Schwingungen und Wellen — Mechanische und elektromagnetische Wellen — Physik · Abitur-Zusammenfassung

Wellengrundgleichung und die Kenngrößen einer Welle#

~4 Min LesezeitBasisKMK 2.6.2Ausbreitung von Wellen

Wellenarten und ihre Kenngrößen

Abb. 1Die Grundgleichung c = λ·f gilt für jede Welle. Was sich unterscheidet, ist der Träger und die Schwingungsrichtung.

Eine Welle entsteht, wenn eine Schwingung sich durch die Kopplung benachbarter Teilchen fortpflanzt. Entscheidend ist dabei, was NICHT geschieht: Kein Teilchen wandert mit. Jedes schwingt nur um seine Ruhelage, während Energie und Impuls den Raum durchqueren. Wer das einmal sauber getrennt hat, versteht Wasserwellen, Schall und Licht mit demselben Bild.

Vier Größen beschreiben eine harmonische Welle vollständig: die Wellenlänge

\lambda

als räumlicher Abstand zweier gleichphasiger Punkte, die Periodendauer

T

als zeitlicher Abstand, die Frequenz

f = 1/T

und die Amplitude. Aus den ersten dreien folgt die Wellengrundgleichung

c = \lambda\,f

— eine Definitionsfolge, keine physikalische Zusatzannahme: In der Zeit

T

rückt die Welle genau um

\lambda

vor.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist eine Eigenschaft des MEDIUMS, nicht der Quelle. Wechselt eine Welle das Medium, bleibt ihre Frequenz erhalten — sie wird ja vom Erreger vorgegeben —, während sich

c

und mit ihm

\lambda

ändern. Aus dieser Regel folgt später die Brechung, und sie ist der häufigste Stolperstein in Aufgaben zum Medienübergang.

Nach der Schwingungsrichtung unterscheidet man zwei Typen. Bei TRANSVERSALwellen steht die Schwingung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (Seilwelle, Licht), bei LONGITUDINALwellen liegt sie parallel dazu, sodass Verdichtungen und Verdünnungen entstehen (Schall). Der Unterschied ist nicht nur beschreibend: Nur Transversalwellen lassen sich polarisieren, weshalb die Polarisierbarkeit des Lichts dessen Transversalität beweist.

Die vollständige Beschreibung leistet die Wellenfunktion

y(x,t) = \hat y\,\sin\!\left(2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)\right)

. Sie enthält beide Perioden zugleich: Hält man

x

fest, ergibt sich die Schwingung eines Teilchens über der Zeit; hält man

t

fest, ergibt sich das Momentbild der Welle über dem Ort. Prüfungsaufgaben verlangen regelmäßig, diese beiden Diagrammtypen sauber auseinanderzuhalten.

Das Minuszeichen vor

x/\lambda

kennzeichnet eine in POSITIVE

x

-Richtung laufende Welle: Ein Punkt weiter rechts erreicht denselben Schwingungszustand später. Ein Pluszeichen beschreibt entsprechend die rücklaufende Welle — genau die, die bei Reflexion entsteht und im Abschnitt zu stehenden Wellen gebraucht wird.

Vokabeln

→ Kartei

die Wellenlängeräumlicher Abstand zweier gleichphasiger Punkte
die PeriodendauerZeit für eine volle Schwingung; $T = 1/f$
die TransversalwelleSchwingung senkrecht zur Ausbreitungsrichtungnur diese ist polarisierbar
die LongitudinalwelleSchwingung parallel zur Ausbreitungsrichtungz. B. Schall in Luft
die Amplitudemaximale Auslenkung aus der Ruhelage

Harmonische Welle (Ausbreitung in +x-Richtung)

y(x, t) = A\sin\!\left(\omega t - k x + \varphi_0\right)

Wellenzahl $k = 2\pi/\lambda$ , Kreisfrequenz $\omega = 2\pi f$ ; Phasengeschwindigkeit $c = \omega/k = \lambda f$ .

Wellenfunktion der harmonischen Welle

y(x,t) = \hat y\,\sin\!\left(2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\right)

$y$ die Auslenkung in m, $\hat y$ die Amplitude in m, $t$ die Zeit in s, $x$ der Ort in m, $T$ die Periodendauer in s, $\lambda$ die Wellenlänge in m. Das Minuszeichen kennzeichnet die in positive $x$ -Richtung laufende Welle.

Harmonische Schwingung y(t) = A\sin(ωt)

Abb. 2Periodendauer T, Amplitude A = 1. Phasenverlauf einer ungedämpften Schwingung.

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Musterlösung

Kenngrößen einer Wasserwelle

Eine Wasserwelle hat $\lambda = 2{,}5\,\text{m}$ und $T = 1{,}25\,\text{s}$ . Berechnen Sie Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Frequenz bestimmen
Frequenz und Periodendauer sind Kehrwerte: $f = 1/T = 1/1{,}25\,\text{s} = 0{,}80\,\text{Hz}$ .
Geschwindigkeit berechnen
Mit der Wellengrundgleichung: $c = \lambda\,f = 2{,}5\,\text{m}\cdot 0{,}80\,\text{Hz} = 2{,}0\,\text{m/s}$ .
$c = \lambda\,f = \dfrac{\lambda}{T}$
Gegenprobe führen
Der direkte Weg $c = \lambda/T = 2{,}5/1{,}25 = 2{,}0\,\text{m/s}$ bestätigt das Ergebnis — beide Wege müssen übereinstimmen, weil $f = 1/T$ .
Einordnen
$2{,}0\,\text{m/s}$ ist für eine Wasserwelle plausibel (Schrittgeschwindigkeit). Zum Vergleich: Schall in Luft läuft mit $343\,\text{m/s}$ , Licht mit $3{,}0\cdot 10^8\,\text{m/s}$ — dieselbe Gleichung über 8 Zehnerpotenzen.

