DE · Abitur

Analysis — Differentialrechnung

Die Differentialrechnung beantwortet eine Frage, die vor ihr niemand präzise stellen konnte: Wie schnell ändert sich etwas in EINEM Augenblick? Aus dieser Idee — dem Grenzwert von Sekantensteigungen — folgen Monotonie, Extrema, Wendepunkte und jede Optimierungsaufgabe. Die KMK verlangt ausdrücklich, die Ableitung als lokale Änderungsrate zu deuten und den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen zu entwickeln (L4).

6 Abschnitte~18 Min Lesezeit4 KompetenzenStand 05/2026

T·0333 / 10

Prüfungsprofil

K1 · Mathematisch argumentierenK2 · Probleme mathematisch lösenK4 · Mathematische Darstellungen verwendenK5 · Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Operatoren:berechnenbestimmenuntersuchenbegründennachweiseninterpretieren

grundlegendes Niveau

gA: die Ableitung als lokale Änderungsrate deuten, Änderungsraten funktional beschreiben, die Funktionen der Sekundarstufe I mit Faktor- und Summenregel sowie der Produktregel ableiten, die Ableitung zur Bestimmung von Monotonie und Extrema nutzen und den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen entwickeln.

erhöhtes Niveau

eA: zusätzlich die Ableitung über die Approximation durch lineare Funktionen deuten und die Kettenregel zum Ableiten verwenden.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Analysis — Differentialrechnung

6 Abschnitte30 Merksätze7 Formeln30 Fehlerwarnungen

Grenzwerte, Stetigkeit und Asymptoten#

~3 Min LesezeitStandardL1L4

Stetigkeit, behebbare Lücke und Sprungstelle

Abb. 1Links eine stetige Kurve, in der Mitte eine behebbare Lücke (Grenzwert existiert), rechts eine Sprungstelle (links- und rechtsseitiger Grenzwert verschieden).

Der Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich eine Funktion annähert, wenn

x

gegen eine Stelle strebt — ohne dass die Funktion diesen Wert annehmen muss oder dort überhaupt definiert sein muss. Genau diese Trennung von „Annäherung" und „Wert an der Stelle" ist der Kern des Begriffs und die Grundlage der gesamten Analysis.

Zu unterscheiden sind EINSEITIGE Grenzwerte: der linksseitige für

x \to x_0^-

und der rechtsseitige für

x \to x_0^+

. Der Grenzwert existiert genau dann, wenn beide existieren UND übereinstimmen. Bei Sprungstellen fallen sie auseinander — dann gibt es keinen Grenzwert, auch wenn beide einseitigen Werte endlich sind.

STETIG heißt eine Funktion an einer Stelle, wenn drei Bedingungen zugleich gelten: Sie ist dort definiert, der Grenzwert existiert, und beide stimmen überein. Anschaulich lässt sich der Graph ohne Absetzen zeichnen. Die drei Bedingungen einzeln zu prüfen ist die erwartete Vorgehensweise, denn jede kann für sich verletzt sein.

Für das Verhalten im Unendlichen entscheidet bei rationalen Funktionen der GRADVERGLEICH: Ist der Zählergrad kleiner, so ist

y = 0

waagerechte Asymptote; sind die Grade gleich, so ist es der Quotient der Leitkoeffizienten; ist der Zählergrad um genau eins größer, entsteht eine SCHIEFE Asymptote, die man durch Polynomdivision gewinnt.

An Nullstellen des Nenners ist zu unterscheiden, was wirklich vorliegt. Kürzt sich der Faktor heraus, ist die Stelle behebbar — es entsteht nur ein Loch im Graphen. Bleibt der Nenner nach dem Kürzen null, während der Zähler es nicht ist, liegt eine POLSTELLE mit senkrechter Asymptote vor. Ob der Graph dort das Vorzeichen wechselt, entscheidet die Vielfachheit: ungerade ⇒ Wechsel, gerade ⇒ kein Wechsel.

