DE · Abitur

Grundbegriffe und Rechentechniken

Dieses Kapitel liefert das Handwerkszeug, mit dem in der ganzen Oberstufe gerechnet wird. Es steht am Anfang, weil Fehler hier nie folgenlos bleiben: Wer Potenzgesetze unsicher anwendet, scheitert später an der Ableitung; wer Gleichungssysteme nicht sicher löst, an der analytischen Geometrie. Die KMK verankert das in Leitidee L1 — geeignete Verfahren zur Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen auswählen und ein algorithmisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme erläutern und anwenden.

7 Abschnitte~20 Min Lesezeit4 KompetenzenStand 05/2026

T·0111 / 10

Prüfungsprofil

K5 · Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehenK2 · Probleme mathematisch lösenK1 · Mathematisch argumentierenK6 · Mathematisch kommunizieren

Operatoren:berechnenbestimmenlösenbegründenvereinfachen

grundlegendes Niveau

gA: geeignete Verfahren zur Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen auswählen; ein algorithmisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme erläutern und anwenden; sicher mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen rechnen.

erhöhtes Niveau

eA: zusätzlich Gleichungssysteme mit Parametern diskutieren, Lösungsmengen vollständig beschreiben und die Struktur der Lösungsmenge (eindeutig, unendlich viele, leer) begründen.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 7 Abschnitte

Grundbegriffe und Rechentechniken

7 Abschnitte35 Merksätze7 Formeln35 Fehlerwarnungen

Zahlmengen N, Z, Q, R, C#

~3 Min LesezeitBasisL1K6

Zahlbereichserweiterungen N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Abb. 1Jede Erweiterung schließt eine Operationslücke der vorigen Zahlmenge.

Die Zahlbereiche sind nicht willkürlich gewachsen, sondern jeweils entstanden, um eine Rechenoperation ausnahmslos ausführbar zu machen. In

\mathbb{N}

ist die Subtraktion nicht immer möglich — das erzwingt

\mathbb{Z}

; dort scheitert die Division — das erzwingt

\mathbb{Q}

. Jede Erweiterung schließt genau eine Lücke, und diese Systematik ist der eigentliche Inhalt des Abschnitts.

Der Schritt von

\mathbb{Q}

\mathbb{R}

ist der tiefste. Schon die Diagonale des Einheitsquadrats,

\sqrt{2}

, lässt sich nicht als Bruch schreiben — die Griechen entdeckten das als Skandal. Die irrationalen Zahlen füllen die verbleibenden Lücken auf dem Zahlenstrahl; erst dadurch wird er lückenlos, und erst dadurch sind Grenzwerte überhaupt sinnvoll definierbar.

Ein rationaler Bruch ist genau daran zu erkennen, dass seine Dezimaldarstellung abbricht oder PERIODISCH wird; irrationale Zahlen haben unendliche, nichtperiodische Darstellungen. Umgekehrt lässt sich jede periodische Dezimalzahl in einen Bruch verwandeln — mit der geometrischen Reihe oder dem klassischen Trick, die Zahl mit einer Zehnerpotenz zu multiplizieren und zu subtrahieren.

\mathbb{C}

schließlich wird auch das Wurzelziehen aus negativen Zahlen möglich, indem man

i

mit

i^2 = -1

einführt. Für das Abitur ist vor allem eine Konsequenz wichtig: Aussagen wie „die Gleichung hat keine Lösung" sind unpräzise. Korrekt heißt es „keine REELLE Lösung" — denn in

\mathbb{C}

hat jede quadratische Gleichung Lösungen.

Für das Rechnen ist die INTERVALLSCHREIBWEISE das wichtigste Handwerkszeug dieses Abschnitts. Eckige Klammern schließen den Randpunkt ein, runde schließen ihn aus;

[2;\,5)

enthält also die 2, nicht aber die 5. Definitionsbereiche, Lösungsmengen von Ungleichungen und Monotonieintervalle werden durchgehend so notiert, und die Verwechslung der Klammerarten ist ein häufiger, vermeidbarer Punktverlust.

Vokabeln

→ Kartei

die rationale Zahlals Bruch darstellbarDezimaldarstellung bricht ab oder ist periodisch
die irrationale Zahlnicht als Bruch darstellbar
das Intervallzusammenhängender Bereich reeller Zahlen
offen / geschlossenRandpunkt ausgeschlossen / eingeschlossen
die ZahlbereichserweiterungErgänzung um Zahlen, die eine Operation ausführbar macht

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Musterlösung

Zahlmengen zuordnen

Begründen Sie, in welcher kleinsten der Mengen $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ die Zahlen $a=-4$ , $b=\tfrac{22}{7}$ , $c=\sqrt{49}$ und $d=\sqrt{5}$ liegen.

