}x

. Das Ergebnis

x\ln x - x + C

lohnt sich zu kennen.

Vokabeln

→ Kartei

die SubstitutionUmkehrung der Kettenregel beim Integrieren
die partielle IntegrationUmkehrung der Produktregel
die innere AbleitungAbleitung der inneren Funktionmuss für die Substitution als Faktor vorliegen
der Integrationsweggewählte Technik samt Begründung

Partielle Integration

\int u(x)\,v'(x)\, dx = u(x)\,v(x) - \int u'(x)\,v(x)\, dx

Typische Fehler

Bei bestimmten Integralen substituiert, die Grenzen aber unverändert gelassen.
$\mathrm{d}x$ beim Substituieren nicht mit ersetzt.
Bei partieller Integration das Minuszeichen vor dem verbleibenden Integral vergessen.
$u$ und $v'$ so gewählt, dass das neue Integral schwieriger wird, und dennoch weitergerechnet.
Substituiert, obwohl die innere Ableitung fehlt, und den fehlenden Faktor stillschweigend ergänzt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Berechnen Sie $\int e^{x}\sin x\,\mathrm{d}x$ durch ZWEIMALIGE partielle Integration und lösen Sie die entstehende Gleichung nach dem gesuchten Integral auf. Erläutern Sie, warum dieser „Rückkehr-Trick" hier funktioniert.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie $\int 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x$ durch Substitution und $\int x\,\cos x\,\mathrm{d}x$ durch partielle Integration. Begründen Sie jeweils Ihre Wahl und führen Sie beide Proben durch.

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Numerische Integration und Integralmittelwert#

~3 Min LesezeitStandardL2K5

Riemann-Summe — Annäherung des Integrals durch Rechtecke

Abb. 6Rechtecksumme (Riemann-Summe) aus n schmalen Rechtecken konvergiert für n → ∞ gegen das bestimmte Integral.

Nicht jede Funktion besitzt eine elementar darstellbare Stammfunktion —

e^{-x^2}

, das Herzstück der Normalverteilung, ist das berühmteste Beispiel. Für solche Integrale und für Funktionen, die nur als MESSREIHE vorliegen, tritt an die Stelle des Hauptsatzes ein numerisches Näherungsverfahren.

Die einfachsten Verfahren sind die Rechtecksummen: Man ersetzt die Funktion auf jedem Teilintervall durch einen konstanten Wert. Die UNTERSUMME nutzt jeweils das Minimum, die OBERSUMME das Maximum — dadurch schließen beide den wahren Wert ein, und ihre Differenz ist eine ehrliche Fehlerschranke. Diese Einschließung ist ihr eigentlicher Wert.

Die TRAPEZREGEL verbindet die Randpunkte jedes Teilintervalls geradlinig statt waagerecht und ist deshalb deutlich genauer:

\int_a^b f \approx h\left(\tfrac{f_0}{2} + f_1 + \dots + f_{n-1} + \tfrac{f_n}{2}\right)

mit der Schrittweite

h = (b-a)/n

. Die halben Randwerte sind das Kennzeichen der Formel und werden am häufigsten falsch notiert.

Für Messreihen ist die Trapezregel oft das einzig sinnvolle Verfahren, weil zwischen den Messpunkten nichts bekannt ist. Ihre Genauigkeit wächst mit kleinerer Schrittweite — allerdings nur mit

h^2

, sodass eine Halbierung der Schrittweite den Fehler auf ein Viertel senkt. Diese Größenordnung ist die Antwort auf jede Frage nach dem nötigen Aufwand.

Der INTEGRALMITTELWERT

\bar{f} = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

ist die zweite wichtige Größe dieses Abschnitts. Anschaulich ist er die Höhe des Rechtecks über

[a;\,b]

, das denselben Flächeninhalt hat wie die Kurve — und sachlich die mittlere Temperatur, die mittlere Geschwindigkeit oder der mittlere Bestand über den betrachteten Zeitraum.

Er ist streng zu unterscheiden vom arithmetischen Mittel einzelner Messwerte: Der Integralmittelwert gewichtet mit der Zeitdauer. Wer eine Stunde lang

100\,\text{km/h}

und zehn Minuten lang

20\,\text{km/h}

fährt, hat nicht den Mittelwert

60

, sondern einen deutlich höheren — genau das leistet die Gewichtung.