Beim Grenzwertrechnen führen zwei Techniken fast immer zum Ziel: das Ausklammern der höchsten Potenz (für

x\to\pm\infty

) und das Faktorisieren mit anschließendem Kürzen (für unbestimmte Ausdrücke der Form

0/0

). Ein Term

0/0

ist keine Antwort, sondern die Aufforderung weiterzurechnen.

Vokabeln

→ Kartei

der GrenzwertWert, dem sich die Funktion annähert
stetigdefiniert, Grenzwert existiert, beide gleich
die PolstelleDefinitionslücke mit senkrechter Asymptote
die behebbare LückeLücke, die sich durch Kürzen schließen lässt
die AsymptoteGerade, der sich der Graph beliebig nähert

Grenzwertsätze und Verhalten gebrochenrationaler Funktionen im Unendlichen

\lim_{x\to a}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=\lim_{x\to a} f(x)\pm \lim_{x\to a} g(x),\qquad \lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n}x^{n}+\dots}{b_{m}x^{m}+\dots}=\begin{cases}\pm\infty & n>m\\[2pt]\tfrac{a_{n}}{b_{m}} & n=m\\[2pt]0 & n<m\end{cases}

Für $x\to\pm\infty$ entscheidet der Gradvergleich von Zähler und Nenner über waagrechte oder schiefe Asymptoten.

Der Start lädt die Simulation von PhET (University of Colorado).Bei PhET öffnen ↗

Musterlösung

Grenzwert und Stetigkeit an einer Definitionslücke

Untersuchen Sie $f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}$ an der Stelle $x_{0}=2$ auf Grenzwert und stetige Fortsetzbarkeit.

Schritt 1 — Definitionslücke erkennen
Der Nenner verschwindet bei $x=2$ ; dort ist $f$ zunächst nicht definiert (Definitionslücke).
Schritt 2 — Term kürzen
Faktorisieren: $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ , also $f(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ für $x\neq 2$ .
$f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\;(x\neq 2)$
Schritt 3 — Grenzwert bilden
Der Grenzwert existiert: $\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$ (links- und rechtsseitig gleich).
Schritt 4 — Stetig fortsetzen
Da der Grenzwert endlich ist, liegt eine (behebbare) Lücke vor; mit $f(2):=4$ ist $f$ stetig fortsetzbar.

Ergebnis: Es liegt eine behebbare Definitionslücke vor: $\lim_{x\to 2} f(x)=4$ ; mit $f(2)=4$ wird $f$ stetig.

Typische Fehler

Aus der Existenz beider einseitiger Grenzwerte auf Stetigkeit geschlossen, obwohl sie verschieden sind.
Polstelle und behebbare Lücke verwechselt, weil vor dem Kürzen geurteilt wurde.
$0/0$ als Grenzwert angegeben.
Die schiefe Asymptote übersehen, weil nur auf waagerechte geprüft wurde.
Beim Ausklammern der höchsten Potenz nur den Zähler behandelt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Bestimmen Sie die schiefe Asymptote von $h(x) = \dfrac{x^3 + 2x}{x^2 - 1}$ durch Polynomdivision und begründen Sie, warum der Restterm für $x\to\pm\infty$ verschwindet. Erläutern Sie, was das für die Lage des Graphen relativ zur Asymptote bedeutet.

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ auf Definitionslücken, Stetigkeit und Grenzwerte. Bestimmen Sie außerdem für $g(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 1}$ alle Asymptoten und das Verhalten an den Polstellen.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L4 (Kultusministerkonferenz)

Ableitungsbegriff und Differenzenquotient#

~3 Min LesezeitBasisL4L2

Die MITTLERE Änderungsrate über ein Intervall ist der Differenzenquotient

\dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}

— geometrisch die Steigung der Sekante durch zwei Punkte des Graphen. Sie beantwortet die Frage nach der durchschnittlichen Veränderung, sagt aber nichts über einen einzelnen Augenblick.