Schritt 1 — Negative ganze Zahl
$-4$ ist nicht in $\mathbb{N}$ , aber in $\mathbb{Z}$ (kleinste Menge).
Schritt 2 — Bruch zweier ganzer Zahlen
$\tfrac{22}{7}$ ist als Bruch darstellbar und damit in $\mathbb{Q}$ ; nicht in $\mathbb{Z}$ .
Schritt 3 — Wurzel aus Quadratzahl
$\sqrt{49}=7\in\mathbb{N}$ (kleinste Menge); die Wurzeloperation ist hier nur Schreibweise.
Schritt 4 — Irrationale Wurzel
$\sqrt{5}$ ist keine periodische Dezimalzahl und nicht als Bruch darstellbar; $\sqrt{5}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ .

Ergebnis: Zuordnung: $a\in\mathbb{Z}$ , $b\in\mathbb{Q}$ , $c\in\mathbb{N}$ , $d\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ .

Typische Fehler

„Keine Lösung" gesagt, wo „keine reelle Lösung" gemeint ist.
Offene und geschlossene Intervallgrenzen vertauscht.
$\sqrt{2}$ oder $\pi$ als rational bezeichnet, weil der Rechner eine endliche Dezimalzahl anzeigt.
Die Menge $\mathbb{N}$ mit oder ohne Null uneinheitlich verwendet, ohne die Konvention zu nennen.
Lösungsmengen als einzelne Zahlen statt als Menge notiert.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Führen Sie den klassischen Widerspruchsbeweis, dass $\sqrt{2}$ irrational ist: Nehmen Sie an, $\sqrt{2} = p/q$ sei vollständig gekürzt, und leiten Sie einen Widerspruch her. Erläutern Sie, an welcher Stelle die Annahme der vollständigen Kürzung gebraucht wird.

Aktive Wiederholung

Ordnen Sie $\tfrac{3}{7}$ , $\sqrt{9}$ , $\sqrt{7}$ , $0{,}\overline{45}$ und $\pi$ den kleinstmöglichen Zahlbereichen zu und begründen Sie jede Zuordnung. Wandeln Sie $0{,}\overline{45}$ in einen gewöhnlichen Bruch um.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L1 (Kultusministerkonferenz)

Terme, binomische Formeln, Faktorisieren#

~3 Min LesezeitBasisL1K5

Binomische Formeln und Faktorisierung

Abb. 2Faktorisieren heißt: das Muster erkennen, bevor man rechnet. Die Reihenfolge der Prüfung — erst ausklammern, dann binomisch, dann Nullstellen — spart die meiste Zeit.

Termumformungen sind reine Äquivalenzumformungen: Sie ändern die Gestalt, nie den Wert. Genau das macht sie so mächtig — man darf einen Ausdruck so lange umformen, bis er die Frage beantwortet. Welche Gestalt „die richtige" ist, hängt allein von der Frage ab, und diese Wahl bewusst zu treffen ist die eigentliche Kompetenz.

Die drei binomischen Formeln sind in beide Richtungen zu beherrschen. Vorwärts gelesen multiplizieren sie aus, rückwärts faktorisieren sie — und die Rückwärtsrichtung ist die wertvollere, weil sie Nullstellen sichtbar macht. Besonders die dritte,

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

, wird beim Kürzen und beim Lösen von Gleichungen ständig gebraucht.

FAKTORISIEREN ist das Ziel jeder Umformung, bei der Nullstellen gesucht sind. Der Grund ist der Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist. Eine Summe gibt darüber keine Auskunft — deshalb führt der Weg von der Summenform zur Produktform, nie umgekehrt.

Die Reihenfolge der Techniken ist dabei nahezu immer dieselbe: zuerst gemeinsame Faktoren AUSKLAMMERN, dann auf binomische Formeln prüfen, dann bei quadratischen Termen die

pq

- oder

abc

-Formel anwenden. Wer diese Reihenfolge einhält, spart Arbeit — ein ausgeklammertes

x

macht den Rest oft schon einfach.

