DE · Abitur

Folgen und Reihen

Folgen sind die diskrete Schwester der Analysis: Statt einer durchgehenden Kurve betrachtet man abzählbar viele Werte — und genau daran lässt sich der Grenzwertbegriff sauber lernen, bevor er bei Ableitung und Integral gebraucht wird. Die KMK verankert das unter Leitidee L1 („Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs nutzen") und der Kompetenz K1, denn hier wird auch das Beweisen geübt.

6 Abschnitte~19 Min Lesezeit4 KompetenzenStand 05/2026

T·0777 / 10

Prüfungsprofil

K1 · Mathematisch argumentierenK2 · Probleme mathematisch lösenK5 · Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehenK4 · Mathematische Darstellungen verwenden

Operatoren:berechnenbestimmenbegründenbeweisenuntersuchen

grundlegendes Niveau

gA: Folgen als Zuordnungen verstehen, arithmetische und geometrische Folgen erkennen und ihre Glieder berechnen, Konvergenz anschaulich deuten und einfache Grenzwerte bestimmen.

erhöhtes Niveau

eA: zusätzlich Monotonie und Beschränktheit als Konvergenzkriterium nutzen, rekursive Folgen und Fixpunkte untersuchen, geometrische Reihen summieren und Konvergenz begründen sowie vollständige Induktion als Beweisverfahren sicher einsetzen.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Folgen und Reihen

6 Abschnitte30 Merksätze3 Formeln30 Fehlerwarnungen

Folgen und Konvergenz#

~3 Min LesezeitStandardL1K5

Konvergenz einer Folge gegen Grenzwert g

Abb. 1Ab einem Index N₀ liegen alle Folgenglieder im ε-Schlauch um g.

Eine Folge ist nichts anderes als eine Funktion, deren Definitionsbereich die natürlichen Zahlen sind: Jedem

n

wird ein Glied

a_n

zugeordnet. Diese Sichtweise lohnt sich, weil dadurch alle Begriffe der Funktionenlehre — Monotonie, Beschränktheit, Grenzwert — unmittelbar übertragbar sind, nur eben auf einzelne Punkte statt auf eine durchgehende Kurve.

Angegeben wird eine Folge entweder EXPLIZIT durch eine Formel für

a_n

oder REKURSIV durch ein Startglied und eine Vorschrift, die

a_{n+1}

aus

a_n

berechnet. Die explizite Form erlaubt den direkten Sprung zu

a_{1000}

; die rekursive beschreibt oft den Sachverhalt natürlicher (Zinsen, Populationen), verlangt aber das Durchlaufen aller Vorgänger.

Der zentrale Begriff ist die KONVERGENZ. Anschaulich heißt

a_n \to a

, dass sich die Glieder dem Grenzwert beliebig genau annähern und dort bleiben. Präzise formuliert: Zu jeder noch so kleinen Toleranz

\varepsilon > 0

gibt es einen Index

N

, ab dem ALLE weiteren Glieder um weniger als

\varepsilon

von

a

abweichen. Das Entscheidende ist dieses „ab dem alle" — einzelne Ausreißer weit vorne sind belanglos.

Beim Bestimmen von Grenzwerten rationaler Ausdrücke führt fast immer derselbe Kunstgriff zum Ziel: Man klammert im Zähler und im Nenner die HÖCHSTE vorkommende Potenz von

n

aus und kürzt sie. Übrig bleiben Terme der Form

c/n^k

, die gegen null gehen, und der Grenzwert lässt sich ablesen. Der Vergleich der Grade entscheidet dann über null, einen endlichen Wert oder Divergenz.

Nicht jede Folge konvergiert, und die Arten des Scheiterns sind zu unterscheiden:

a_n = n^2

wächst über alle Grenzen (bestimmte Divergenz),

a_n = (-1)^n

pendelt zwischen zwei Werten (unbestimmte Divergenz). Beide sind divergent, aber nur die erste hat einen „Grenzwert"

\infty

im uneigentlichen Sinn — die Sprechweise muss hier genau sein.