Ergebnis: Frequenz $f = 0{,}80\,\text{Hz}$ , Ausbreitungsgeschwindigkeit $c = 2{,}0\,\text{m/s}$ .

Typische Fehler

Ort-Zeit-Diagramm und Momentbild verwechselt und aus einem $y(t)$ -Diagramm die Wellenlänge abgelesen.
Angenommen, beim Medienübergang ändere sich die Frequenz. Sie bleibt konstant; die Quelle gibt sie vor.
Behauptet, die Wellenteilchen wanderten mit der Welle. Sie schwingen nur um ihre Ruhelage.
Schall als Transversalwelle bezeichnet. Schall in Luft ist longitudinal — deshalb ist er nicht polarisierbar.
Amplitude und Wellenlänge in der Skizze vertauscht: Die Amplitude wird SENKRECHT zur Ausbreitungsrichtung gemessen, die Wellenlänge längs.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie durch Einsetzen, dass $y(x,t) = \hat y\sin(\omega t - k x)$ mit $\omega = 2\pi/T$ und $k = 2\pi/\lambda$ die eindimensionale Wellengleichung $\partial^2 y/\partial x^2 = (1/c^2)\,\partial^2 y/\partial t^2$ genau dann löst, wenn $c = \omega/k$ gilt.

Aktive Wiederholung

Eine Wasserwelle hat die Wellenlänge $\lambda = 2{,}5\,\text{m}$ und die Periodendauer $T = 1{,}25\,\text{s}$ . Berechnen Sie Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit. Skizzieren Sie anschließend das Momentbild $y(x)$ und das Ort-Zeit-Diagramm $y(t)$ eines festen Punktes und benennen Sie, welche Größe in welchem Diagramm ablesbar ist.

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Quellen: LEIFIphysik — Mechanische Wellen: Grundlagen (Joachim Herz Stiftung) · Bildungsstandards im Fach Physik für die Allgemeine Hochschulreife (2020), Kap. 2.6.2 (Kultusministerkonferenz)

Interferenz und das Doppelspaltexperiment#

~4 Min LesezeitStandardKMK 2.6.2Überlagerung von Wellen

Doppelspalt — Interferenz

Abb. 3Zwei kohärente Wellen erzeugen Interferenzmaxima im Abstand

\Delta y = \lambda L / d

auf dem Schirm.

Treffen zwei Wellen zusammen, addieren sich ihre Auslenkungen an jedem Ort und zu jeder Zeit vorzeichenrichtig — das Superpositionsprinzip. Danach laufen beide ungestört weiter, als wäre nichts geschehen. Aus dieser einen Regel folgt das gesamte Interferenzverhalten, und sie ist zugleich eines der vier KMK-Basiskonzepte.

Ob es an einem Ort hell oder dunkel wird, entscheidet allein der GANGUNTERSCHIED

\Delta s

— der Wegunterschied der beiden Teilwellen. Bei

\Delta s = k\,\lambda

treffen die Wellen gleichphasig ein und verstärken sich (konstruktiv); bei

\Delta s = (k + \tfrac12)\lambda

löschen sie einander aus (destruktiv). Die Ordnung

k = 0, 1, 2, \dots

zählt die Maxima vom Zentrum aus.

Damit ein stabiles Muster entsteht, müssen die Quellen KOHÄRENT sein, also eine feste Phasenbeziehung halten. Zwei getrennte Lampen erfüllen das nie — ihre Phasen springen unabhängig. Deshalb erzeugt man beide Teilwellen aus EINER Quelle, indem man sie an einem Doppelspalt aufteilt; genau das ist der eigentliche Kunstgriff des Versuchs.

Für den Doppelspalt mit Spaltabstand

d

gilt die Maximumsbedingung

d\,\sin\alpha_k = k\,\lambda

(siehe ). Ist der Schirmabstand

L

groß gegen den Streifenabstand

a

, darf man

\sin\alpha \approx \tan\alpha = a/L

nähern, und es folgt die schulübliche Auswertungsformel

\lambda = d\,a/(k\,L)

.

Diese Formel macht den Doppelspalt zum MESSGERÄT: Aus drei bequem messbaren Längen — Spaltabstand, Streifenabstand und Schirmabstand — ergibt sich eine Wellenlänge im Bereich von Hundertsteln eines Mikrometers. Ein Aufbau mit

d = 0{,}20\,\text{mm}

und

L = 3{,}00\,\text{m}

liefert bei

9{,}5\,\text{mm}

Streifenabstand

633\,\text{nm}

— die Wellenlänge des Helium-Neon-Lasers.

Mit weißem, also polychromatischem Licht bleibt nur das Maximum nullter Ordnung weiß, denn dort ist der Gangunterschied für alle Farben null. Alle höheren Ordnungen spreizen sich zu Spektren auf, weil der Ablenkwinkel nach

\sin\alpha = k\lambda/d

mit der Wellenlänge wächst: Rot wird am stärksten abgelenkt, Violett am wenigsten. Bereits ab der zweiten Ordnung überlappen benachbarte Spektren.

Vokabeln

→ Kartei

der GangunterschiedWegunterschied zweier interferierender Teilwellen
die Kohärenzfeste Phasenbeziehung zweier WellenVoraussetzung für ein stabiles Interferenzmuster
konstruktive InterferenzVerstärkung bei $\Delta s = k\,\lambda$
destruktive InterferenzAuslöschung bei $\Delta s = (k+\tfrac12)\,\lambda$
die OrdnungZählnummer $k$ des Maximums vom Zentrum aus

Bedingungen für Interferenz

\Delta s = m\lambda\;\text{(konstruktiv)},\quad \Delta s = (m+\tfrac{1}{2})\lambda\;\text{(destruktiv)}

Auswertungsformel des Doppelspalts in Kleinwinkelnäherung

\lambda = \dfrac{d\,a}{k\,L}\qquad (L \gg a)

$\lambda$ die gesuchte Wellenlänge in m, $d$ der Spaltabstand in m, $a$ der Abstand benachbarter Maxima auf dem Schirm in m, $k$ die Ordnung, $L$ der Schirmabstand in m. Gültig nur für kleine Ablenkwinkel.