Beim Kürzen von Brüchen gilt eine Regel ohne Ausnahme: Gekürzt wird nur, was FAKTOR ist. Aus

\dfrac{x+2}{x}

darf das

x

nicht gekürzt werden, weil es im Zähler ein Summand ist. Diese Verwechslung von Summand und Faktor ist der häufigste Termfehler der Oberstufe und lässt sich durch eine Probe mit einer konkreten Zahl sofort aufdecken.

Vor jedem Kürzen ist zudem der Definitionsbereich festzuhalten. Kürzt man in

\dfrac{x^2-4}{x-2}

den Faktor

(x-2)

, so entsteht

x+2

— aber die Stelle

x = 2

bleibt ausgeschlossen, obwohl man es dem Ergebnis nicht mehr ansieht. Der ursprüngliche Definitionsbereich muss deshalb notiert werden, bevor gekürzt wird.

Vokabeln

→ Kartei

die ÄquivalenzumformungUmformung, die den Wert nicht ändert
das FaktorisierenUmwandlung einer Summe in ein Produkt
der Satz vom NullproduktProdukt null ⇔ ein Faktor null
der FaktorBestandteil eines Produktsnur Faktoren dürfen gekürzt werden
die binomische FormelStandardumformung für Quadrate von Summen und Differenzen

pq-Formel (Normalform x² + px + q = 0)

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2} - q}

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Musterlösung

Term faktorisieren mittels binomischer Formel

Faktorisieren Sie $T(x)=9x^{2}-24x+16$ und geben Sie die Nullstelle an.

Schritt 1 — Quadratstruktur erkennen
$9x^{2}=(3x)^{2}$ und $16=4^{2}$ ; mittlerer Term $24x = 2\cdot 3x\cdot 4$ .
Schritt 2 — Binomische Formel anwenden
$T(x)=(3x-4)^{2}$ (Form $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ ).
$T(x)=(3x-4)^{2}$
Schritt 3 — Nullstelle bestimmen
$(3x-4)^{2}=0 \Leftrightarrow 3x-4=0 \Leftrightarrow x = \tfrac{4}{3}$ (doppelte Nullstelle).

Ergebnis: Faktorisierung $T(x)=(3x-4)^{2}$ ; doppelte Nullstelle bei $x=\tfrac{4}{3}$ .

Typische Fehler

Summanden statt Faktoren gekürzt (etwa $x$ aus $\frac{x+2}{x}$ ).
Die zweite binomische Formel mit falschem Vorzeichen des mittleren Glieds notiert.
Beim Ausklammern das Vorzeichen des zweiten Terms nicht mitgeführt.
Nach dem Kürzen die ursprüngliche Definitionslücke vergessen.
Aus einer Summe auf Nullstellen geschlossen, ohne vorher zu faktorisieren.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie den Satz vom Nullprodukt und erläutern Sie, warum er in $\mathbb{R}$ gilt. Zeigen Sie an einem Beispiel, dass er in einer Struktur mit Nullteilern (etwa der Restklassenarithmetik modulo 6) versagt, und welche Folge das für das Lösen von Gleichungen hätte.

Aktive Wiederholung

Faktorisieren Sie $f(x) = 2x^3 - 8x$ vollständig und bestimmen Sie daraus die Nullstellen. Vereinfachen Sie außerdem $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$ und geben Sie den Definitionsbereich vor der Vereinfachung an.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L1 (Kultusministerkonferenz)

Potenzen, Wurzeln und rationale Exponenten#

~3 Min LesezeitStandardL1K5

Potenzgesetze und Wurzeln

Abb. 3Wurzeln sind Potenzen mit rationalem Exponenten — dann gelten dieselben sechs Gesetze und man braucht keine zweite Regelsammlung.

Die Potenzgesetze sind keine Sammlung zu merkender Regeln, sondern folgen sämtlich aus der Bedeutung der Potenz als wiederholter Multiplikation. Aus

a^m\cdot a^n = a^{m+n}

etwa, weil man erst

m

und dann

n

Faktoren multipliziert. Wer sie so herleitet, verwechselt sie nicht — und kann sie im Zweifel an einem kleinen Beispiel rekonstruieren.

Die Erweiterung auf negative und rationale Exponenten geschieht so, dass die Gesetze GÜLTIG BLEIBEN. Damit

a^m/a^n = a^{m-n}

auch für

m = n

stimmt, muss

a^0 = 1

sein; damit es für

m < n

stimmt, muss

a^{-n} = 1/a^n

gelten. Diese Definitionen sind also nicht willkürlich, sondern erzwungen.