Vokabeln

→ Kartei

die FolgeFunktion mit Definitionsbereich $\mathbb{N}$
das Folgengliedeinzelner Wert $a_n$
die KonvergenzAnnäherung an einen Grenzwertab einem Index liegen ALLE Glieder in der Toleranz
die DivergenzFehlen eines Grenzwertsbestimmt (gegen ∞) oder unbestimmt (pendelnd)
rekursivjedes Glied aus dem vorigen berechnet

ε-Definition der Konvergenz

\lim_{n\to\infty} a_{n} = g \;\Leftrightarrow\; \forall \varepsilon > 0\; \exists N_{0}\in\mathbb{N}:\; n\geq N_{0} \Rightarrow |a_{n} - g| < \varepsilon

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Typische Fehler

Aus einzelnen berechneten Gliedern auf den Grenzwert geschlossen, statt den Term zu untersuchen.
Beim Ausklammern nur im Zähler oder nur im Nenner gekürzt.
$(-1)^n$ als konvergent bezeichnet, weil die Werte beschränkt sind — Beschränktheit allein genügt nicht.
„Die Folge nähert sich 0" gesagt, obwohl sie sich einem anderen Wert nähert, weil ein konstanter Summand übersehen wurde.
Explizite und rekursive Darstellung vermischt und $a_{n+1}$ in die explizite Formel eingesetzt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie mit der $\varepsilon$ -Definition, dass $a_n = 1/n$ gegen 0 konvergiert, indem Sie zu gegebenem $\varepsilon$ ein passendes $N$ angeben. Erläutern Sie anschließend, warum die Wahl von $N$ von $\varepsilon$ abhängen MUSS.

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie die Folgen $a_n = \dfrac{3n^2 - 5}{n^2 + 2n}$ und $b_n = \dfrac{2n+1}{n^2}$ auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte. Begründen Sie Ihr Vorgehen und geben Sie bei Divergenz an, welche Art vorliegt.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L1 (Kultusministerkonferenz)

Arithmetische und geometrische Folgen#

~3 Min LesezeitBasisL1L4

Arithmetische und geometrische Folgen

Abb. 2Der Unterschied liegt in einer einzigen Frage: Ist die DIFFERENZ oder der QUOTIENT aufeinanderfolgender Glieder konstant?

Zwei Folgentypen decken fast alle Anwendungen der Schule ab, und sie unterscheiden sich genau so wie lineares und exponentielles Wachstum. Bei der ARITHMETISCHEN Folge ist die DIFFERENZ aufeinanderfolgender Glieder konstant (

a_{n+1} - a_n = d

), bei der GEOMETRISCHEN der QUOTIENT (

a_{n+1}/a_n = q

Daraus folgen die expliziten Formeln unmittelbar:

a_n = a_1 + (n-1)\,d

beziehungsweise

a_n = a_1\cdot q^{\,n-1}

. Der Faktor

(n-1)

und der Exponent

n-1

sind die häufigste Fehlerquelle — sie stehen dort, weil vom ERSTEN Glied aus nur

n-1

Schritte nötig sind, um zum

n

-ten zu gelangen.

Die Zuordnung zum Sachkontext ist mechanisch: „jedes Jahr 300 Euro mehr" ist arithmetisch, „jedes Jahr 3 % mehr" ist geometrisch. Zinseszins, Abschreibung und Populationswachstum sind geometrisch; gleichmäßiges Ansparen ohne Verzinsung ist arithmetisch. Wer den Typ am Text erkennt, hat die Aufgabe im Wesentlichen gelöst.

Für Summen — also REIHEN — gibt es geschlossene Formeln, die das gliedweise Addieren ersparen. Die arithmetische Summe ist

s_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)

, anschaulich die Anzahl der Glieder mal ihr Mittelwert. Genau das ist der Gaußsche Trick: Erstes und letztes Glied paarweise addiert ergibt stets dieselbe Summe.

Die geometrische Summe lautet

s_n = a_1\dfrac{q^n - 1}{q - 1}

für

q \neq 1

. Ihre Bedeutung reicht weit über die Schule hinaus: Rentenrechnung, Tilgungspläne und die Bewertung regelmäßiger Zahlungen beruhen darauf. Für

|q| < 1

konvergiert die UNENDLICHE Reihe sogar, und zwar gegen

s = a_1/(1-q)

— die Grundlage jeder Umwandlung eines periodischen Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch.

Vokabeln

→ Kartei

die arithmetische Folgekonstante Differenz $d$ aufeinanderfolgender Glieder
die geometrische Folgekonstanter Quotient $q$ aufeinanderfolgender Glieder
die ReiheSumme der Glieder einer Folge
die PartialsummeSumme der ersten $n$ Glieder
der ZinseszinsVerzinsung auch der bereits gutgeschriebenen Zinsengeometrisches Wachstum

Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen

a_{n} = a_{1} + (n-1)d\;\;|\;\;a_{n} = a_{1}\cdot q^{n-1}\;\;|\;\;S_{n}^{\text{arith}} = \tfrac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\;\;|\;\;S_{n}^{\text{geom}} = a_{1}\cdot \tfrac{1-q^{n}}{1-q}

Musterlösung

Geometrische Reihe mit unendlich vielen Gliedern

Berechnen Sie den Wert der unendlichen geometrischen Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} \tfrac{1}{2^{n}}$ .

