DE · Abitur

Stochastik — Wahrscheinlichkeit und Verteilungen

Die Stochastik ist das Sachgebiet, in dem Mathematik über das Ungewisse spricht — und sie tut das mit derselben Strenge wie über das Sichere. Von der Laplace-Annahme über mehrstufige Experimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten bis zur Binomialverteilung wird hier das Werkzeug gebaut, mit dem die beurteilende Statistik später aus Stichproben auf die Wirklichkeit schließt. Die KMK führt das unter Leitidee L5 „Daten und Zufall".

6 Abschnitte~18 Min Lesezeit4 KompetenzenStand 05/2026

T·0888 / 10

Prüfungsprofil

K3 · Mathematisch modellierenK4 · Mathematische Darstellungen verwendenK5 · Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehenK1 · Mathematisch argumentieren

Operatoren:berechnenbestimmenbegründeninterpretierenbeurteilen

grundlegendes Niveau

gA: Sachverhalte mit Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln untersuchen und Probleme im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten lösen; stochastische Unabhängigkeit an einfachen Beispielen prüfen; die Binomialverteilung und ihre Kenngrößen nutzen; Simulationen einsetzen.

erhöhtes Niveau

eA: zusätzlich diskrete und stetige Zufallsgrößen unterscheiden, die Glockenform als Grundvorstellung normalverteilter Größen nutzen und stochastische Situationen untersuchen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen führen.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Stochastik — Wahrscheinlichkeit und Verteilungen

6 Abschnitte30 Merksätze5 Formeln30 Fehlerwarnungen

Zufallsexperimente, Ereignisse und die Laplace-Annahme#

~2 Min LesezeitBasisL5K5

Baumdiagramm — Zweistufiges Zufallsexperiment

Abb. 1Pfadwahrscheinlichkeiten ergeben sich durch Multiplikation entlang eines Pfades.

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang mit mehreren möglichen Ausgängen, von denen keiner sicher vorhersagbar ist, dessen Bedingungen sich aber beliebig oft wiederholen lassen. Die Menge aller Ausgänge heißt Ergebnisraum

\Omega

; ein EREIGNIS ist eine Teilmenge davon. Diese Mengensprache ist keine Förmlichkeit — sie macht Und, Oder und Nicht rechenbar.

Bei einem LAPLACE-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, und dann gilt die vertraute Abzählregel

P(E) = |E|/|\Omega|

— günstige durch mögliche Fälle. Entscheidend ist, dass die Gleichwahrscheinlichkeit eine ANNAHME ist, die begründet werden muss: Sie trifft auf einen fairen Würfel zu, nicht auf das Wetter und nicht auf einen gezinkten Würfel.

Aus den Axiomen folgen die Rechenregeln, die jede Aufgabe trägt. Für das Gegenereignis gilt

P(\bar{E}) = 1 - P(E)

; für beliebige Ereignisse der Additionssatz

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

, wobei der Subtraktionsterm die doppelt gezählte Schnittmenge korrigiert. Nur bei UNVEREINBAREN Ereignissen entfällt er.

Der Griff zum Gegenereignis ist die wichtigste Rechentechnik dieses Abschnitts. Formulierungen wie „mindestens einmal" führen direkt darauf:

P(\text{mindestens einmal}) = 1 - P(\text{keinmal})

. Statt vieler Summanden bleibt ein einziger Term — wer das erkennt, spart in der Klausur mehr Zeit als mit jedem Rechnerbefehl.

Bei mehrstufigen Experimenten leistet das BAUMDIAGRAMM die Übersetzung: Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten MULTIPLIZIERT (Pfadregel), über verschiedene Pfade zum selben Ereignis ADDIERT (Summenregel). An jeder Verzweigung müssen sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 ergänzen — die zuverlässigste Selbstkontrolle beim Aufstellen.