Ebenso folgt die Wurzelschreibweise: Aus

\left(a^{1/2}\right)^2 = a^{1} = a

ergibt sich

a^{1/2} = \sqrt{a}

, allgemein

a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}

. Diese Umschreibung ist der praktische Kern des Abschnitts, denn erst als Potenz geschriebene Wurzeln lassen sich später mit der Potenzregel ableiten.

Die häufigsten Fehler entstehen an Stellen, wo eine naheliegende Regel NICHT gilt. Weder

(a+b)^n = a^n + b^n

noch

\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}

sind richtig — Potenzieren und Wurzelziehen sind mit der Multiplikation verträglich, nicht mit der Addition. Ein Zahlenbeispiel wie

\sqrt{9+16} = 5 \neq 3+4

macht das in einer Zeile klar.

Beim Wurzelziehen aus einem Quadrat ist der BETRAG zu setzen:

\sqrt{x^2} = |x|

, nicht

x

. Für

x = -3

ergäbe die naive Formel

-3

, während die Wurzel definitionsgemäß nicht negativ ist. Genau daraus folgt auch, dass

x^2 = 9

die beiden Lösungen

x = \pm 3

hat — das Doppelvorzeichen stammt aus dieser Betragsbetrachtung.

Für gerade Wurzeln ist der Radikand auf nichtnegative Werte beschränkt; ungerade Wurzeln sind dagegen für alle reellen Zahlen definiert. Diese Unterscheidung entscheidet über den Definitionsbereich jeder Wurzelfunktion und ist bei der Angabe des größtmöglichen Definitionsbereichs mitzuprüfen.

Vokabeln

→ Kartei

die Potenzwiederholte Multiplikation, $a^n$
der ExponentHochzahl der Potenz
der RadikandAusdruck unter der Wurzelbei geraden Wurzeln nichtnegativ
der rationale Exponent$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$
der Betragnichtnegativer Wert$\sqrt{x^2} = |x|$

Potenzgesetze (gleiche Basis a > 0)

a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n},\quad \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n},\quad (a^{m})^{n} = a^{m\cdot n}

Wurzel als rationale Potenz

\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}\quad (a>0,\; n\in\mathbb{N}^{*})

Musterlösung

Potenzterm vereinfachen

Vereinfachen Sie $\dfrac{\sqrt{a^{3}}\cdot a^{-1/2}}{a^{2}}$ für $a>0$ und geben Sie das Ergebnis als Potenz von $a$ an.

Schritt 1 — Wurzel umschreiben
$\sqrt{a^{3}} = a^{3/2}$ .
Schritt 2 — Zähler zusammenfassen
$a^{3/2}\cdot a^{-1/2}=a^{3/2-1/2}=a^{1}=a$ .
Schritt 3 — Nenner kürzen
$\dfrac{a}{a^{2}} = a^{1-2}=a^{-1}$ .

Ergebnis: Ergebnis: $a^{-1}=\tfrac{1}{a}$ für $a>0$ .

Typische Fehler

$(a+b)^2 = a^2 + b^2$ gerechnet.
$\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ verwendet.
$\sqrt{x^2} = x$ statt $|x|$ gesetzt und dadurch eine Lösung verloren.
Bei negativen Exponenten das Vorzeichen der Basis statt des Exponenten gewechselt.
Den Definitionsbereich einer geraden Wurzel nicht eingeschränkt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie, warum $a^0 = 1$ für $a \neq 0$ gelten MUSS, indem Sie das Potenzgesetz $a^m/a^n = a^{m-n}$ für $m = n$ auswerten. Erläutern Sie anschließend, warum $0^0$ nicht sinnvoll festgelegt werden kann.

Aktive Wiederholung

Vereinfachen Sie $\dfrac{(2x^3)^2 \cdot x^{-4}}{4x}$ und schreiben Sie $\sqrt[3]{x^5}$ als Potenz. Lösen Sie außerdem $x^2 = 16$ vollständig und begründen Sie, warum zwei Lösungen entstehen.

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Logarithmen und Exponentialgleichungen#

~3 Min LesezeitStandardL1L4

Logarithmusgesetze

Abb. 4Der Logarithmus verwandelt Multiplikation in Addition. Alle drei Gesetze sind Spiegelbilder der Potenzgesetze — mehr muss man nicht lernen.

Der Logarithmus beantwortet genau eine Frage: Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um einen gegebenen Wert zu erhalten?