Lässt man das Intervall schrumpfen, wandert der zweite Punkt auf den ersten zu, und die Sekante geht in die TANGENTE über. Der Grenzwert

f'(x_0) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}

heißt Ableitung — sie ist die lokale Änderungsrate und zugleich die Tangentensteigung an dieser Stelle (siehe ). Beide Deutungen sind gleichwertig und werden je nach Aufgabe gebraucht.

Differentialquotient — Grenzwert der Sekantensteigung

Abb. 2Sekante durch P(x₀|f(x₀)) und Q(x₀+h|f(x₀+h)) konvergiert für h → 0 gegen die Tangente.

Abb. 2 ↓

Bemerkenswert ist, dass der Grenzwert überhaupt existiert: Zähler und Nenner streben beide gegen null, sodass der Quotient zunächst unbestimmt ist. Erst das Kürzen von

h

— nach dem Ausmultiplizieren des Zählers — macht den Grenzübergang möglich. Genau dieses Kürzen ist der bepunktete Kern jeder Herleitung „mit dem Differenzenquotienten".

Die Ableitung an einer Stelle ist eine ZAHL, die Ableitungsfunktion

f'

dagegen ordnet jeder Stelle diese Zahl zu. Diese Unterscheidung ist prüfungsrelevant:

f'(2)

ist die Steigung an einer Stelle,

f'(x)

die Funktion, mit der man weiterrechnet — etwa um Nullstellen zu suchen.

Im SACHKONTEXT trägt die Ableitung stets eine eigene Einheit, nämlich Einheit des Funktionswerts geteilt durch Einheit der Variablen. Ist

s(t)

ein Weg in Metern und

t

die Zeit in Sekunden, so ist

s'(t)

eine Geschwindigkeit in m/s. Diese Einheitenangabe gehört in jede Deutung und wird eigens bewertet.

Nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar. An einer Knickstelle wie bei

f(x) = |x|

liefern linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten verschiedene Werte — es gibt keine eindeutige Tangente. Differenzierbarkeit ist damit die stärkere Forderung: Sie folgt aus Stetigkeit nicht, setzt sie aber voraus.

Vokabeln

→ Kartei

der Differenzenquotientmittlere Änderungsrate; Sekantensteigung
der DifferentialquotientGrenzwert des Differenzenquotienten; Ableitung
die lokale ÄnderungsrateÄnderung in einem Augenblick
die TangenteGerade, die den Graphen an einer Stelle berührt
differenzierbarAbleitung existiertstärker als stetig

Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten

f'(x_{0}) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h}

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Typische Fehler

Im Differenzenquotienten $h$ nicht gekürzt und dann $h = 0$ eingesetzt.
Mittlere und lokale Änderungsrate verwechselt.
Die Einheit der Ableitung im Sachkontext weggelassen.
Angenommen, jede stetige Funktion sei differenzierbar; $|x|$ widerlegt das.
$f'(x_0)$ als Funktion behandelt und mit $x$ weitergerechnet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Deuten Sie die Ableitung als APPROXIMATION durch eine lineare Funktion, indem Sie $f(x_0 + h) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,h$ begründen. Schätzen Sie damit $\sqrt{4{,}1}$ ohne Rechner ab und vergleichen Sie mit dem genauen Wert.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = 3$ mithilfe des Differenzenquotienten und geben Sie jeden Schritt an. Deuten Sie das Ergebnis geometrisch und formulieren Sie, was es bedeutete, wenn $f$ einen in Metern gemessenen Weg über der Zeit in Sekunden beschriebe.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L4 (Kultusministerkonferenz)

Ableitungsregeln und Standardableitungen#

~3 Min LesezeitStandardL4K5

Ableitungsregeln im Überblick

Abb. 3Vor jeder Ableitung steht die Frage nach dem BAU des Terms: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung? Die Regel folgt daraus.