Vokabeln

→ Kartei

der ErgebnisraumMenge $\Omega$ aller möglichen Ausgänge
das EreignisTeilmenge des Ergebnisraums
das Laplace-ExperimentExperiment mit lauter gleich wahrscheinlichen Ergebnissen
das GegenereignisKomplement $\bar{E}$ mit $P(\bar E) = 1 - P(E)$
die Pfadregelentlang eines Pfades multiplizieren, über Pfade addieren

Laplace-Wahrscheinlichkeit

P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}\quad \text{(Laplace-Experiment)}

Der Start lädt die Simulation von PhET (University of Colorado).Bei PhET öffnen ↗

Typische Fehler

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ auch bei überlappenden Ereignissen verwendet.
Gleichwahrscheinlichkeit unterstellt, wo sie sachlich nicht gilt.
Bei „mindestens einmal" alle Fälle einzeln addiert statt über das Gegenereignis zu rechnen.
Pfadwahrscheinlichkeiten addiert statt multipliziert.
Ein Ergebnis $> 1$ oder $< 0$ stehen gelassen, ohne den Fehler zu bemerken.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie mit dem Additionssatz die Siebformel für drei Ereignisse und wenden Sie sie auf ein selbst gewähltes Beispiel an. Erläutern Sie, warum die Korrekturterme abwechselnd subtrahiert und addiert werden.

Aktive Wiederholung

Ein fairer Würfel wird viermal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Sechs zu erhalten, und begründen Sie, warum der Weg über das Gegenereignis hier der günstigere ist.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L5 (Kultusministerkonferenz)

Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafel und Bayes#

~3 Min LesezeitStandardL5K1

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Abb. 2🔴 P(A|B) und P(B|A) sind verschieden. Diese Verwechslung ist der Kern fast aller Fehlschlüsse mit medizinischen Tests.

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A|B)

beantwortet die Frage: Wie wahrscheinlich ist

A

, WENN

B

bereits eingetreten ist? Rechnerisch verkleinert man dabei den Ergebnisraum auf

B

und misst darin den Anteil von

A

P(A|B) = P(A \cap B)/P(B)

. Die Bedingung steht also im NENNER — sie ist der neue Grundraum.

Die entscheidende Einsicht ist, dass

P(A|B)

und

P(B|A)

VÖLLIG verschiedene Größen sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit einer bestimmten Krankheit einen positiven Test hat, ist etwas ganz anderes als die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit positivem Test die Krankheit hat. Diese Verwechslung ist der berühmteste Fehler der ganzen Stochastik.

Die VIERFELDERTAFEL ist bei zwei Merkmalen das übersichtlichste Werkzeug: vier Innenfelder für die Schnittmengen, Randsummen für die Einzelwahrscheinlichkeiten, Gesamtsumme 1. Aus ihr lässt sich jede bedingte Wahrscheinlichkeit direkt ablesen — Innenfeld geteilt durch die passende RANDsumme. Bei Prozentaufgaben ist eine Tafel mit absoluten Häufigkeiten (etwa auf 10 000 Personen) fast immer der klarere Weg.

Der SATZ VON BAYES dreht die Bedingung um:

P(A|B) = P(B|A)\cdot P(A)/P(B)

, wobei

P(B)

meist über den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit aus den Pfaden des Baumdiagramms zusammengesetzt wird. Er ist die formale Antwort auf die eben genannte Verwechslung.

Zwei Ereignisse heißen stochastisch UNABHÄNGIG, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert, formal

P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)

oder gleichwertig

P(A|B) = P(A)

. Unabhängigkeit ist eine RECHNERISCH PRÜFBARE Eigenschaft, keine inhaltliche Vermutung — in Aufgaben ist sie stets nachzurechnen und nicht zu behaupten.

Vokabeln

→ Kartei

die bedingte Wahrscheinlichkeit$P(A|B)$ — Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$
die VierfeldertafelKreuztabelle zweier Merkmale mit Randsummen
der Satz von BayesUmkehrung der Bedingung
stochastisch unabhängig$P(A\cap B) = P(A)\,P(B)$rechnerisch zu prüfen, nicht zu vermuten
unvereinbarEreignisse mit leerem Schnittnicht zu verwechseln mit unabhängig

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes

P(A\mid B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}

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Musterlösung

Bedingte Wahrscheinlichkeit über Baumdiagramm

Eine Krankheit tritt mit Wahrscheinlichkeit 1 % auf. Der Test ist zu 95 % positiv bei Erkrankten und zu 4 % positiv bei Gesunden. Berechnen Sie $P(\text{krank}\mid \text{positiv})$ .