Schritt 1 — Konvergenzbedingung
Quotient $q = \tfrac{1}{2}$ mit $|q| < 1$ , also konvergent.
Schritt 2 — Formel anwenden
Grenzwert: $S = \tfrac{a_{0}}{1-q} = \tfrac{1}{1-1/2} = 2$ .
$S = \dfrac{1}{1-q} = 2$

Ergebnis: Reihenwert $S = 2$ — Standardbeispiel für konvergente geometrische Reihe.

Typische Fehler

In $a_n = a_1 q^{\,n-1}$ den Exponenten $n$ statt $n-1$ verwendet.
Die geometrische Summenformel bei $q = 1$ angewandt und durch null geteilt.
Die unendliche Reihe summiert, obwohl $|q| \geq 1$ ist.
Arithmetisch und geometrisch verwechselt, weil nur zwei Glieder betrachtet wurden.
Bei $-15\,\%$ mit $q = 0{,}15$ statt $q = 0{,}85$ gerechnet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie die geometrische Summenformel her, indem Sie $s_n$ und $q\,s_n$ untereinanderschreiben und subtrahieren. Wandeln Sie anschließend den periodischen Dezimalbruch $0{,}\overline{27}$ mithilfe der unendlichen geometrischen Reihe in einen gewöhnlichen Bruch um.

Aktive Wiederholung

Ein Kapital von $5000$ Euro wird jährlich mit $3\,\%$ verzinst. Bestimmen Sie den Folgentyp, geben Sie die explizite Formel an und berechnen Sie das Kapital nach 12 Jahren. Berechnen Sie zusätzlich die Summe der ersten 12 Jahreszinsen.

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Vollständige Induktion#

~3 Min LesezeitVertiefungK1L1

Vollständige Induktion — der Beweisgang

Abb. 3Der Induktionsschritt muss die Voraussetzung TATSÄCHLICH benutzen. Ein Schritt, der ohne sie auskommt, beweist die Aussage nicht.

Eine Formel an zehn Beispielen zu bestätigen beweist nichts über die elfte. Für Aussagen, die für ALLE natürlichen Zahlen gelten sollen, braucht es ein Verfahren, das unendlich viele Fälle mit endlich vielen Zeilen erledigt — das leistet die vollständige Induktion. Das Dominobild trifft es genau: Der erste Stein fällt, und jeder fallende reißt den nächsten mit.

Der Beweis besteht aus drei benannten Teilen. Der INDUKTIONSANFANG zeigt die Aussage für den kleinsten Wert. Die INDUKTIONSVORAUSSETZUNG nimmt an, sie gelte für ein beliebiges, aber festes

n

. Der INDUKTIONSSCHRITT folgert daraus die Aussage für

n+1

. Fehlt einer der Teile, ist der Beweis wertlos — auch der scheinbar triviale Anfang.

Der am häufigsten missverstandene Punkt ist die Logik des Schritts: Bewiesen wird eine IMPLIKATION, nicht die Aussage selbst. Man darf die Behauptung für

n

benutzen, weil sie vorausgesetzt ist; man darf sie für

n+1

NICHT benutzen, denn genau das ist zu zeigen. Wer das verwechselt, führt einen Zirkelschluss.

Handwerklich verläuft der Schritt bei Summenformeln immer gleich: Die Summe bis

n+1

wird als Summe bis

n

PLUS dem neuen Glied geschrieben, der vordere Teil nach Induktionsvoraussetzung ersetzt und der Rest auf die Behauptung für

n+1

umgeformt. Diese Abspaltung des letzten Glieds ist der eigentliche Kunstgriff.

Zur sauberen Darstellung gehört, die Verwendung der Voraussetzung sichtbar zu MARKIEREN — etwa mit „nach IV" über dem Gleichheitszeichen. Prüfer suchen genau danach: Ein Beweis, in dem die Induktionsvoraussetzung nirgends erkennbar eingeht, ist mit großer Wahrscheinlichkeit falsch, selbst wenn das Ergebnis stimmt.