\log_b y = x

bedeutet nichts anderes als

b^x = y

. Diese Äquivalenz ist die Definition, und wer sie in beide Richtungen lesen kann, braucht für die meisten Aufgaben keine weitere Regel.

Daraus folgt sofort der Definitionsbereich: Nur POSITIVE Argumente sind zulässig, denn eine Potenz mit positiver Basis wird nie null oder negativ.

\ln(-5)

und

\ln 0

existieren nicht — eine Gleichung, deren Lösung darauf führt, hat an dieser Stelle keine Lösung, und das ist ausdrücklich zu vermerken.

Die Rechengesetze sind die Potenzgesetze in anderer Gestalt: Aus dem Produkt wird eine Summe, aus dem Quotienten eine Differenz, aus der Potenz ein Faktor. Praktisch am wichtigsten ist die letzte Regel

\log(u^n) = n\log u

, denn sie holt die Unbekannte aus dem Exponenten nach vorn — genau das braucht man zum Lösen.

Zwei Basen haben eigene Namen:

\ln

für die Basis

e

und

\lg

für die Basis 10. Wo eine andere Basis auftritt, hilft der Basiswechsel

\log_b y = \dfrac{\ln y}{\ln b}

— nötig, weil viele Rechner nur

\ln

und

\lg

bereitstellen. Die Herleitung dieser Formel aus der Definition ist eine typische Argumentationsaufgabe.

Beim Lösen von Exponentialgleichungen folgt man stets demselben Ablauf: die Potenz isolieren, dann auf beiden Seiten logarithmieren, dann mit

\log(u^n) = n\log u

den Exponenten nach vorn holen und nach der Unbekannten auflösen. Das Isolieren zuerst ist wesentlich — logarithmiert man eine Summe, entsteht ein Ausdruck, der sich nicht vereinfachen lässt.

Der häufigste Fehler des Abschnitts ist die erfundene Regel

\log(u+v) = \log u + \log v

. Sie gilt für PRODUKTE, nicht für Summen — die Probe mit

\lg(10+10) = \lg 20 \approx 1{,}3

gegenüber

\lg 10 + \lg 10 = 2

entlarvt sie in einer Zeile und lohnt sich als Merkbild.

Vokabeln

→ Kartei

der Logarithmusgesuchter Exponent zur gegebenen Basis
der natürliche Logarithmus$\ln$, Basis $e$
der Basiswechsel$\log_b y = \ln y/\ln b$
die ExponentialgleichungGleichung mit der Unbekannten im Exponenten
die Scheinlösungrechnerische Lösung außerhalb des Definitionsbereichs

Logarithmusgesetze (x, y > 0)

\log(xy)=\log x + \log y,\quad \log\!\frac{x}{y}=\log x - \log y,\quad \log(x^{r})=r\log x

Basiswechselformel

\log_{a}(x) = \dfrac{\ln x}{\ln a}

Musterlösung

Exponentialgleichung mittels Logarithmus lösen

Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung $250\cdot 1{,}04^{t} = 600$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Kontext einer Verzinsung von 4 % pro Jahr.

Schritt 1 — Faktor isolieren
Division durch 250 ergibt $1{,}04^{t} = \tfrac{600}{250}=2{,}4$ .
Schritt 2 — Logarithmieren
$t \cdot \ln(1{,}04) = \ln(2{,}4)$ .
$t = \dfrac{\ln(2{,}4)}{\ln(1{,}04)}$
Schritt 3 — Numerisch berechnen
$t \approx \dfrac{0{,}8755}{0{,}0392} \approx 22{,}33$ .
Schritt 4 — Interpretieren
Nach rund 22,3 Jahren hat sich das Anfangskapital auf 600 € erhöht; nach 22 vollen Jahren wäre der Wert knapp unter 600 €.

Ergebnis: Lösung $t\approx 22{,}33$ Jahre — Interpretation im Sachkontext: Verzinsung führt nach gut 22 Jahren zur Ver-2,4-fachung.

Typische Fehler

$\log(u+v) = \log u + \log v$ verwendet.
Logarithmiert, ohne die Potenz vorher zu isolieren.
Den Definitionsbereich ignoriert und eine Scheinlösung mit negativem Argument behalten.
$\ln$ und $\lg$ vertauscht und dadurch einen falschen Zahlenwert erhalten.
Beim Basiswechsel Zähler und Nenner vertauscht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie die Basiswechselformel $\log_b y = \dfrac{\ln y}{\ln b}$ aus der Definition des Logarithmus her. Lösen Sie anschließend $2^{x} = 3^{x-1}$ und begründen Sie, warum hier das Logarithmieren beider Seiten unvermeidlich ist.