Der Differenzenquotient ist als Rechenweg zu mühsam, um ihn für jede Funktion zu durchlaufen. Die Ableitungsregeln ersetzen ihn: Sie werden einmal über den Grenzwert bewiesen und danach nur noch angewandt. Prüfungsrelevant ist beides — die Herleitung an einem einfachen Beispiel und die sichere Anwendung.

Faktor- und Summenregel sind unproblematisch: Konstante Faktoren bleiben erhalten, Summen werden gliedweise abgeleitet. Die Potenzregel

\left(x^n\right)' = n\,x^{n-1}

gilt für alle reellen Exponenten und deckt damit auch Wurzeln und Kehrwerte ab, wenn man sie zuvor als Potenz schreibt —

\sqrt{x} = x^{1/2}

1/x^3 = x^{-3}

Die PRODUKTREGEL

(u\,v)' = u'v + u\,v'

ist die erste, bei der die naheliegende Vermutung falsch ist: Die Ableitung eines Produkts ist NICHT das Produkt der Ableitungen. Wer das prüfen will, leite

x\cdot x

auf beide Weisen ab — richtig ergibt sich

2x

, falsch

1

Die KETTENREGEL

(f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)

behandelt Verkettungen und ist der eA-Bestandteil dieses Abschnitts. Der Merksatz „äußere Ableitung mal innere Ableitung" trägt weit, verlangt aber, zuerst sauber zu bestimmen, WAS die äußere und was die innere Funktion ist. Der vergessene Faktor der inneren Ableitung ist der häufigste Fehler der ganzen Differentialrechnung.

Die Quotientenregel

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - u\,v'}{v^2}

ist im Zähler NICHT symmetrisch — die Reihenfolge entscheidet über das Vorzeichen. Wer sie sich schwer merkt, kann den Quotienten als Produkt

u\cdot v^{-1}

schreiben und Produkt- mit Kettenregel kombinieren; das führt auf dasselbe Ergebnis.

Zwei Standardableitungen sind auswendig zu beherrschen und werden ständig gebraucht:

\left(e^x\right)' = e^x

— die Funktion, die ihre eigene Ableitung ist — und

\left(\ln x\right)' = 1/x

. Aus ihnen folgen mit der Kettenregel alle Ableitungen der Exponential- und Logarithmusfunktionen zu beliebiger Basis.

Vokabeln

→ Kartei

die Potenzregel$(x^n)' = n x^{n-1}$; gilt für alle reellen $n$
die Produktregel$(uv)' = u'v + uv'$
die Kettenregeläußere mal innere Ableitung
die Quotientenregel$\frac{u'v - uv'}{v^2}$Zähler nicht symmetrisch
die innere Funktiondie zuerst wirkende Funktion einer Verkettung

Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

(c\,f)' = c\,f',\quad (f+g)' = f' + g',\quad (f\,g)' = f'g + fg',\quad \left(\tfrac{f}{g}\right)' = \tfrac{f'g - fg'}{g^{2}},\quad (f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)

Ableitungen elementarer Funktionen

(x^{n})' = n\,x^{n-1},\quad (\mathrm{e}^{x})' = \mathrm{e}^{x},\quad (\ln x)' = \tfrac{1}{x},\quad (\sin x)' = \cos x,\quad (\cos x)' = -\sin x

Typische Fehler

$(u\,v)' = u'\,v'$ gerechnet.
Bei der Kettenregel die innere Ableitung vergessen.
In der Quotientenregel Zähler und Nenner der Differenz vertauscht.
Bei $\sqrt{x}$ die Potenzregel nicht angewandt, weil die Potenzschreibweise fehlte.
$\left(e^{2x}\right)' = e^{2x}$ gerechnet statt $2e^{2x}$ — genau der fehlende innere Faktor.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie die Produktregel aus dem Differenzenquotienten her, indem Sie im Zähler den Term $u(x+h)v(x)$ addieren und subtrahieren. Erläutern Sie, warum dieser Kunstgriff die Zerlegung in zwei Grenzwerte ermöglicht.