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Musterlösung

Wellenlängenbestimmung am Doppelspalt

Ein Doppelspalt mit $d = 0{,}20\,\text{mm}$ erzeugt auf einem Schirm in $L = 3{,}00\,\text{m}$ Abstand Maxima im Abstand $a = 9{,}5\,\text{mm}$ . Bestimmen Sie die Wellenlänge des Lichts.

Bedingung und Näherung ansetzen
Für benachbarte Maxima ist $k = 1$ . Wegen $a \ll L$ gilt $\sin\alpha \approx \tan\alpha = a/L$ , sodass aus $d\sin\alpha = k\lambda$ die Auswertungsformel folgt.
$\lambda = \dfrac{d\,a}{k\,L}$
Größen umrechnen
$d = 0{,}20\,\text{mm} = 2{,}0\cdot 10^{-4}\,\text{m}$ , $a = 9{,}5\,\text{mm} = 9{,}5\cdot 10^{-3}\,\text{m}$ , $L = 3{,}00\,\text{m}$ .
Wellenlänge auswerten
$\lambda = 2{,}0\cdot 10^{-4}\cdot 9{,}5\cdot 10^{-3} / (1\cdot 3{,}00) = 1{,}9\cdot 10^{-6}/3{,}00 \approx 6{,}33\cdot 10^{-7}\,\text{m} = 633\,\text{nm}$ .
Näherung und Ergebnis prüfen
Kontrolle der Näherung: $\sin\alpha_1 = \lambda/d = 3{,}2\cdot 10^{-3}$ , also $\alpha_1 \approx 0{,}18°$ — die Kleinwinkelnäherung ist mühelos erfüllt. Der Wert $633\,\text{nm}$ liegt im Roten und entspricht exakt der bekannten Linie des Helium-Neon-Lasers.

Ergebnis: Wellenlänge $\lambda \approx 633\,\text{nm}$ (rot) — die charakteristische Linie des Helium-Neon-Lasers; die Kleinwinkelnäherung ist bei $\alpha \approx 0{,}18°$ zulässig.

Typische Fehler

Gangunterschied und Spaltabstand verwechselt. $d$ ist der Abstand der Spalte, $\Delta s$ der Wegunterschied der Teilwellen.
Bei der destruktiven Bedingung $k\lambda$ statt $(k + \tfrac12)\lambda$ verwendet.
Die Kleinwinkelnäherung auch bei großen Ablenkwinkeln benutzt und dadurch die Wellenlänge systematisch zu klein bestimmt.
Den Streifenabstand $a$ mit dem Abstand vom Zentrum bis zum $k$ -ten Maximum gleichgesetzt; letzterer ist $k\cdot a$ .
Angenommen, ein breiterer Spaltabstand $d$ vergrößere den Streifenabstand. Wegen $a = \lambda L/d$ ist es umgekehrt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Stellen Sie die Bedingung für das erste MINIMUM am EINZELSPALT der Breite $b$ auf ( $b\sin\alpha = \lambda$ ) und begründen Sie mit der Zerlegung in Elementarwellen (Huygens), warum hier ein Minimum steht, wo der Doppelspalt bei gleichem Gangunterschied ein Maximum zeigt. Erklären Sie damit die Einhüllende des realen Doppelspaltmusters.

Aktive Wiederholung

Ein Doppelspalt mit $d = 0{,}20\,\text{mm}$ wird mit Laserlicht bestrahlt; auf einem Schirm in $L = 3{,}00\,\text{m}$ Entfernung beträgt der Abstand benachbarter Maxima $a = 9{,}5\,\text{mm}$ . Berechnen Sie die Wellenlänge, prüfen Sie die Zulässigkeit der Kleinwinkelnäherung und ordnen Sie das Ergebnis einer Lichtfarbe zu.

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Quellen: LEIFIphysik — Interferenz und Doppelspalt (Joachim Herz Stiftung)

Beugung am Gitter und am Einzelspalt#

~4 Min LesezeitStandardKMK 2.6.2Überlagerung von Wellen

Gitterbeugung

Abb. 4Hauptmaxima beim Beugungsgitter bei

\sin\alpha_k = k\lambda/g

mit Gitterkonstante

g

und Ordnung

k

.

Das optische Gitter ist der konsequent weitergedachte Doppelspalt: statt zweier Spalte nun Tausende, alle im gleichen Abstand

d

— der Gitterkonstante, die als Kehrwert der Strichzahl je Länge angegeben wird. Ein Gitter mit

570

Strichen je Millimeter hat demnach

d = 1{,}75\,\mu\text{m}

.

Die Maximumsbedingung ist dieselbe wie beim Doppelspalt,

d\sin\alpha_k = k\,\lambda

, doch die Wirkung ist eine andere. Bei sehr vielen Spalten löschen sich die Teilwellen bereits bei kleinsten Abweichungen von der Bedingung nahezu vollständig aus. Die Maxima werden dadurch extrem SCHARF, während sie beim Doppelspalt breit und verwaschen sind — und Schärfe ist genau das, was ein Messgerät braucht.

Deshalb ist das Gitter das Instrument der Spektroskopie: Es trennt eng benachbarte Wellenlängen sauber auf und macht Spektrallinien einzeln ausmessbar. Weil die Ablenkwinkel groß werden, ist hier die Kleinwinkelnäherung NICHT zulässig — es wird konsequent mit

\sin\alpha

gerechnet.