Vokabeln

→ Kartei

der InduktionsanfangNachweis für den kleinsten Wert
die InduktionsvoraussetzungAnnahme für ein festes $n$wird angenommen, nicht bewiesen
der InduktionsschrittSchluss von $n$ auf $n+1$
die ImplikationWenn-dann-Aussagedas eigentlich Bewiesene im Schritt

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Musterlösung

Vollständige Induktion — Summe ungerader Zahlen

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$ für alle $n\in\mathbb{N}^{*}$ gilt.

Schritt 1 — Induktionsanfang
Für $n=1$ : linke Seite $=2\cdot 1-1=1$ , rechte Seite $=1^{2}=1$ . Die Aussage gilt für $n=1$ .
Schritt 2 — Induktionsvoraussetzung
Es gelte für ein $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$ .
Schritt 3 — Induktionsschritt
Addiere das nächste ungerade Glied $2(n+1)-1=2n+1$ und nutze die Voraussetzung.
$\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1) = n^{2} + (2n+1) = (n+1)^{2}$
Schritt 4 — Schluss
Die Aussage gilt auch für $n+1$ , nach dem Induktionsprinzip also für alle $n\in\mathbb{N}^{*}$ .

Ergebnis: Die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen ist stets $n^{2}$ — vollständig bewiesen.

Typische Fehler

Den Induktionsanfang weggelassen oder nur behauptet.
Im Schritt die Behauptung für $n+1$ bereits verwendet (Zirkelschluss).
Die Induktionsvoraussetzung nirgends eingesetzt — dann ist es kein Induktionsbeweis.
Den Startwert $n_0$ nicht angegeben, obwohl die Aussage erst ab $n = 2$ gilt.
Nach dem Schritt keinen Schlusssatz formuliert.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung $(1+x)^n \geq 1 + n x$ für $x \geq -1$ und alle $n \in \mathbb{N}$ durch vollständige Induktion. Achten Sie besonders darauf, an welcher Stelle die Voraussetzung $x \geq -1$ gebraucht wird.

Aktive Wiederholung

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen gleich $n^2$ ist. Kennzeichnen Sie die Stelle, an der Sie die Induktionsvoraussetzung verwenden.

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Monotonie, Beschränktheit und das Monotoniekriterium#

~3 Min LesezeitStandardL1K1

Eigenschaften von Folgen

Abb. 4Monotonie und Beschränktheit zusammen sichern die Konvergenz — das ist das Monotoniekriterium, der wichtigste Konvergenznachweis ohne Grenzwertberechnung.

Eine Folge heißt monoton steigend, wenn

a_{n+1} \geq a_n

für alle

n

gilt, und monoton fallend im umgekehrten Fall; bei strikter Ungleichung spricht man von streng monoton. Nachgewiesen wird das entweder über die DIFFERENZ

a_{n+1} - a_n

(Vorzeichen prüfen) oder — bei durchweg positiven Gliedern — über den QUOTIENTEN

a_{n+1}/a_n

im Vergleich zu 1.

Beschränkt heißt eine Folge, wenn es eine Schranke gibt, die kein Glied überschreitet (nach oben) beziehungsweise unterschreitet (nach unten). Wichtig ist, dass eine Schranke NICHT angenommen werden muss: Die Folge

a_n = 1 - 1/n

ist durch 1 nach oben beschränkt, erreicht diesen Wert aber nie.

Beide Begriffe zusammen ergeben das wichtigste Werkzeug dieses Abschnitts, das MONOTONIEKRITERIUM: Jede monoton steigende und nach oben beschränkte Folge konvergiert — und ebenso jede monoton fallende, nach unten beschränkte. Sein Wert liegt darin, dass es die Konvergenz sichert, OHNE den Grenzwert zu kennen.

Genau das ist in Prüfungsaufgaben der Punkt: Man weist zuerst Monotonie und Beschränktheit nach, folgert daraus die Existenz des Grenzwerts und BESTIMMT ihn erst danach — häufig über die Fixpunktgleichung einer rekursiven Vorschrift. Die Reihenfolge ist zwingend, denn die Fixpunktrechnung setzt voraus, dass ein Grenzwert überhaupt existiert.

Beide Bedingungen sind nötig, und Gegenbeispiele zeigen das:

a_n = n

ist monoton, aber unbeschränkt und divergiert;

a_n = (-1)^n

ist beschränkt, aber nicht monoton und divergiert ebenfalls. Erst zusammen erzwingen sie die Konvergenz — ein sauberes Beispiel dafür, dass in der Mathematik jede Voraussetzung eines Satzes gebraucht wird.