Schritt 1 — Pfadwahrscheinlichkeiten
$P(K\cap +) = 0{,}01\cdot 0{,}95 = 0{,}0095$ ; $P(\bar{K}\cap +) = 0{,}99\cdot 0{,}04 = 0{,}0396$ .
Schritt 2 — Gesamte positive Wahrscheinlichkeit
$P(+) = 0{,}0095 + 0{,}0396 = 0{,}0491$ .
Schritt 3 — Bayes-Formel
$P(K\mid +) = \tfrac{0{,}0095}{0{,}0491} \approx 0{,}193$ .
$P(K\mid +) \approx 19{,}3\,\%$
Schritt 4 — Interpretieren
Trotz positiver Diagnose ist die Person nur mit knapp 20 % wahrscheinlich tatsächlich krank — Folge der niedrigen Prävalenz.

Ergebnis: $P(\text{krank}\mid \text{positiv}) \approx 19{,}3\,\%$ — klassisches Beispiel der „Basisraten-Vernachlässigung".

Typische Fehler

$P(A|B)$ mit $P(B|A)$ verwechselt.
In $P(A|B) = P(A \cap B)/P(B)$ die falsche Größe in den Nenner gesetzt.
Unabhängigkeit behauptet, weil die Ereignisse „nichts miteinander zu tun haben", statt sie nachzurechnen.
Unvereinbar und unabhängig gleichgesetzt; unvereinbare Ereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit sind gerade NICHT unabhängig.
Bei Bayes $P(B)$ als gegeben angenommen, statt es aus den Pfaden zusammenzusetzen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Untersuchen Sie, wie sich die Aussagekraft eines positiven Tests ändert, wenn die Krankheit statt $0{,}5\,\%$ nun $10\,\%$ der Bevölkerung betrifft. Begründen Sie damit, warum Reihenuntersuchungen an der Allgemeinbevölkerung anders zu bewerten sind als Tests bei Verdachtsfällen.

Aktive Wiederholung

Ein Test erkennt eine Krankheit bei Erkrankten mit $98\,\%$ Wahrscheinlichkeit; bei Gesunden schlägt er in $3\,\%$ der Fälle fälschlich an. In der Bevölkerung sind $0{,}5\,\%$ erkrankt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person tatsächlich erkrankt ist, und deuten Sie das Ergebnis.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L5 (Kultusministerkonferenz)

Kombinatorik — Zählen ohne aufzuzählen#

~3 Min LesezeitStandardL1K5

Die vier Grundfälle des Abzählens

Abb. 3Zwei Fragen entscheiden: Kommt es auf die REIHENFOLGE an? Darf ZURÜCKGELEGT werden? Daraus ergeben sich genau vier Formeln.

Für Laplace-Wahrscheinlichkeiten muss man abzählen, wie viele Fälle es gibt — und bei realistischen Aufgabengrößen ist Aufschreiben unmöglich. Die Kombinatorik liefert die Abkürzungen. Alles hängt an zwei Fragen, die man sich VOR jeder Formelwahl stellen muss: Spielt die REIHENFOLGE eine Rolle, und darf ZURÜCKGELEGT werden?

Aus den vier Kombinationen dieser Fragen folgen die Grundformeln. Mit Reihenfolge und Zurücklegen gibt es

n^k

Möglichkeiten; mit Reihenfolge ohne Zurücklegen

n!/(n-k)!

; ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen der Binomialkoeffizient

\binom{n}{k}

. Der vierte Fall spielt im Abitur keine Rolle.

Der Binomialkoeffizient

\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

zählt die Auswahlen von

k

Objekten aus

n

ohne Beachtung der Reihenfolge. Anschaulich: Man zählt zunächst alle geordneten Auswahlen und teilt dann durch die

k!

Anordnungen, die dieselbe Menge beschreiben — das Teilen ist der eigentliche Gedanke.

Zwei Eigenschaften helfen beim Rechnen und Prüfen: die Symmetrie

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

(fünf aus sechs auswählen heißt eines weglassen) und die Randwerte

\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1

. Im Pascalschen Dreieck ist jeder Eintrag die Summe der beiden darüber — daraus lassen sich kleine Werte schneller ablesen als berechnen.

Die Verbindung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung stellt der Binomialkoeffizient in der nächsten Formel her: Er zählt genau die PFADE im Baumdiagramm, die zu

k

Treffern bei

n

Versuchen führen. Wer das erkannt hat, versteht die Binomialverteilung nicht als Formel zum Auswendiglernen, sondern als abgezählte Pfadsumme.