Die Zahl der beobachtbaren Ordnungen ist begrenzt, denn

\sin\alpha

kann höchstens 1 werden. Aus

k \leq d/\lambda

folgt für das genannte Gitter bei

633\,\text{nm}

ein Höchstwert von

2{,}77

, also sind nur die Ordnungen bis

k = 2

sichtbar. Eine Aufgabe, die nach der dritten Ordnung fragt, prüft genau diese Grenze — die richtige Antwort ist dann, dass sie nicht existiert.

Der Einzelspalt der Breite

b

verhält sich scheinbar widersprüchlich: Dort steht bei

b\sin\alpha = k\lambda

ein MINIMUM, wo der Doppelspalt ein Maximum zeigt. Der Grund liegt im Huygensschen Prinzip: Jeder Punkt des Spalts ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle, und bei diesem Gangunterschied lässt sich der Spalt in Paare zerlegen, die einander gerade auslöschen.

Am realen Doppelspalt wirken beide Effekte zugleich: Das feine Streifenmuster der Interferenz wird von der breiten Beugungsfigur des Einzelspalts EINGEHÜLLT. Deshalb sind die äußeren Maxima schwächer als die inneren, und deshalb fehlen einzelne Ordnungen ganz, wenn sie gerade auf ein Minimum der Einhüllenden fallen.

Vokabeln

→ Kartei

die GitterkonstanteAbstand benachbarter Spalte; Kehrwert der Strichzahl je Länge
die BeugungAbweichung der Welle von der geradlinigen Ausbreitung am Hindernis
das Huygenssche Prinzipjeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle
die Einhüllendedurch die Einzelspaltbeugung vorgegebene Helligkeitsgrenze des Musters

Maxima am optischen Gitter

d\,\sin\alpha_k = k\,\lambda,\qquad d = \dfrac{1}{N}

$d$ die Gitterkonstante in m, $N$ die Strichzahl je Längeneinheit, $\alpha_k$ der Ablenkwinkel der $k$ -ten Ordnung, $\lambda$ die Wellenlänge in m. Beobachtbar sind nur Ordnungen mit $k \leq d/\lambda$ .

Minima am Einzelspalt

b\,\sin\alpha_k = k\,\lambda \qquad (\text{Minima, } k = 1, 2, \dots)

$b$ die Spaltbreite in m. Achtung: Dieselbe Gleichungsform beschreibt am Gitter MAXIMA, am Einzelspalt aber MINIMA.

Musterlösung

Ablenkwinkel und Ordnungsgrenze am Gitter

Ein Gitter mit $570$ Strichen je Millimeter wird mit $\lambda = 633\,\text{nm}$ bestrahlt. Berechnen Sie die Gitterkonstante, die Winkel der ersten beiden Ordnungen und die höchste beobachtbare Ordnung.

Gitterkonstante bestimmen
Die Gitterkonstante ist der Kehrwert der Strichzahl je Länge: $d = 1/(570\cdot 10^3\,\text{m}^{-1}) \approx 1{,}75\cdot 10^{-6}\,\text{m} = 1{,}75\,\mu\text{m}$ .
Erste Ordnung berechnen
$\sin\alpha_1 = \lambda/d = 633\cdot 10^{-9}/1{,}75\cdot 10^{-6} \approx 0{,}361$ , also $\alpha_1 \approx 21{,}1°$ . Bei diesem Winkel wäre die Kleinwinkelnäherung bereits um mehrere Prozent falsch.
$\sin\alpha_k = \dfrac{k\,\lambda}{d}$
Zweite Ordnung berechnen
$\sin\alpha_2 = 2\cdot 0{,}361 = 0{,}722$ , also $\alpha_2 \approx 46{,}2°$ .
Ordnungsgrenze bestimmen
Für $k = 3$ ergäbe sich $\sin\alpha_3 = 1{,}08 > 1$ — mathematisch unlösbar, physikalisch: Diese Ordnung tritt nicht auf. Aus $k \leq d/\lambda = 2{,}77$ folgt, dass genau die Ordnungen $k = 0, 1, 2$ beobachtbar sind, also fünf Maxima einschließlich der symmetrischen Gegenseite.

Ergebnis: Gitterkonstante $d \approx 1{,}75\,\mu\text{m}$ ; $\alpha_1 \approx 21{,}1°$ , $\alpha_2 \approx 46{,}2°$ ; die dritte Ordnung existiert nicht, da $d/\lambda \approx 2{,}77$ .

Typische Fehler

Die Kleinwinkelnäherung auf das Gitter übertragen, obwohl die Winkel über $20°$ liegen.
Die Gitterkonstante mit der Strichzahl gleichgesetzt statt deren Kehrwert zu bilden.
Ordnungen berechnet, für die $\sin\alpha > 1$ herauskommt, und das Ergebnis stehen gelassen statt es als „nicht beobachtbar" zu deuten.
Beim Einzelspalt die Maximumsbedingung des Doppelspalts benutzt. Am Einzelspalt liegt dort ein MINIMUM.
In der Gitterkonstante mm und m verwechselt; das verschiebt das Ergebnis um den Faktor 1000.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie mit dem Huygensschen Prinzip die Minimumsbedingung des Einzelspalts her, indem Sie den Spalt in zwei Hälften zerlegen und die paarweise Auslöschung zeigen. Erklären Sie damit die Einhüllende des Doppelspaltmusters und begründen Sie, unter welcher Bedingung eine ganze Interferenzordnung fehlt.