Aktive Wiederholung

Lösen Sie $3\cdot 2^{x} = 96$ und $5^{x+1} = 20$ jeweils vollständig und geben Sie die Lösungen exakt und gerundet an. Bestimmen Sie außerdem den Definitionsbereich von $f(x) = \ln(2x - 6)$ .

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Quadratische und biquadratische Gleichungen#

~3 Min LesezeitStandardL1K2

Diskriminante und Anzahl reeller Lösungen

Abb. 5D > 0 zwei Nullstellen, D = 0 doppelte Nullstelle, D < 0 keine reelle Lösung.

Für quadratische Gleichungen stehen mehrere Verfahren bereit, und die KMK verlangt ausdrücklich, ein GEEIGNETES auszuwählen — nicht, stets dasselbe anzuwenden. Fehlt das Absolutglied, genügt Ausklammern; fehlt das lineare Glied, das Wurzelziehen; liegt eine binomische Formel vor, das Faktorisieren. Erst wenn nichts davon greift, lohnt die Lösungsformel.

Die

pq

-Formel setzt die NORMIERTE Form

x^2 + px + q = 0

voraus. Ist der Leitkoeffizient nicht 1, muss vorher durch ihn geteilt werden — das ist der meistübersehene Schritt. Die

abc

-Formel spart diese Division, verlangt dafür aber mehr Sorgfalt bei den Vorzeichen.

Die DISKRIMINANTE entscheidet über die Lösungsanzahl, bevor man rechnet:

D > 0

ergibt zwei,

D = 0

eine doppelte,

D < 0

keine reelle Lösung. Geometrisch beschreibt sie die Lage der Parabel zur

x

-Achse. Diese Vorabprüfung kostet eine Zeile und verhindert, dass man vergeblich eine Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen versucht.

BIQUADRATISCHE Gleichungen der Form

ax^4 + bx^2 + c = 0

werden durch die Substitution

z = x^2

auf quadratische zurückgeführt. Der Schritt, der am häufigsten misslingt, ist die RÜCKSUBSTITUTION: Aus jedem positiven

z

entstehen zwei Lösungen

x = \pm\sqrt{z}

, aus

z = 0

eine, und negative

z

liefern gar keine reelle Lösung.

Daraus folgt, dass eine biquadratische Gleichung bis zu VIER Lösungen haben kann — und dass die Zahl der

z

-Lösungen nichts über die Zahl der

x

-Lösungen aussagt. Wer nach der Substitution aufhört, hat die Aufgabe nur halb gelöst; das Zurückrechnen ist der eigentlich bewertete Teil.

Der Satz von Vieta liefert eine schnelle Kontrolle: Für

x^2 + px + q = 0

ist die Summe der Lösungen

-p

und ihr Produkt

q

. Damit lässt sich jedes Ergebnis in wenigen Sekunden prüfen — und bei ganzzahligen Lösungen oft sogar raten, ohne die Formel zu bemühen.

Vokabeln

→ Kartei

die Diskriminanteentscheidet die Zahl der reellen Lösungen
die Normalform$x^2 + px + q = 0$Voraussetzung der $pq$-Formel
die SubstitutionErsetzen von $x^2$ durch $z$
die RücksubstitutionRückrechnen von $z$ auf $x$liefert je positivem $z$ zwei Lösungen
der Satz von VietaSumme $-p$, Produkt $q$ der Lösungen

pq-Formel (Normalform x² + px + q = 0)

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2} - q}

abc-Formel (Mitternachtsformel) ax² + bx + c = 0

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

Typische Fehler

Die $pq$ -Formel ohne vorheriges Normieren angewandt.
Nach der Substitution nicht zurücksubstituiert und $z$ als Lösung angegeben.
Aus negativem $z$ reelle $x$ -Werte gezogen.
Bei der Rücksubstitution nur die positive Wurzel angegeben.
Das Vorzeichen von $p$ in der Formel vertauscht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie die $pq$ -Formel durch quadratische Ergänzung aus $x^2 + px + q = 0$ her. Untersuchen Sie anschließend, für welche Werte des Parameters $a$ die Gleichung $x^2 + ax + 4 = 0$ genau eine, zwei bzw. keine reelle Lösung besitzt.