Aktive Wiederholung

Bilden Sie die Ableitungen von $f(x) = (3x^2 + 1)\cdot e^{x}$ , $g(x) = \sqrt{2x + 5}$ und $h(x) = \dfrac{x^2}{x-1}$ . Benennen Sie jeweils die verwendete Regel und vereinfachen Sie das Ergebnis.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L4 (Kultusministerkonferenz)

Kurvendiskussion — Extrema und Wendepunkte#

~3 Min LesezeitStandardL4K1

Kurvendiskussion — der vollständige Ablauf

Abb. 4Die Reihenfolge ist nicht beliebig: Jeder Schritt braucht Ergebnisse des vorigen. Wer bei den Extrema beginnt, muss die Definitionsmenge später nachreichen.

Die Kurvendiskussion ist kein Selbstzweck, sondern das systematische Auslesen aller Eigenschaften einer Funktion aus ihren Ableitungen. Das VORZEICHEN von

f'

steuert die Monotonie: Wo

f' > 0

ist, steigt

f

streng monoton, wo

f' < 0

ist, fällt sie. Die Ableitung übersetzt damit eine Aussage über Steigungen in eine über den Kurvenverlauf.

An Extremstellen wechselt die Monotonie, also hat

f'

dort eine Nullstelle MIT Vorzeichenwechsel. Die Bedingung

f'(x_0) = 0

ist demnach nur NOTWENDIG — sie allein genügt nicht, wie

f(x) = x^3

bei

x_0 = 0

zeigt: Dort ist die Ableitung null, aber es liegt ein Sattelpunkt vor, kein Extremum.

Hinreichend ist entweder das VORZEICHENWECHSELKRITERIUM — Wechsel von

+

nach

-

ergibt ein Maximum, von

-

nach

+

ein Minimum — oder die zweite Ableitung:

f''(x_0) < 0

bedeutet Maximum,

f''(x_0) > 0

Minimum. Bei

f''(x_0) = 0

versagt das zweite Kriterium und man MUSS auf den Vorzeichenwechsel zurückgreifen.

Die zweite Ableitung beschreibt die KRÜMMUNG:

f'' > 0

bedeutet Linkskrümmung (der Graph ist konvex, „nach oben geöffnet"),

f'' < 0

Rechtskrümmung. Wendepunkte sind die Stellen, an denen die Krümmung wechselt — dort hat

f''

eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, oder gleichwertig

f'

ein Extremum.

Genau diese letzte Formulierung ist der beste Merksatz: Ein Wendepunkt von

f

ist eine Extremstelle von

f'

. Sachlich ist er die Stelle STÄRKSTER Änderung — bei einem Wachstumsprozess der Zeitpunkt, zu dem es am schnellsten vorangeht. Diese Deutung wird in Anwendungsaufgaben regelmäßig verlangt und ist wichtiger als die Rechnung.

Randbetrachtungen gehören zur vollständigen Diskussion: Auf einem abgeschlossenen Intervall kann der größte Funktionswert am RAND liegen, ohne dass dort

f' = 0

gilt. Wer nur die Nullstellen der Ableitung prüft, übersieht solche Randextrema — ein Fehler, der besonders in Optimierungsaufgaben teuer ist.

Vokabeln

→ Kartei

die notwendige Bedingung$f'(x_0) = 0$allein kein Nachweis
das Vorzeichenwechselkriteriumhinreichender Nachweis über den Wechsel von $f'$
der WendepunktStelle wechselnder Krümmung; Extremum von $f'$
der SattelpunktWendepunkt mit waagerechter Tangente
konvexlinksgekrümmt, $f'' > 0$

Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

(c\,f)' = c\,f',\quad (f+g)' = f' + g',\quad (f\,g)' = f'g + fg',\quad \left(\tfrac{f}{g}\right)' = \tfrac{f'g - fg'}{g^{2}},\quad (f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)

Polynom dritten Grades f(x) = x³ − 3x

Abb. 5Punktsymmetrisch zum Ursprung; Extremstellen bei \pm 1; Wendepunkt im Ursprung.