Aktive Wiederholung

Ein Gitter mit $570$ Strichen je Millimeter wird mit Licht der Wellenlänge $633\,\text{nm}$ bestrahlt. Berechnen Sie die Gitterkonstante und die Ablenkwinkel der ersten und zweiten Ordnung. Bestimmen Sie außerdem, wie viele Ordnungen insgesamt beobachtbar sind, und begründen Sie Ihr Ergebnis.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Beugung am Gitter und am Spalt (Joachim Herz Stiftung)

Stehende Wellen und Resonanz#

~4 Min LesezeitStandardKMK 2.6.2Überlagerung von Wellen

Stehende Wellen — die drei Randbedingungen

Abb. 5Ob am Ende ein Knoten oder ein Bauch entsteht, entscheidet über die ganze Formelreihe. Das beidseitig offene und das beidseitig geschlossene Rohr klingen gleich — das einseitig offene nicht.

Überlagert sich eine hinlaufende Welle mit ihrer Reflexion, entsteht ein Muster, das nicht mehr wandert: die stehende Welle. An festen Orten — den KNOTEN — bleibt die Auslenkung dauerhaft null, an den BÄUCHEN dazwischen schwingt sie maximal. Der Abstand benachbarter Knoten beträgt stets eine halbe Wellenlänge, und das ist die Größe, die man im Experiment misst.

Die Randbedingungen entscheiden über das entstehende Muster. Ein FESTES Ende erzwingt einen Knoten, ein LOSES Ende einen Bauch — und bei der Reflexion am festen Ende erfährt die Welle zusätzlich einen Phasensprung von

\pi

, also einen Vorzeichenwechsel. Diese Regeln sind der Schlüssel zu jeder Aufgabe über Saiten und Pfeifen.

Für eine beidseitig eingespannte Saite der Länge

L

(zwei Knoten) folgt

L = n\,\lambda_n/2

, also

\lambda_n = 2L/n

und

f_n = n\,c/(2L)

. Die möglichen Frequenzen sind demnach GANZZAHLIGE Vielfache der Grundfrequenz — genau das nennt die Musik Obertonreihe, und genau deshalb klingt eine Saite harmonisch.

Bei einer einseitig geschlossenen Pfeife liegt am geschlossenen Ende ein Knoten, am offenen ein Bauch. Dann passt nur eine VIERTEL Wellenlänge in die Grundschwingung,

L = \lambda/4

, und es treten ausschließlich UNGERADE Vielfache auf. Deshalb klingt eine gedackte Orgelpfeife eine Oktave tiefer als eine offene gleicher Länge und dazu merklich hohler.

Wird ein schwingungsfähiges System von außen periodisch angeregt, hängt die Amplitude stark vom Verhältnis der Erregerfrequenz zur Eigenfrequenz ab. Bei Übereinstimmung wird sie maximal — RESONANZ. Wie hoch der Ausschlag wirklich wird, entscheidet die Dämpfung: Bei schwacher Dämpfung ist die Resonanzkurve schmal und hoch, bei starker breit und flach.

Resonanz ist technisch ebenso nützlich wie gefährlich. Musikinstrumente, Radioempfänger und die Kernspintomographie beruhen darauf; die Brückenschwingung durch Gleichschritt oder die Tacoma-Narrows-Brücke stehen für die Kehrseite. In Aufgaben ist stets beides zu würdigen — die Nutzung UND die Gefahr.

Vokabeln

→ Kartei

die stehende Welleortsfestes Muster aus hin- und rücklaufender Welle
der KnotenOrt dauerhaft verschwindender AuslenkungAbstand benachbarter Knoten: $\lambda/2$
der BauchOrt maximaler Auslenkung
die ResonanzAmplitudenmaximum bei Übereinstimmung von Erreger- und Eigenfrequenz
der PhasensprungVorzeichenwechsel bei Reflexion am festen Ende

Eigenschwingungen der beidseitig eingespannten Saite

\lambda_n = \dfrac{2L}{n},\qquad f_n = n\,\dfrac{c}{2L},\qquad n = 1, 2, 3, \dots

$L$ die Saitenlänge in m, $c$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit auf der Saite in m/s, $n$ die Nummer der Oberschwingung. Die Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz.

Eigenschwingungen der gedackten Pfeife

L = (2n - 1)\,\dfrac{\lambda}{4} \qquad (\text{einseitig geschlossene Pfeife})

Am geschlossenen Ende ein Knoten, am offenen ein Bauch. Es treten nur UNGERADE Vielfache der Grundfrequenz auf.

Musterlösung

Eigenfrequenzen einer beidseitig eingespannten Saite

Berechnen Sie die ersten drei Eigenfrequenzen einer beidseitig eingespannten Gitarrensaite (Länge $L = 65\,\text{cm}$ , Wellengeschwindigkeit $c = 300\,\text{m/s}$ ).

Schritt 1 — Resonanzbedingung
Bei beidseitig fest eingespannter Saite müssen Knoten an den Enden sitzen: $L = n\,\lambda/2$ .
Schritt 2 — Wellenlängen
$\lambda_n = 2 L/n$ für $n = 1, 2, 3, \dots$ ergibt $\lambda_1 = 1{,}30\,\text{m}$ , $\lambda_2 = 0{,}65\,\text{m}$ , $\lambda_3 = 0{,}433\,\text{m}$ .
$\lambda_n = \dfrac{2 L}{n}$
Schritt 3 — Frequenzen
$f_n = c/\lambda_n = n c/(2 L) = n\cdot 230{,}8\,\text{Hz}$ .
Schritt 4 — Resultat
$f_1 \approx 231\,\text{Hz}$ , $f_2 \approx 462\,\text{Hz}$ , $f_3 \approx 692\,\text{Hz}$ .
Schritt 5 — Interpretieren
Grundfrequenz $\approx 231\,\text{Hz}$ entspricht etwa der A-Saite einer Gitarre; Obertöne sind ganzzahlige Vielfache.

Ergebnis: Eigenfrequenzen $231\,\text{Hz}$ , $462\,\text{Hz}$ , $692\,\text{Hz}$ — harmonische Reihe.