Vokabeln

→ Kartei

der Binomialkoeffizient$\binom{n}{k}$ — Auswahlen ohne Reihenfolge
die Fakultät$n! = 1\cdot 2\cdots n$; $0! = 1$
die PermutationAnordnung unter Beachtung der Reihenfolge
das Pascalsche DreieckZahlendreieck der Binomialkoeffizienten

Grundformeln der Kombinatorik (Variation und Kombination)

\text{geordnet, ohne Zurücklegen: } \frac{n!}{(n-k)!},\qquad \text{ungeordnet: } \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Die Wahl der Formel hängt davon ab, ob Reihenfolge zählt (geordnet) und ob Elemente mehrfach vorkommen dürfen (mit/ohne Zurücklegen).

Musterlösung

Kombinatorik — Anzahl günstiger Anordnungen

Aus 10 Teilnehmern werden ein erster, zweiter und dritter Platz vergeben. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Wie viele, wenn nur eine dreiköpfige Jury (ohne Rangfolge) gewählt wird?

Schritt 1 — Geordnete Auswahl (Plätze)
Rangfolge zählt, keine Wiederholung: Variation $\tfrac{n!}{(n-k)!}$ mit $n=10$ , $k=3$ .
$\frac{10!}{7!} = 10\cdot 9\cdot 8 = 720$
Schritt 2 — Ungeordnete Auswahl (Jury)
Reihenfolge egal: Kombination $\binom{10}{3}$ .
$\binom{10}{3} = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1} = 120$
Schritt 3 — Vergleich
Die geordnete Anzahl ist um den Faktor $3! = 6$ größer, da jede Jury-Auswahl auf $3!$ verschiedene Rangfolgen verteilt werden kann.

Ergebnis: Platzvergabe: $720$ Möglichkeiten; Jurywahl ohne Rangfolge: $120$ Möglichkeiten ( $720/3! = 120$ ).

Typische Fehler

Reihenfolge berücksichtigt, wo sie irrelevant ist (Lotto ist eine Auswahl, keine Anordnung).
$\binom{n}{k}$ mit $n^k$ verwechselt.
Fakultäten vollständig ausgerechnet statt gekürzt und dabei den Rechner überlaufen lassen.
Mit und ohne Zurücklegen vertauscht.
$0! = 1$ nicht gewusst und dadurch Randfälle falsch berechnet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie die Symmetrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ kombinatorisch (ohne Rechnung) und leiten Sie die Rekursion $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ her, indem Sie danach unterscheiden, ob ein festes Element ausgewählt wird oder nicht.

Aktive Wiederholung

Aus einer Klasse mit 25 Personen soll ein Team aus 4 Personen gebildet werden. Berechnen Sie die Anzahl der Möglichkeiten und begründen Sie Ihre Formelwahl über die beiden Leitfragen. Vergleichen Sie mit der Anzahl, wenn zusätzlich Rollen (Sprecher, Protokoll, …) zu vergeben wären.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L1 (Kultusministerkonferenz)

Zufallsgrößen, Erwartungswert und Standardabweichung#

~3 Min LesezeitStandardL2L4

Zufallsgrößen — Erwartungswert und Streuung

Abb. 4Der Erwartungswert ist der langfristige DURCHSCHNITT, nicht der wahrscheinlichste Wert. Ein Erwartungswert von 3,5 beim Würfel tritt nie ein.

Eine ZUFALLSGRÖSSE ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu — etwa die Augensumme zweier Würfel oder den Gewinn eines Spiels. Damit wird aus einem Ergebnisraum, über den man nur zählen kann, eine Größe, mit der man rechnen kann. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem Wert seine Wahrscheinlichkeit zu.

Der ERWARTUNGSWERT

E(X) = \sum x_i\,P(X = x_i)

ist der mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittelwert. Er ist der Wert, dem sich der Durchschnitt bei sehr vielen Wiederholungen annähert — NICHT der wahrscheinlichste Wert und oft gar nicht annehmbar: Der Erwartungswert eines Würfelwurfs ist

3{,}5

, eine

3{,}5

wird aber nie geworfen.

Für Spiele ist der Erwartungswert das Bewertungskriterium: Ein Spiel heißt FAIR, wenn der erwartete Gewinn null ist. Kommerzielle Glücksspiele haben stets einen negativen Erwartungswert für den Spieler — das ist keine Ansichtssache, sondern eine Rechnung, und die Aufgabenstellung „beurteilen Sie, ob das Spiel fair ist" zielt genau darauf.