Musterlösung

Vollständige Kurvendiskussion einer Polynomfunktion

Untersuchen Sie $f(x) = x^{3} - 3x^{2}$ auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte und skizzieren Sie den Graphen.

Schritt 1 — Ableitungen
$f'(x) = 3x^{2} - 6x = 3x(x-2)$ und $f''(x) = 6x - 6$ .
Schritt 2 — Nullstellen
$f(x) = x^{2}(x-3) = 0$ liefert $x_{1} = 0$ (doppelt, Berührpunkt) und $x_{2} = 3$ .
Schritt 3 — Extrema
$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \vee x = 2$ . $f''(0) = -6 < 0$ → Hochpunkt $H(0\mid 0)$ . $f''(2) = 6 > 0$ → Tiefpunkt $T(2\mid -4)$ .
Schritt 4 — Wendepunkt
$f''(x) = 0 \Rightarrow x = 1$ ; $f'''(1) = 6 \neq 0$ , also Wendepunkt $W(1\mid -2)$ .

Ergebnis: Hochpunkt $H(0\mid 0)$ , Tiefpunkt $T(2\mid -4)$ , Wendepunkt $W(1\mid -2)$ ; Nullstellen $x=0$ (doppelt) und $x=3$ .

Typische Fehler

Aus $f'(x_0) = 0$ auf ein Extremum geschlossen, ohne die Art nachzuweisen ( $x^3$ als Gegenbeispiel).
Bei $f''(x_0) = 0$ vorschnell „kein Extremum" behauptet.
Nur die Stelle statt des Punktes angegeben.
Randextrema auf abgeschlossenen Intervallen übersehen.
Den Wendepunkt als Maximum von $f$ gedeutet statt als Extremum von $f'$ .

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Untersuchen Sie die Funktionsschar $f_a(x) = x^3 - a x$ in Abhängigkeit von $a$ auf Extrema und Wendepunkte. Bestimmen Sie, für welche $a$ überhaupt Extrema existieren, und beschreiben Sie die Ortskurve der Extrempunkte.

Aktive Wiederholung

Führen Sie für $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ eine vollständige Kurvendiskussion durch: Nullstellen, Monotonie, Extrema mit Nachweis der Art, Wendepunkt und Krümmungsverhalten. Skizzieren Sie den Graphen.

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Tangenten, Normalen und lineare Approximation#

~3 Min LesezeitStandardL4L3

Differentialquotient — Grenzwert der Sekantensteigung

Abb. 6Sekante durch P(x₀|f(x₀)) und Q(x₀+h|f(x₀+h)) konvergiert für h → 0 gegen die Tangente.

Die Tangente im Punkt

(x_0 \mid f(x_0))

ist die Gerade, die dort dieselbe Steigung hat wie die Kurve. Ihre Gleichung folgt aus der Punkt-Steigungs-Form:

y = f'(x_0)\,(x - x_0) + f(x_0)

. Zwei Zutaten werden gebraucht, und beide müssen an DERSELBEN Stelle bestimmt werden — der Funktionswert und die Ableitung.

Die NORMALE steht senkrecht auf der Tangente. Aus der Orthogonalitätsbedingung für Geradensteigungen folgt ihre Steigung als negativer Kehrwert:

m_N = -\dfrac{1}{f'(x_0)}

. Der Sonderfall

f'(x_0) = 0

ist eigens zu behandeln — dort ist die Tangente waagerecht und die Normale senkrecht, also keine Funktionsgerade.

Aus der Tangente ergibt sich die LINEARE APPROXIMATION

f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

: In der Nähe der Berührstelle darf man die Kurve durch ihre Tangente ersetzen. Das ist die eA-Deutung der Ableitung, die die KMK ausdrücklich nennt — die Ableitung als beste lineare Näherung.