Typische Fehler

Den Knotenabstand als ganze Wellenlänge angesetzt. Er beträgt $\lambda/2$ .
Bei der gedackten Pfeife mit $L = n\lambda/2$ gerechnet. Dort gilt $L = \lambda/4$ in der Grundschwingung, und nur ungerade Vielfache treten auf.
Den Phasensprung bei Reflexion am festen Ende übersehen; er entscheidet darüber, ob dort ein Knoten oder ein Bauch entsteht.
Angenommen, bei Resonanz wachse die Amplitude unbegrenzt. Die Dämpfung begrenzt sie stets.
Behauptet, in der stehenden Welle werde keine Energie transportiert, ohne zu erwähnen, dass sie zwischen den Bäuchen weiterhin pendelt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie durch trigonometrische Umformung, dass die Überlagerung zweier gegenläufiger Wellen $y_1 = \hat y\sin(\omega t - kx)$ und $y_2 = \hat y\sin(\omega t + kx)$ auf $y = 2\hat y\cos(kx)\sin(\omega t)$ führt, und lesen Sie daran ab, dass der Ortsfaktor $\cos(kx)$ die festen Knoten erzeugt, während der Zeitfaktor für ALLE Orte gleich ist.

Aktive Wiederholung

Eine beidseitig eingespannte Saite der Länge $L = 0{,}65\,\text{m}$ schwingt im Grundton mit $f_1 = 440\,\text{Hz}$ . Berechnen Sie die Wellenlänge der Grundschwingung und die Ausbreitungsgeschwindigkeit auf der Saite. Geben Sie außerdem die Frequenz der zweiten Oberschwingung an und skizzieren Sie deren Knoten- und Bauchverteilung.

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Quellen: LEIFIphysik — Stehende Wellen und Resonanz (Joachim Herz Stiftung)

Der Doppler-Effekt#

~4 Min LesezeitStandardKMK 2.6.2Ausbreitung von Wellen

Doppler-Effekt — die vier Fälle

Abb. 6🔴 Bewegte Quelle und bewegter Beobachter liefern NICHT dieselbe Formel. Der Unterschied ist bei kleinen Geschwindigkeiten winzig — in der Klausur aber entscheidend.

Bewegen sich Quelle und Beobachter relativ zueinander, ändert sich die WAHRGENOMMENE Frequenz, obwohl die Quelle unverändert sendet. Beim Vorbeifahren eines Rettungswagens hört man den Wechsel als deutlichen Tonsprung — die Sirene selbst hat sich nie verändert.

Die Ursache ist rein geometrisch: Eine sich nähernde Quelle läuft ihren eigenen Wellenbergen gewissermaßen hinterher und schiebt sie zusammen, sodass die Wellenlänge vor ihr verkürzt und hinter ihr gedehnt wird. Nicht die Ausbreitungsgeschwindigkeit ändert sich — sie ist eine Eigenschaft des Mediums —, sondern der Abstand der Wellenberge.

Beim Schall sind die beiden Fälle NICHT gleichwertig, weil die Luft ein ausgezeichnetes Bezugssystem darstellt. Bewegt sich die QUELLE, gilt

f' = f\,c/(c \mp v_Q)

(Minus beim Annähern); bewegt sich der BEOBACHTER, gilt

f' = f\,(c \pm v_B)/c

. Die Formeln liefern für gleiche Relativgeschwindigkeit leicht verschiedene Werte — eine beliebte Prüfungsfrage.

Nähert sich die Quelle mit Schallgeschwindigkeit, geht der Nenner gegen null und die Formel divergiert. Physikalisch bedeutet das: Die Wellenfronten überlagern sich zur Stoßfront, dem Mach-Kegel. Der Überschallknall ist also kein einmaliger „Durchbruch", sondern begleitet das Flugzeug dauerhaft.

Bei LICHT gibt es kein Medium und damit kein ausgezeichnetes Bezugssystem — hier zählt allein die Relativgeschwindigkeit, und die Beschreibung ist relativistisch. Für

v \ll c

genügt die Näherung

\Delta\lambda/\lambda \approx v/c

. Entfernt sich die Quelle, verschieben sich die Linien zu größeren Wellenlängen: die Rotverschiebung.

Genau diese Rotverschiebung ferner Galaxien ist Hubbles Befund von 1929 und die empirische Grundlage der Expansion des Universums. Der Doppler-Effekt ist damit nicht bloß ein Kuriosum der Akustik, sondern ein Messinstrument, das von der Verkehrsradarfalle bis zur Kosmologie reicht.

Vokabeln

→ Kartei

der Doppler-EffektÄnderung der wahrgenommenen Frequenz bei Relativbewegung
die RotverschiebungVerschiebung zu größeren Wellenlängen bei sich entfernender Quelle
der Mach-KegelStoßfront bei Überschallgeschwindigkeit
die RadialgeschwindigkeitGeschwindigkeitskomponente längs der Sichtlinie

Doppler-Effekt (akustisch)

f_{B} = f_Q\,\dfrac{c \pm v_B}{c \mp v_Q}

Obere Vorzeichen: Beobachter/Quelle bewegen sich aufeinander zu; untere Vorzeichen: voneinander weg.

Doppler-Effekt beim Schall — die zwei Fälle

f' = f\,\dfrac{c}{c \mp v_Q}\quad(\text{bewegte Quelle}),\qquad f' = f\,\dfrac{c \pm v_B}{c}\quad(\text{bewegter Beobachter})

$f'$ die wahrgenommene Frequenz in Hz, $f$ die Sendefrequenz in Hz, $c$ die Schallgeschwindigkeit in m/s, $v_Q$ bzw. $v_B$ die Geschwindigkeit von Quelle bzw. Beobachter in m/s. Das obere Vorzeichen gilt jeweils für die Annäherung.