Vokabeln

→ Kartei

die UntersummeRechtecknäherung mit dem Minimum je Streifen
die ObersummeRechtecknäherung mit dem Maximum je Streifen
die TrapezregelNäherung mit geradlinig verbundenen Randpunkten
der Integralmittelwertzeitgewichteter Durchschnitt $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$
die SchrittweiteBreite $h$ eines Teilintervalls

Trapezregel zur numerischen Integration

\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Bigl(f(x_{0})+2f(x_{1})+\dots+2f(x_{n-1})+f(x_{n})\Bigr),\quad h=\frac{b-a}{n}

Die Fläche unter dem Graphen wird durch $n$ Trapeze angenähert; die Genauigkeit steigt mit der Anzahl der Teilintervalle.

Musterlösung

Integralmittelwert und numerische Näherung

Bestimmen Sie den Mittelwert der Funktion $f(x)=x^{2}$ auf $[0;3]$ exakt und nähern Sie das Integral $\int_{0}^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}}\,dx$ mit der Trapezregel ( $n=2$ ).

Schritt 1 — Mittelwert exakt
Mittelwert $\bar{f}=\tfrac{1}{3-0}\int_{0}^{3} x^{2}\,dx=\tfrac{1}{3}\bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\bigr]_{0}^{3}=\tfrac{1}{3}\cdot 9=3$ .
$\bar{f}=\frac{1}{3}\int_{0}^{3} x^{2}\,dx = 3$
Schritt 2 — Stützstellen für Trapezregel
Bei $n=2$ ist $h=\tfrac{2-0}{2}=1$ mit Stützstellen $x_{0}=0,\;x_{1}=1,\;x_{2}=2$ und $f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ : $f(0)=1,\;f(1)=\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368,\;f(2)=\mathrm{e}^{-4}\approx 0{,}018$ .
Schritt 3 — Trapezformel anwenden
Näherung $\approx \tfrac{1}{2}\bigl(f(0)+2f(1)+f(2)\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(1+0{,}736+0{,}018\bigr)\approx 0{,}877$ .
$\int_{0}^{2}\mathrm{e}^{-x^{2}}\,dx \approx 0{,}877$
Schritt 4 — Einordnen
Der exakte Wert (nicht elementar integrierbar) liegt bei rund $0{,}882$ ; die grobe Trapeznäherung mit nur zwei Intervallen weicht weniger als $1\,\%$ ab.

Ergebnis: Integralmittelwert von $x^{2}$ auf $[0;3]$ ist $3$ ; die Trapezregel liefert $\int_{0}^{2}\mathrm{e}^{-x^{2}}\,dx\approx 0{,}877$ (exakt $\approx 0{,}882$ ).

Typische Fehler

In der Trapezregel alle Werte gleich gewichtet und die halben Randwerte übersehen.
Den Integralmittelwert als arithmetisches Mittel der Funktionswerte berechnet.
Die Division durch $(b-a)$ beim Mittelwert vergessen und nur das Integral angegeben.
Unter- und Obersumme vertauscht und dadurch die Einschließung umgekehrt.
Die Schrittweite falsch bestimmt ( $h = (b-a)/(n-1)$ statt $(b-a)/n$ ).

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie, warum die Trapezregel bei einer konkaven Funktion stets einen zu KLEINEN Wert liefert, und formulieren Sie daraus eine Aussage über die Richtung des Fehlers. Untersuchen Sie, wie sich der Fehler bei Halbierung der Schrittweite ändert.

Aktive Wiederholung

Nähern Sie $\int_0^2 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ mit der Trapezregel und $n = 4$ Teilintervallen. Bestimmen Sie zusätzlich den Integralmittelwert und deuten Sie ihn.

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Uneigentliche Integrale und Dichtefunktionen#

~3 Min LesezeitVertiefungL4L5

Uneigentliche Integrale

Abb. 7Ein uneigentliches Integral ist ein GRENZWERT. Die Schreibweise mit lim ist deshalb nicht Formsache, sondern Teil der Lösung.

Ein Integral heißt uneigentlich, wenn eine Grenze unendlich ist oder der Integrand an einer Grenze unbeschränkt wächst. Der Ausweg ist in beiden Fällen derselbe: Man ersetzt die kritische Stelle durch einen Parameter, rechnet ein gewöhnliches Integral und bildet erst am Schluss den Grenzwert.

Formal bedeutet das

\int_a^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

. Existiert dieser Grenzwert, heißt das Integral konvergent, andernfalls divergent. Die Schreibweise mit dem Grenzwert gehört ausdrücklich in die Lösung — ein Einsetzen von

\infty

in die Stammfunktion ist formal falsch, auch wenn es zum richtigen Ergebnis führt.