Praktisch erlaubt das Kopfrechnungen, die sonst einen Rechner bräuchten. Für

f(x) = \sqrt{x}

bei

x_0 = 4

ist

f(4) = 2

und

f'(4) = 1/4

, also

\sqrt{4{,}1} \approx 2 + 0{,}025 = 2{,}025

— der genaue Wert ist

2{,}0248

. Die Näherung ist umso besser, je näher

x

x_0

liegt.

Bei Tangenten VON einem Punkt aus, der nicht auf der Kurve liegt, ist die Berührstelle unbekannt. Dann setzt man sie als

u

an, schreibt die Tangentengleichung in

u

und erzwingt, dass der gegebene Punkt sie erfüllt. Es entsteht eine Gleichung für

u

, die mehrere Lösungen haben kann — es gibt dann mehrere Tangenten.

Zwei Kurven BERÜHREN einander an einer Stelle, wenn dort sowohl die Funktionswerte als auch die Ableitungen übereinstimmen. Diese beiden Bedingungen zusammen sind der Standardansatz für Aufgaben, in denen Parameter so zu bestimmen sind, dass ein glatter Übergang entsteht.

Vokabeln

→ Kartei

die TangenteGerade gleicher Steigung im Berührpunkt
die NormaleSenkrechte zur TangenteSteigung ist der negative Kehrwert
die lineare ApproximationErsetzen der Kurve durch die Tangente
die Berührbedingunggleicher Funktionswert UND gleiche Ableitung

Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten

f'(x_{0}) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h}

Musterlösung

Tangentengleichung an einer Stelle

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an den Graphen von $f(x) = \mathrm{e}^{x}$ an der Stelle $x_{0} = 1$ .

Schritt 1 — Funktionswert
$f(1) = \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e} \approx 2{,}718$ .
Schritt 2 — Steigung
$f'(x) = \mathrm{e}^{x}$ , also $m = f'(1) = \mathrm{e}$ .
Schritt 3 — Tangentengleichung
$t(x) = m(x - x_{0}) + f(x_{0}) = \mathrm{e}(x - 1) + \mathrm{e} = \mathrm{e}\cdot x$ .
$t(x) = \mathrm{e}\cdot x$

Ergebnis: Tangente $t(x) = \mathrm{e}\cdot x$ — verläuft durch den Ursprung mit Steigung $\mathrm{e}$ .

Typische Fehler

$f'(x_0)$ als Funktionswert statt als Steigung in die Geradengleichung eingesetzt.
Bei der Normalen den Kehrwert ohne Minuszeichen gebildet.
Die Berührstelle bei Tangenten von außen mit dem gegebenen Punkt gleichgesetzt.
Bei Berührbedingungen nur die Funktionswerte gleichgesetzt und die Ableitungen vergessen.
Die lineare Näherung weit entfernt von $x_0$ verwendet und den wachsenden Fehler nicht erwähnt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Bestimmen Sie alle Tangenten an $f(x) = x^2$ , die durch den Punkt $P(0 \mid -1)$ verlaufen. Begründen Sie, warum es genau zwei gibt, und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie für $f(x) = x^2$ die Tangente und die Normale im Punkt mit $x_0 = 3$ . Nähern Sie anschließend mit der Tangente den Wert $f(3{,}05)$ und vergleichen Sie mit dem exakten Ergebnis.

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Extremwert- und Optimierungsaufgaben#

~3 Min LesezeitVertiefungL4K3

Extremwertaufgaben — der Lösungsweg

Abb. 7Der eigentliche Schritt ist Nummer 3: Eine Zielfunktion mit zwei Variablen lässt sich nicht ableiten. Die Nebenbedingung macht daraus eine Funktion einer Variablen.

Optimierungsaufgaben sind Modellierungsaufgaben mit einem analytischen Kern, und sie folgen einem festen Ablauf, der sich in jeder Aufgabe wiederholt. Zuerst wird die ZIELGRÖSSE benannt — was genau soll maximal oder minimal werden? Dann wird sie als Term aufgestellt, meist zunächst mit zwei Variablen.