Optische Rotverschiebung in nichtrelativistischer Näherung

\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx \dfrac{v}{c}\qquad (v \ll c)

$\Delta\lambda$ die Wellenlängenverschiebung in m, $\lambda$ die Ruhewellenlänge in m, $v$ die Radialgeschwindigkeit in m/s, $c$ die Lichtgeschwindigkeit. Positives $\Delta\lambda$ bedeutet Entfernung (Rotverschiebung).

Musterlösung

Akustischer Doppler-Effekt — vorbeifahrendes Auto

Ein Krankenwagen sendet einen Ton der Frequenz $800\,\text{Hz}$ und fährt mit $25\,\text{m/s}$ an einem stehenden Beobachter vorbei. Bestimmen Sie die wahrgenommene Frequenz vor und nach dem Vorbeifahren ( $c = 343\,\text{m/s}$ ).

Schritt 1 — Bewegung zum Beobachter
$f_B = f_Q\,c/(c - v_Q) = 800\cdot 343/(343-25) = 800\cdot 1{,}0786 \approx 863\,\text{Hz}$ .
Schritt 2 — Bewegung weg vom Beobachter
$f_B = f_Q\,c/(c + v_Q) = 800\cdot 343/(343+25) = 800\cdot 0{,}9321 \approx 746\,\text{Hz}$ .
Schritt 3 — Frequenzsprung
Beim Vorbeifahren springt die wahrgenommene Frequenz von $\approx 863$ auf $\approx 746\,\text{Hz}$ — Differenz $\approx 117\,\text{Hz}$ .
Schritt 4 — Interpretieren
Das menschliche Gehör wandelt diese rund $2{,}5\,\text{Halbtöne}$ Tonhöhenänderung (aus $12\,\log_2(863/746) \approx 2{,}5$ ) in den typischen „Sirenenhuscher" beim Vorbeifahren.

Ergebnis: Hin: $863\,\text{Hz}$ , weg: $746\,\text{Hz}$ — Sprung von rund $117\,\text{Hz}$ .

Typische Fehler

Angenommen, die Schallgeschwindigkeit ändere sich durch die Bewegung der Quelle. Sie ist eine Eigenschaft der Luft und bleibt konstant.
Vorzeichen vertauscht und für die Annäherung eine niedrigere Frequenz erhalten.
Die Formeln für bewegte Quelle und bewegten Beobachter gleichgesetzt. Beim Schall unterscheiden sie sich.
Die akustischen Formeln unverändert auf Licht angewandt. Dort ist die relativistische Behandlung nötig; nur für $v \ll c$ gilt die Näherung.
Rot- und Blauverschiebung vertauscht: ENTFERNUNG bedeutet größere Wellenlänge, also Rotverschiebung.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie beide akustischen Fälle getrennt her — bei bewegter Quelle über die verkürzte Wellenlänge $\lambda' = (c - v_Q)/f$ , bei bewegtem Beobachter über die veränderte Begegnungsrate der Wellenberge. Begründen Sie damit, warum die Ergebnisse bei gleicher Relativgeschwindigkeit verschieden ausfallen und wieso diese Asymmetrie beim Licht entfallen MUSS.

Aktive Wiederholung

Ein Rettungswagen fährt mit $v = 25\,\text{m/s}$ und sendet einen Ton von $f = 800\,\text{Hz}$ (Schallgeschwindigkeit $c = 343\,\text{m/s}$ ). Berechnen Sie die wahrgenommene Frequenz bei Annäherung und bei Entfernung sowie den Frequenzsprung beim Vorbeifahren. Beurteilen Sie, ob dieser Sprung hörbar ist.

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Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Doppler-Effekt (Joachim Herz Stiftung)

Elektromagnetische Wellen und das Spektrum#

~4 Min LesezeitStandardKMK 2.6.2Ausbreitung von Wellen

Elektromagnetisches Spektrum

Abb. 7Wellenlängenskala von Radiowellen bis Gammastrahlung; sichtbares Licht belegt nur einen schmalen Ausschnitt um

400\text{–}750\,\text{nm}

.

Eine elektromagnetische Welle besteht aus einem elektrischen und einem magnetischen Feld, die sich gegenseitig erzeugen: Ein sich änderndes E-Feld erzeugt ein B-Feld und umgekehrt. Beide stehen senkrecht aufeinander UND senkrecht zur Ausbreitungsrichtung — die Welle ist transversal. Anders als Schall braucht sie kein Medium; das ist ihr entscheidender Unterschied zu allen mechanischen Wellen.

Im Vakuum breiten sich alle elektromagnetischen Wellen mit derselben Geschwindigkeit

c = 299\,792\,458\,\text{m/s}

aus — ein exakter Wert, denn seit 1983 ist über ihn das METER definiert. Es gilt weiterhin

c = \lambda f

, sodass Wellenlänge und Frequenz einander umgekehrt proportional sind: Was hochfrequent ist, ist kurzwellig.

Das Spektrum reicht über mehr als zwanzig Zehnerpotenzen und ist physikalisch EIN Phänomen (siehe ): Radiowellen (km bis m), Mikrowellen (cm), Infrarot (µm), sichtbares Licht (

380

–

780\,\text{nm}

), Ultraviolett, Röntgen- und Gammastrahlung (pm). Die Grenzen sind Konventionen der Erzeugung und Anwendung, keine physikalischen Sprünge.

Der sichtbare Bereich ist ein winziger Ausschnitt — knapp eine Oktave, während das Ohr etwa zehn Oktaven umfasst. Innerhalb dieses Fensters ordnet die Wellenlänge die Farben: Rot am langwelligen Ende bei etwa

700\,\text{nm}

, Violett am kurzwelligen bei etwa

400\,\text{nm}

.