Aktive Wiederholung

Lösen Sie $2x^2 - 8x + 6 = 0$ und $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ vollständig. Begründen Sie jeweils Ihre Verfahrenswahl und prüfen Sie die erste Gleichung mit dem Satz von Vieta.

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Lineare Gleichungssysteme#

~3 Min LesezeitStandardL1K2

Lineare Gleichungssysteme — Lösungsfälle

Abb. 6Die Zahl der Lösungen lässt sich an der Stufenform ablesen, bevor man weiterrechnet. Diese drei Fälle sind vollständig.

Lineare Gleichungssysteme treten in der Oberstufe überall auf: bei Steckbriefaufgaben, beim Schnitt von Geraden und Ebenen, bei Mischungs- und Verflechtungsproblemen. Die KMK verlangt ausdrücklich, ein ALGORITHMISCHES Lösungsverfahren erläutern und anwenden zu können — gemeint ist das Gauß-Verfahren.

Sein Prinzip ist die schrittweise Erzeugung von Nullen unterhalb der Diagonale, bis eine STUFENFORM entsteht. Aus der letzten Zeile folgt dann eine Unbekannte, die man rückwärts in die darüberliegenden einsetzt. Erlaubt sind dabei genau drei Umformungen: Zeilen tauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren und ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren.

Diese drei Operationen sind Äquivalenzumformungen — die Lösungsmenge bleibt unverändert. Genau deshalb darf man frei zwischen ihnen wählen, und genau deshalb ist es zulässig, zunächst eine Zeile mit einer bequemen 1 an die Spitze zu tauschen. Wer stattdessen Zeilen multipliziert und dabei mit null multipliziert, zerstört Information und erhält eine falsche Lösungsmenge.

Am Ende steht einer von drei Fällen, und sie zu unterscheiden ist der eigentlich geprüfte Punkt. Bleiben genauso viele Stufen wie Unbekannte, ist die Lösung EINDEUTIG. Entsteht eine Nullzeile

0 = 0

, gibt es UNENDLICH viele Lösungen, die man mit einem Parameter beschreibt. Entsteht ein Widerspruch wie

0 = 5

, ist die Lösungsmenge LEER.

Bei unendlich vielen Lösungen genügt es nicht, das festzustellen — verlangt ist die vollständige Beschreibung. Man wählt eine Variable als Parameter, drückt die übrigen durch ihn aus und gibt die Lösungsmenge in Vektorform an. Diese Darstellung ist zugleich die Verbindung zur analytischen Geometrie, wo sie als Geraden- oder Ebenengleichung wiederkehrt.

Die Probe ist bei Gleichungssystemen besonders wertvoll, weil sich Vorzeichenfehler leicht einschleichen und über mehrere Zeilen fortpflanzen. Das Einsetzen der Lösung in ALLE ursprünglichen Gleichungen kostet wenig Zeit und deckt jeden Umformungsfehler auf — anders als das bloße Nachrechnen der letzten Zeile.

Vokabeln

→ Kartei

das Gauß-Verfahrenalgorithmisches Lösungsverfahren über die Stufenform
die StufenformDreiecksgestalt mit Nullen unterhalb der Diagonale
die Zeilenumformungtauschen, mit Zahl $\neq 0$ multiplizieren, Vielfaches addieren
die NullzeileZeile $0 = 0$zeigt unendlich viele Lösungen an
der Parameterfrei wählbare Größe zur Beschreibung unendlicher Lösungsmengen

Typische Fehler

Bei einer Nullzeile „keine Lösung" statt „unendlich viele Lösungen" geschlossen.
Die unendliche Lösungsmenge nur festgestellt, aber nicht parametrisiert.
Eine Zeile mit null multipliziert und dadurch Information zerstört.
Beim Rückwärtseinsetzen ein Vorzeichen verloren.
Die Probe nur in der zuletzt umgeformten Gleichung gemacht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Untersuchen Sie, für welche Werte des Parameters $a$ das System $x + y = 1$ , $2x + a\,y = 2$ eindeutig, unendlich oder gar nicht lösbar ist. Deuten Sie die drei Fälle geometrisch als Lage zweier Geraden zueinander.

Aktive Wiederholung

Lösen Sie das System $x + y + z = 6$ , $2x - y + z = 3$ , $x + 2y - z = 2$ mit dem Gauß-Verfahren, benennen Sie den Lösungsfall und führen Sie die Probe in allen drei Gleichungen durch.