Vokabeln

→ Kartei

monoton steigend$a_{n+1} \geq a_n$ für alle $n$
beschränktes existiert eine nicht überschrittene Schrankedie Schranke muss nicht angenommen werden
das Monotoniekriteriummonoton + beschränkt ⇒ konvergent
die SchrankeWert, den kein Folgenglied über- bzw. unterschreitet

Monotoniekriterien über Differenz bzw. Quotient

a_{n+1} - a_{n} > 0\;\;(\text{streng monoton wachsend}),\qquad \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1\;\;(\text{monoton fallend, } a_{n}>0)

Das Differenzkriterium eignet sich für additiv aufgebaute Folgen, das Quotientenkriterium für multiplikativ aufgebaute (Potenzen, Fakultäten).

Musterlösung

Monotonie und Beschränktheit nachweisen

Untersuchen Sie die Folge $a_{n}=\dfrac{3n}{n+2}$ auf Monotonie und Beschränktheit und begründen Sie damit die Konvergenz.

Schritt 1 — Differenz bilden
Bestimme $a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{3(n+1)}{n+3}-\dfrac{3n}{n+2}$ . Auf den Hauptnenner $(n+3)(n+2)$ gebracht ergibt der Zähler $3(n+1)(n+2)-3n(n+3)=3\,[\,(n^{2}+3n+2)-(n^{2}+3n)\,]=6$ .
$a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{6}{(n+3)(n+2)}>0$
Schritt 2 — Monotonie folgern
Der Zähler 6 ist positiv und der Nenner für alle $n\in\mathbb{N}$ positiv, also $a_{n+1}-a_{n}>0$ : die Folge ist streng monoton wachsend.
Schritt 3 — Schranke bestimmen
Wegen $a_{n}=\dfrac{3n}{n+2}=3-\dfrac{6}{n+2}<3$ ist die Folge nach oben durch $3$ beschränkt; sie ist nach unten durch $a_{1}=1$ beschränkt.
Schritt 4 — Konvergenz schließen
Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergiert (Monotoniekriterium); der Grenzwert ist die kleinste obere Schranke $g=3$ .

Ergebnis: Die Folge ist streng monoton wachsend und durch $3$ beschränkt; nach dem Monotoniekriterium konvergiert sie gegen $g=3$ .

Typische Fehler

Monotonie aus den ersten Gliedern erschlossen statt allgemein nachgewiesen.
Den Grenzwert über die Fixpunktgleichung bestimmt, ohne zuvor die Existenz zu sichern.
Beschränktheit behauptet, ohne eine konkrete Schranke zu nennen.
Beim Quotientenkriterium für Monotonie nicht geprüft, ob alle Glieder positiv sind.
Angenommen, jede beschränkte Folge konvergiere — $(-1)^n$ widerlegt das.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ monoton steigend und durch 2 beschränkt ist, und bestimmen Sie danach ihren Grenzwert über die Fixpunktgleichung. Begründen Sie, warum die Fixpunktrechnung ohne den vorherigen Nachweis unzulässig wäre.

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie die Folge $a_n = \dfrac{2n}{n+3}$ auf Monotonie und Beschränktheit. Begründen Sie mit dem Monotoniekriterium, dass sie konvergiert, und bestimmen Sie anschließend den Grenzwert.

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Rekursive Folgen und Fixpunkte#

~3 Min LesezeitVertiefungL1K3

Spinnwebdiagramm — rekursive Folge nähert sich dem Fixpunkt

Abb. 5Treppen- bzw. Spinnwebzug zwischen der Rekursionskurve

y=g(x)

und der Winkelhalbierenden

y=x

; der Schnittpunkt ist der Fixpunkt.

Rekursiv definierte Folgen beschreiben Prozesse, bei denen der nächste Zustand aus dem gegenwärtigen folgt — Kontostände mit Zins und Rate, Populationen mit Zuwachs und Abgang, Medikamentenspiegel mit Einnahme und Abbau. Weil genau so die Wirklichkeit funktioniert, ist die rekursive Form in Anwendungsaufgaben oft die natürlichere Modellierung.

Der Preis dafür ist, dass man

a_{100}

nicht direkt ausrechnen kann, ohne alle Vorgänger zu durchlaufen. Für die wichtige Klasse der LINEAREN Rekursionen

a_{n+1} = q\,a_n + c

lässt sich jedoch eine explizite Form gewinnen — und genau diese Bauart deckt Zinsen mit regelmäßiger Zahlung, Abbauprozesse mit Nachschub und viele Mischungsaufgaben ab.