Mit wachsender Frequenz wächst die Energie je Quant,

E = h f

— der Übergang zur Quantenphysik. Genau hier liegt die Grenze zwischen nicht-ionisierender Strahlung (bis Ultraviolett) und ionisierender Strahlung (hartes UV, Röntgen, Gamma), deren Quanten Elektronen aus Atomen lösen und dadurch biologisch schädigen können. Diese Unterscheidung ist der sachliche Kern jeder Bewertungsaufgabe zu Strahlenrisiken.

In Materie ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner:

v = c/n

mit der Brechzahl

n

. Da die Frequenz beim Medienübergang erhalten bleibt, verkürzt sich die WELLENLÄNGE entsprechend. Weil

n

zudem von der Wellenlänge abhängt (Dispersion), zerlegt ein Prisma weißes Licht in seine Farben.

Vokabeln

→ Kartei

die elektromagnetische Wellesich gegenseitig erzeugendes E- und B-Feld; braucht kein Medium
das SpektrumGesamtheit der Wellenlängenbereiche von Radio bis Gamma
die BrechzahlVerhältnis $c/v$ im Medium; bestimmt die Brechung
die DispersionAbhängigkeit der Brechzahl von der Wellenlänge
ionisierende StrahlungStrahlung mit Quantenenergien, die Elektronen ablösen können

Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Vakuum und in Materie

c = \lambda\,f = 2{,}998\cdot 10^8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}},\qquad v = \dfrac{c}{n}

$c$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit (exakt definiert), $\lambda$ die Wellenlänge in m, $f$ die Frequenz in Hz, $n$ die dimensionslose Brechzahl des Mediums, $v$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit darin in m/s.

Elektromagnetische Welle

Abb. 8Elektrisches Feld

E

(vertikal) und magnetisches Feld

B

(horizontal) schwingen senkrecht zueinander und zur Ausbreitungsrichtung.

Musterlösung

Drei Frequenzen im Spektrum einordnen

Bestimmen Sie zu $f_1 = 100\,\text{MHz}$ , $f_2 = 2{,}45\,\text{GHz}$ und $f_3 = 6{,}0\cdot 10^{14}\,\text{Hz}$ jeweils die Wellenlänge, den Spektralbereich und die Quantenenergie in eV.

Wellenlängen berechnen
$\lambda_1 = 2{,}998\cdot 10^8/1{,}00\cdot 10^8 \approx 3{,}0\,\text{m}$ ; $\lambda_2 = 2{,}998\cdot 10^8/2{,}45\cdot 10^9 \approx 0{,}122\,\text{m} = 12{,}2\,\text{cm}$ ; $\lambda_3 = 2{,}998\cdot 10^8/6{,}0\cdot 10^{14} \approx 5{,}0\cdot 10^{-7}\,\text{m} = 500\,\text{nm}$ .
$\lambda = \dfrac{c}{f}$
Bereiche zuordnen
Meterbereich ⇒ UKW-Radiowelle; gut $12\,\text{cm}$ ⇒ Mikrowelle (es ist die Frequenz des Mikrowellenherds und des WLAN); $500\,\text{nm}$ ⇒ sichtbares Licht, und zwar grün.
Quantenenergien bestimmen
Mit $E = h c/\lambda$ und $hc = 1240\,\text{eV}\,\text{nm}$ : $E_1 \approx 4\cdot 10^{-7}\,\text{eV}$ , $E_2 \approx 1{,}0\cdot 10^{-5}\,\text{eV}$ , $E_3 = 1240/500 \approx 2{,}5\,\text{eV}$ .
Ionisierende Wirkung beurteilen
Ionisation erfordert typischerweise über $10\,\text{eV}$ je Quant. Selbst grünes Licht bleibt mit $2{,}5\,\text{eV}$ weit darunter — keine der drei Strahlungen wirkt ionisierend. Der Mikrowellenherd erwärmt über die Anregung von Rotationen der Wassermoleküle, nicht durch Ionisation; das ist der sachliche Kern dieser häufigen Bewertungsfrage.

Ergebnis: $3{,}0\,\text{m}$ (UKW, $4\cdot 10^{-7}\,\text{eV}$ ) · $12{,}2\,\text{cm}$ (Mikrowelle, $1{,}0\cdot 10^{-5}\,\text{eV}$ ) · $500\,\text{nm}$ (grünes Licht, $2{,}5\,\text{eV}$ ); keine davon ist ionisierend.

Typische Fehler

Angenommen, elektromagnetische Wellen benötigten ein Medium („Äther"). Sie breiten sich im Vakuum aus.
Beim Übergang in Materie die Frequenz statt der Wellenlänge geändert.
Mikrowellen als ionisierend bezeichnet. Ionisierend wird Strahlung erst ab hartem UV; Mikrowellen erwärmen lediglich.
Frequenzeinheiten unumgerechnet eingesetzt ( $100\,\text{MHz}$ statt $1{,}0\cdot 10^8\,\text{Hz}$ ).
Behauptet, im sichtbaren Bereich habe Violett die größte Wellenlänge. Violett ist kurzwellig, Rot langwellig.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie mit $v = c/n$ und der Erhaltung der Frequenz, warum die Wellenlänge in Glas ( $n \approx 1{,}5$ ) auf etwa zwei Drittel schrumpft. Erklären Sie über die Wellenlängenabhängigkeit der Brechzahl, weshalb ein Prisma blaues Licht stärker bricht als rotes, und leiten Sie daraus die Farbfolge im Regenbogen ab.

Aktive Wiederholung

Ordnen Sie den Frequenzen $100\,\text{MHz}$ , $2{,}45\,\text{GHz}$ und $6{,}0\cdot 10^{14}\,\text{Hz}$ jeweils die Wellenlänge und den Spektralbereich zu. Beurteilen Sie anschließend anhand der Quantenenergie, welche dieser Strahlungen ionisierend wirken kann.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Elektromagnetisches Spektrum (Joachim Herz Stiftung)