Passende Aufgaben üben53 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L1 (Kultusministerkonferenz)

Ungleichungen und Beträge#

~2 Min LesezeitStandardL1K1

Ungleichungen lösen

Abb. 7🔴 Die eine Regel, an der fast alle Fehler hängen: Bei Multiplikation oder Division mit einer NEGATIVEN Zahl dreht sich das Relationszeichen um.

Ungleichungen werden im Wesentlichen wie Gleichungen umgeformt — mit einer Ausnahme, die alles entscheidet: Bei Multiplikation oder Division mit einer NEGATIVEN Zahl kehrt sich das Relationszeichen um. Wer das übersieht, erhält systematisch das Komplement der richtigen Lösungsmenge, also ein vollständig falsches Ergebnis.

Besondere Vorsicht verlangt das Multiplizieren mit einem TERM, dessen Vorzeichen unbekannt ist. Bei

\dfrac{1}{x} < 2

darf man nicht einfach mit

x

durchmultiplizieren, weil

x

positiv oder negativ sein kann. Man führt eine Fallunterscheidung — oder bringt alles auf eine Seite und untersucht das Vorzeichen des entstehenden Bruchs.

Der zweite Weg ist meist der sicherere: Man formt zu

\dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} < 0

um und bestimmt die Nullstellen von Zähler und Nenner. Diese teilen die Zahlengerade in Intervalle, in denen das Vorzeichen konstant ist — man prüft je einen Testwert und liest die Lösungsmenge ab. Dieses VORZEICHENTABELLEN-Verfahren funktioniert auch bei höheren Graden.

Der BETRAG

|x|

misst den Abstand zur Null und ist deshalb nie negativ. Beim Auflösen führt er stets auf zwei Fälle:

|x| = a

bedeutet

x = a

oder

x = -a

. Bei Ungleichungen lohnt die Abstandsdeutung mehr als das Formelwissen —

|x - 3| < 2

heißt „der Abstand von

x

zu 3 ist kleiner als 2", also

x \in (1;\,5)

Diese geometrische Lesart löst die häufigste Verwechslung von selbst:

|x| < a

ergibt ein INTERVALL um null,

|x| > a

dagegen die Vereinigung ZWEIER nach außen offener Strahlen. Wer sich das am Zahlenstrahl vorstellt, braucht keine Regel zu memorieren und macht den Fehler nicht.

Die Lösungsmenge ist stets vollständig in Intervall- oder Mengenschreibweise anzugeben, einschließlich der Entscheidung über offene und geschlossene Ränder. Ein Randpunkt gehört genau dann dazu, wenn dort Gleichheit zugelassen ist — und niemals, wenn er den Nenner null macht.

Vokabeln

→ Kartei

die UngleichungAussage mit $<$, $\leq$, $>$ oder $\geq$
die VorzeichentabelleVerfahren zur Bestimmung von Lösungsintervallen
der BetragAbstand zur Null; stets nichtnegativ
die Fallunterscheidunggetrennte Behandlung nach Vorzeichenbereichen
die LösungsmengeMenge aller erfüllenden Werte

Typische Fehler

Das Relationszeichen bei Multiplikation mit einer negativen Zahl nicht umgekehrt.
Bei $\frac{1}{x} < 2$ mit $x$ durchmultipliziert, ohne das Vorzeichen zu prüfen.
$|x| > a$ als Intervall statt als Vereinigung zweier Strahlen angegeben.
Nullstellen des Nenners in die Lösungsmenge aufgenommen.
Die Lösungsmenge als einzelne Zahl statt als Intervall notiert.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Lösen Sie $|x - 1| + |x + 2| \leq 5$ durch vollständige Fallunterscheidung an den beiden Nullstellen der Beträge. Deuten Sie das Ergebnis als Menge aller Punkte, deren Abstandssumme zu 1 und $-2$ höchstens 5 beträgt.

Aktive Wiederholung

Lösen Sie $-3x + 5 \geq 11$ und $|2x - 4| < 6$ und geben Sie beide Lösungsmengen in Intervallschreibweise an. Lösen Sie außerdem $\dfrac{x-1}{x+2} \leq 0$ mit einer Vorzeichentabelle.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L1 (Kultusministerkonferenz)

Stand 05/2026Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

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Belege & Quellen

Quellen

Kultusministerkonferenz

Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L1

Siehe auch