Die VARIANZ

V(X) = \sum (x_i - \mu)^2 P(X = x_i)

misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert; ihre Wurzel ist die Standardabweichung

\sigma

. Quadriert wird, damit sich positive und negative Abweichungen nicht aufheben; die Wurzel führt anschließend zurück in die Einheit der Zufallsgröße — deshalb ist

\sigma

und nicht

V

die anschauliche Streuungsgröße.

Zwei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert können völlig verschieden sein: Eine sichere Auszahlung von 100 Euro und ein Spiel mit je hälftiger Chance auf 0 oder 200 Euro haben denselben Erwartungswert, aber sehr verschiedene Streuung. Erwartungswert UND Standardabweichung gemeinsam anzugeben ist deshalb keine Pflichtübung, sondern beschreibt erst die vollständige Situation.

Vokabeln

→ Kartei

die ZufallsgrößeZuordnung einer Zahl zu jedem Versuchsergebnis
der Erwartungswertwahrscheinlichkeitsgewichteter Mittelwertlangfristiger Durchschnitt, kein Einzelwert
die Varianzmittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert
die StandardabweichungWurzel der Varianz; Einheit der Zufallsgröße
das faire SpielSpiel mit Erwartungswert null

Erwartungswert und Varianz einer diskreten Zufallsgröße

E(X) = \sum_{i} x_{i}\,P(X=x_{i}),\qquad V(X) = \sum_{i} (x_{i}-\mu)^{2}\,P(X=x_{i}) = E(X^{2}) - \mu^{2}

Der Erwartungswert ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der Werte; die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung, die Verschiebungsformel $E(X^{2})-\mu^{2}$ erleichtert die Rechnung.

Musterlösung

Erwartungswert und faires Spiel beurteilen

Bei einem Glücksrad gewinnt man mit Wahrscheinlichkeit $0{,}2$ einen Betrag von $5$ €, mit $0{,}3$ einen Betrag von $2$ €, sonst nichts. Der Einsatz beträgt $2$ €. Bestimmen Sie den erwarteten Gewinn und beurteilen Sie die Fairness.

Schritt 1 — Zufallsgröße festlegen
Sei $X$ die Auszahlung (vor Abzug des Einsatzes): $X\in\{5;\,2;\,0\}$ mit $P=0{,}2;\,0{,}3;\,0{,}5$ .
Schritt 2 — Erwartungswert der Auszahlung
$E(X)=5\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}3 + 0\cdot 0{,}5 = 1{,}0 + 0{,}6 = 1{,}6$ (in €).
$E(X)=5\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}3 = 1{,}6\;\text{EUR}$
Schritt 3 — Erwarteter Reingewinn
Reingewinn $G=X-2$ ; $E(G)=E(X)-2 = 1{,}6 - 2 = -0{,}4$ .
Schritt 4 — Beurteilen
Da $E(G)=-0{,}40$ € $< 0$ , ist das Spiel unfair zuungunsten des Spielers; auf lange Sicht verliert man im Mittel $0{,}40$ € pro Spiel.

Ergebnis: Erwartete Auszahlung $1{,}60$ €, erwarteter Reingewinn $-0{,}40$ € — das Spiel ist nicht fair, da $E(G)<0$ .

Typische Fehler

Den Erwartungswert als wahrscheinlichsten Wert gedeutet.
Beim Erwartungswert ungewichtet gemittelt statt mit den Wahrscheinlichkeiten zu gewichten.
Varianz und Standardabweichung verwechselt und $V$ in der Einheit der Zufallsgröße angegeben.
Beim Spiel den Einsatz vergessen und den Bruttogewinn statt des Nettogewinns bewertet.
Eine Verteilung angegeben, deren Wahrscheinlichkeiten sich nicht zu 1 addieren.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie den Verschiebungssatz $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ und rechnen Sie damit die Varianz des obigen Spiels nach. Erläutern Sie, warum diese Form beim Rechnen meist bequemer ist als die Definition.

Aktive Wiederholung

Bei einem Glücksspiel kostet der Einsatz 2 Euro. Mit Wahrscheinlichkeit $0{,}1$ gewinnt man 10 Euro, mit $0{,}25$ gewinnt man 2 Euro, sonst nichts. Berechnen Sie den Erwartungswert des Nettogewinns und die Standardabweichung und beurteilen Sie, ob das Spiel fair ist.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L2 (Kultusministerkonferenz)

Die Binomialverteilung#

~3 Min LesezeitStandardL5L4

Binomialverteilung — Stabdiagramm B(n=10; p=0,3)

Abb. 5Wahrscheinlichkeiten P(X = k) für k = 0 bis 10; Maximum nahe E(X) = np = 3.