Der zweite Schritt ist die NEBENBEDINGUNG: eine Gleichung aus dem Sachtext, die beide Variablen verknüpft — der verfügbare Zaun, das gegebene Volumen, die feste Materialmenge. Nach einer Variablen aufgelöst und in die Zielfunktion eingesetzt, bleibt eine Funktion EINER Variablen, auf die die Differentialrechnung anwendbar ist.

Erst jetzt folgt der analytische Teil: ableiten,

f'(x) = 0

lösen und die Art des Extremums nachweisen. Der Nachweis ist auch hier verpflichtend — die notwendige Bedingung allein zeigt nicht, ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt, und in Sachaufgaben ist die Verwechslung besonders folgenreich.

Der DEFINITIONSBEREICH kommt aus dem Sachverhalt, nicht aus der Formel. Eine Seitenlänge ist positiv, eine Anzahl ganzzahlig, ein Anteil höchstens 1. Diese Einschränkung ist keine Formalie: Sie schließt rechnerische Lösungen aus, die sachlich unmöglich sind, und macht die RANDWERTE zu ernstzunehmenden Kandidaten.

Genau dort liegt die häufigste Falle: Auf einem abgeschlossenen Intervall kann das Optimum am Rand liegen, wo

f'

gar nicht null ist. Wer nur die Nullstellen der Ableitung prüft, findet es dann nicht. Die vollständige Lösung vergleicht deshalb die Werte an den kritischen Stellen MIT denen an den Rändern.

Am Ende steht der Antwortsatz im Sachkontext, mit Einheit und sachgerechter Rundung. „

x = 7{,}3

" ist kein Ergebnis; „die Kiste wird

7{,}3\,\text{cm}

hoch, dann ist das Volumen mit

421\,\text{cm}^3

maximal" ist eines. Bei ganzzahligen Größen ist zusätzlich zu prüfen, welcher der beiden Nachbarwerte tatsächlich besser ist.

Vokabeln

→ Kartei

die Zielgrößezu optimierende Größe
die NebenbedingungGleichung, die die Variablenzahl reduziert
die ZielfunktionZielgröße als Funktion EINER Variablen
das RandextremumOptimum am Rand des Definitionsbereichsdort ist $f' \neq 0$

Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

(c\,f)' = c\,f',\quad (f+g)' = f' + g',\quad (f\,g)' = f'g + fg',\quad \left(\tfrac{f}{g}\right)' = \tfrac{f'g - fg'}{g^{2}},\quad (f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)

Interaktive Grafik lädt…

Typische Fehler

Die Nebenbedingung nicht eingesetzt und mit zwei Variablen abgeleitet.
Die Art des Extremums nicht nachgewiesen.
Randwerte des Definitionsbereichs nicht geprüft.
Negative oder anderweitig sachlich unmögliche Lösungen mitgeführt.
Ohne Antwortsatz und Einheit geendet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Bestimmen Sie den Punkt auf der Parabel $y = x^2$ , der vom Punkt $P(0 \mid 3)$ den kleinsten Abstand hat. Nutzen Sie aus, dass es genügt, das QUADRAT des Abstands zu minimieren, und begründen Sie, warum dieser Kunstgriff zulässig ist.

Aktive Wiederholung

Aus einem quadratischen Karton der Seitenlänge $30\,\text{cm}$ wird an den Ecken je ein Quadrat der Seitenlänge $x$ ausgeschnitten; die Ränder werden zu einer offenen Schachtel hochgeklappt. Bestimmen Sie $x$ so, dass das Volumen maximal wird, weisen Sie die Art nach und geben Sie den Definitionsbereich an.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L4 und Kompetenz K3 (Kultusministerkonferenz)

Stand 05/2026Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

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Belege & Quellen

Quellen

Kultusministerkonferenz

Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L4

Siehe auch