Das überraschende Ergebnis dieses Abschnitts ist, dass ein unendlich langer Bereich eine ENDLICHE Fläche haben kann. Für

f(x) = 1/x^2

ist

\int_1^{\infty} x^{-2}\,\mathrm{d}x = 1

— die Fläche unter der Kurve ab 1 ist genau eins, obwohl sie sich unendlich weit erstreckt. Die Funktion fällt schnell genug, damit die Summe beschränkt bleibt.

Der Vergleich mit

f(x) = 1/x

zeigt, wie scharf die Grenze ist: Dort divergiert dasselbe Integral, weil

\ln b

über alle Grenzen wächst. Allgemein konvergiert

\int_1^{\infty} x^{-\alpha}\,\mathrm{d}x

genau für

\alpha > 1

— dieselbe Schwelle wie bei den Reihen, und aus demselben Grund.

Die praktisch wichtigste Anwendung ist die Stochastik. Eine DICHTEFUNKTION beschreibt eine stetige Zufallsgröße, und Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter ihr. Damit das sinnvoll ist, muss die Gesamtfläche genau eins betragen:

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = 1

— die Normierungsbedingung, die jede Dichtefunktion erfüllen muss.

Daraus folgt unmittelbar die Eigenschaft, die in der Stochastik so oft betont wird: Für einen EINZELNEN Wert ist die Fläche null, also

P(X = a) = 0

. Sinnvoll sind bei stetigen Größen nur Intervallwahrscheinlichkeiten — und deshalb spielt es dort keine Rolle, ob Intervallgrenzen eingeschlossen werden oder nicht.

Vokabeln

→ Kartei

das uneigentliche IntegralIntegral mit unendlicher Grenze oder unbeschränktem Integranden
die KonvergenzExistenz des Grenzwerts
die DichtefunktionFunktion, deren Flächen Wahrscheinlichkeiten angeben
die NormierungsbedingungGesamtfläche unter der Dichte gleich 1

Uneigentliches Integral mit unbeschränkter Grenze

\int_{a}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{z\to\infty}\int_{a}^{z} f(x)\,dx

Existiert der Grenzwert, heißt das Integral konvergent; andernfalls divergent. Analog für unbeschränkte Integranden an einer Polstelle.

Musterlösung

Uneigentliches Integral auf Konvergenz prüfen

Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integral $\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx$ konvergiert, und bestimmen Sie gegebenenfalls seinen Wert.

Schritt 1 — Grenze durch Variable ersetzen
Betrachte $\int_{1}^{z}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx$ mit anschließendem Grenzübergang $z\to\infty$ .
Schritt 2 — Stammfunktion und Einsetzen
$\int_{1}^{z} x^{-2}\,dx=\bigl[-x^{-1}\bigr]_{1}^{z}=-\tfrac{1}{z}+1=1-\tfrac{1}{z}$ .
$\int_{1}^{z}\frac{1}{x^{2}}\,dx = 1-\frac{1}{z}$
Schritt 3 — Grenzübergang
$\lim_{z\to\infty}\bigl(1-\tfrac{1}{z}\bigr)=1$ ; der Grenzwert existiert, das Integral konvergiert.
Schritt 4 — Deuten
Obwohl der Integrationsbereich unbeschränkt ist, ist die Fläche endlich gleich $1$ — ein Standardbeispiel für ein konvergentes uneigentliches Integral.

Ergebnis: Das Integral konvergiert: $\int_{1}^{\infty}\tfrac{1}{x^{2}}\,dx=1$ — endliche Fläche über unbeschränktem Bereich.

Typische Fehler

$\infty$ direkt in die Stammfunktion eingesetzt statt den Grenzwert zu bilden.
Aus $f(x)\to 0$ auf Konvergenz des Integrals geschlossen; $1/x$ widerlegt das.
Die Normierungsbedingung bei einer Dichtefunktion nicht geprüft.
Bei stetigen Zufallsgrößen $P(X = a) > 0$ angegeben.
Die Schwelle bei $\alpha \geq 1$ statt $\alpha > 1$ gezogen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Bestimmen Sie den Parameter $c$ so, dass $f(x) = c\,e^{-x}$ für $x \geq 0$ eine Dichtefunktion ist, und berechnen Sie damit $P(X \leq 2)$ . Erläutern Sie, warum die Normierungsbedingung hier ein uneigentliches Integral erfordert.

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie $\int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x$ und $\int_1^{\infty} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ auf Konvergenz und berechnen Sie den Wert, wo er existiert. Erklären Sie den Unterschied trotz der äußerlichen Ähnlichkeit beider Funktionen.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitideen L4 und L5 (Kultusministerkonferenz)

Stand 05/2026Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

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Belege & Quellen

Quellen

Kultusministerkonferenz

Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L4

Siehe auch