Die Binomialverteilung beschreibt die mit Abstand häufigste Situation der Schulstochastik: ein Versuch wird

n

-mal WIEDERHOLT, jeder Versuch hat genau zwei Ausgänge (Treffer/Niete), die Trefferwahrscheinlichkeit

p

bleibt konstant und die Versuche sind UNABHÄNGIG. Diese vier Bedingungen — die Bernoulli-Kette — sind vor jeder Anwendung zu prüfen.

Die dritte und vierte Bedingung sind die kritischen. Ziehen MIT Zurücklegen erfüllt sie, Ziehen OHNE Zurücklegen nicht, weil sich

p

mit jedem Zug ändert. Bei sehr großen Grundgesamtheiten ist die Änderung vernachlässigbar, und man rechnet näherungsweise binomial — aber diese Näherung muss benannt werden.

Die Formel

P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

ist aus dem Baumdiagramm ablesbar und muss nicht auswendig gelernt werden:

p^k(1-p)^{n-k}

ist die Wahrscheinlichkeit EINES Pfades mit

k

Treffern, und

\binom{n}{k}

zählt, wie viele solche Pfade es gibt. Wer die Formel so liest, kann sie jederzeit rekonstruieren.

Erwartungswert und Standardabweichung nehmen die besonders einfache Gestalt

\mu = n\,p

und

\sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)}

an. Beide folgen aus den allgemeinen Definitionen, sind hier aber ohne Summenrechnung verfügbar — was die Binomialverteilung für Anwendungen so handlich macht.

In Aufgaben ist fast immer nicht

P(X = k)

gefragt, sondern eine KUMULIERTE Wahrscheinlichkeit: „höchstens", „mindestens", „zwischen". Hier führen drei Übersetzungen zum Ziel: „höchstens

k

" ist

P(X \leq k)

, „mindestens

k

" ist

1 - P(X \leq k-1)

, und „zwischen

a

und

b

" ist

P(X \leq b) - P(X \leq a-1)

. Die

-1

in den beiden letzten Fällen ist die häufigste Fehlerquelle des Abschnitts.

Vokabeln

→ Kartei

die Bernoulli-Kette$n$ unabhängige Versuche mit konstantem $p$ und zwei Ausgängen
die BinomialverteilungVerteilung der Trefferzahl in einer Bernoulli-Kette
die kumulierte Wahrscheinlichkeit$P(X \leq k)$ — Summe bis zu einem Wert
der Trefferdas interessierende Ergebnis eines Bernoulli-Versuchs

Binomialverteilung B(n, p)

P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k},\quad E(X) = n p,\quad V(X) = n p (1-p)

Musterlösung

Binomialverteilung — Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert

Eine Klausuraufgabe hat 10 Multiple-Choice-Fragen mit je 4 Alternativen. Bei rein zufälligem Ankreuzen: Wie hoch ist $P(X \geq 5)$ und $E(X)$ ?

Schritt 1 — Parameter
Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0{,}25$ , Wiederholungen $n = 10$ . $X \sim B(10; 0{,}25)$ .
Schritt 2 — Erwartungswert
$E(X) = np = 10\cdot 0{,}25 = 2{,}5$ .
Schritt 3 — Wahrscheinlichkeit
$P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4)$ ; per Tabelle oder GTR: $P(X \leq 4) \approx 0{,}9219$ , also $P(X \geq 5) \approx 0{,}0781$ .
$P(X \geq 5) \approx 7{,}81\,\%$

Ergebnis: $E(X) = 2{,}5$ richtige Antworten; $P(X \geq 5) \approx 7{,}8\,\%$ .

Typische Fehler

Bei „mindestens $k$ " mit $1 - P(X \leq k)$ statt $1 - P(X \leq k-1)$ gerechnet.
Binomial gerechnet, obwohl ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit gezogen wird.
$k$ und $n$ im Binomialkoeffizienten vertauscht.
Die Exponenten vertauscht: $p^{n-k}(1-p)^k$ statt $p^k(1-p)^{n-k}$ .
$\sigma = \sqrt{np}$ statt $\sqrt{np(1-p)}$ verwendet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Untersuchen Sie, für welches $k$ die Wahrscheinlichkeit $P(X = k)$ bei festem $n$ und $p$ maximal wird, indem Sie den Quotienten $P(X=k+1)/P(X=k)$ betrachten. Zeigen Sie, dass das Maximum stets in der Nähe von $n\,p$ liegt.

Aktive Wiederholung

Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}2$ fehlerhaft; es werden $n = 50$ Bauteile geprüft. Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Wahrscheinlichkeiten für genau 10, für höchstens 10 und für mindestens 15 fehlerhafte Teile.

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Simulation stochastischer Situationen#

~2 Min LesezeitStandardL5K5

Simulation von Zufallsexperimenten

Abb. 6Eine Simulation ersetzt keine Rechnung, sondern prüft sie — und macht Verteilungen zugänglich, die sich nicht geschlossen berechnen lassen.

Die KMK verlangt ausdrücklich, Simulationen zur Untersuchung stochastischer Situationen verwenden zu können. Der Grund ist praktisch: Viele Fragestellungen sind rechnerisch schwer oder gar nicht zugänglich, lassen sich aber leicht NACHSPIELEN — und das Nachspielen liefert eine belastbare Näherung.

Grundlage jeder Simulation ist ein GEEIGNETES Zufallsgerät, dessen Wahrscheinlichkeiten denen der Situation entsprechen. Für

p = 1/6

eignet sich ein Würfel, für

p = 0{,}3

ein Zufallszahlengenerator mit dem Intervall

[0;\,0{,}3)

. Die Zuordnung zwischen Zufallszahlen und Ereignissen muss VOR dem Start festgelegt und dokumentiert werden.

Das Verfahren ist immer dasselbe: Ein Durchgang wird definiert, hinreichend oft wiederholt, und aus den Ergebnissen wird die RELATIVE HÄUFIGKEIT des interessierenden Ereignisses gebildet. Diese relative Häufigkeit ist die Schätzung für die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Die theoretische Rechtfertigung liefert das GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN: Mit wachsender Versuchszahl nähert sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit an. Wichtig ist die Genauigkeit dieser Annäherung — sie verbessert sich nur mit

\sqrt{n}

, sodass hundertfacher Aufwand die Genauigkeit lediglich verzehnfacht.

Zur ehrlichen Auswertung gehört deshalb immer eine Aussage über die UNSICHERHEIT: Eine Simulation mit 100 Durchgängen liefert eine Schätzung mit einer Fehlerspanne von mehreren Prozentpunkten. Eine Simulation, deren Ergebnis ohne diese Einordnung als Wahrscheinlichkeit präsentiert wird, überschätzt ihre eigene Aussagekraft — genau das soll die geforderte Beurteilung verhindern.

Vokabeln

→ Kartei

die SimulationNachspielen eines Zufallsexperiments zur Schätzung
die relative HäufigkeitAnteil der Treffer an allen Durchgängen
das Gesetz der großen ZahlenAnnäherung der relativen Häufigkeit an die Wahrscheinlichkeit
der Durchgangeine vollständige Wiederholung des simulierten Experiments

Typische Fehler

Die relative Häufigkeit einer Simulation als exakte Wahrscheinlichkeit ausgegeben.
Ein Zufallsgerät gewählt, dessen Wahrscheinlichkeiten nicht zur Situation passen.
Zu wenige Durchgänge simuliert und das Ergebnis dennoch auf zwei Nachkommastellen angegeben.
Die Zuordnung der Zufallszahlen nicht dokumentiert, sodass die Simulation nicht nachvollziehbar ist.
Angenommen, doppelt so viele Durchgänge halbierten den Fehler; er sinkt nur mit $1/\sqrt{n}$ .

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Entwerfen Sie eine Simulation zum Geburtstagsproblem (Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 23 Personen zwei am selben Tag Geburtstag haben) und schätzen Sie, wie viele Durchgänge nötig sind, um das Ergebnis auf $\pm 2$ Prozentpunkte genau zu bestimmen.

Aktive Wiederholung

Beschreiben Sie eine Simulation für die Frage, wie wahrscheinlich es ist, bei fünf Würfen mindestens eine Sechs zu erhalten. Legen Sie Zufallsgerät, Durchgang und Auswertung fest, und vergleichen Sie das zu erwartende Ergebnis mit dem theoretischen Wert.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L5 (Kultusministerkonferenz)

Stand 05/2026Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

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Belege & Quellen

Quellen

Kultusministerkonferenz

Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L5

Siehe auch