Der Schlüssel ist der FIXPUNKT: derjenige Wert

a^*

, der sich beim Anwenden der Vorschrift nicht mehr ändert, also

a^* = q\,a^* + c

mit der Lösung

a^* = c/(1-q)

für

q \neq 1

. Ist die Folge einmal dort, bleibt sie dort — der Fixpunkt ist der einzige mögliche Grenzwert.

Ob die Folge ihn auch ERREICHT, entscheidet allein

|q|

: Für

|q| < 1

konvergiert sie gegen den Fixpunkt, unabhängig vom Startwert; für

|q| > 1

entfernt sie sich von ihm. Der Nachweis gelingt elegant über die ABWEICHUNG

d_n = a_n - a^*

, die die einfache Rekursion

d_{n+1} = q\,d_n

erfüllt — also eine geometrische Folge ist. Daraus folgt sofort die explizite Form

a_n = a^* + (a_1 - a^*)\,q^{\,n-1}

Für die Deutung im Sachkontext ist entscheidend, dass der Fixpunkt der langfristige BEHARRUNGSZUSTAND ist: der Kontostand, bei dem Zins und Entnahme sich aufheben, oder der Medikamentenspiegel, bei dem Einnahme und Abbau im Gleichgewicht stehen. Diese Deutung — nicht die Zahl — ist in Prüfungsaufgaben die geforderte Leistung.

Vokabeln

→ Kartei

die RekursionVorschrift, die ein Glied aus dem vorigen berechnet
der FixpunktWert, der sich unter der Vorschrift nicht ändert
der Beharrungszustandlangfristiges Gleichgewicht im Sachkontext
die Abweichungsfolge$d_n = a_n - a^*$; erfüllt eine geometrische Rekursion

Musterlösung

Rekursive Folge — Grenzwert über Fixpunkt

Die Folge sei rekursiv durch $a_{1}=2$ und $a_{n+1}=\tfrac{1}{2}\bigl(a_{n}+\tfrac{2}{a_{n}}\bigr)$ (Heron-Verfahren für $\sqrt{2}$ ) definiert. Bestimmen Sie den Grenzwert unter der Annahme der Konvergenz.

Schritt 1 — Erste Glieder berechnen
$a_{2}=\tfrac{1}{2}(2+1)=1{,}5$ ; $a_{3}=\tfrac{1}{2}(1{,}5+\tfrac{2}{1{,}5})\approx 1{,}4167$ ; die Glieder nähern sich rasch einem Wert.
Schritt 2 — Fixpunktgleichung ansetzen
Konvergiert $(a_{n})$ gegen $g>0$ , so gilt im Grenzwert $g=\tfrac{1}{2}\bigl(g+\tfrac{2}{g}\bigr)$ , da $a_{n}$ und $a_{n+1}$ denselben Grenzwert haben.
$g=\tfrac{1}{2}\Bigl(g+\tfrac{2}{g}\Bigr)$
Schritt 3 — Gleichung lösen
Multiplikation mit $2g$ : $2g^{2}=g^{2}+2$ , also $g^{2}=2$ und damit $g=\sqrt{2}$ (negative Lösung entfällt wegen $a_{n}>0$ ).
Schritt 4 — Plausibilität prüfen
$\sqrt{2}\approx 1{,}41421$ stimmt mit dem Trend der berechneten Glieder überein; das Verfahren konvergiert quadratisch.

Ergebnis: Der Grenzwert der rekursiven Folge ist $g=\sqrt{2}$ ; die Fixpunktgleichung $g=g(g)$ liefert den Wert nur unter vorausgesetzter Konvergenz.

Typische Fehler

Den Fixpunkt berechnet und als Grenzwert angegeben, ohne $|q| < 1$ zu prüfen.
Bei $q = 1$ durch null geteilt, statt den Sonderfall (arithmetische Folge) zu erkennen.
Aus wenigen Gliedern auf Konvergenz geschlossen.
Den Fixpunkt rein rechnerisch angegeben, ohne ihn im Sachzusammenhang zu deuten.
Angenommen, ein größerer Startwert führe zu einem größeren Grenzwert.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie die explizite Form $a_n = a^* + (a_1 - a^*)q^{\,n-1}$ über die Abweichungsfolge her und untersuchen Sie das Verhalten für $q = -0{,}5$ . Beschreiben Sie, wie sich die Annäherung an den Fixpunkt dabei von der bei positivem $q$ unterscheidet.

Aktive Wiederholung

Ein Medikament wird täglich mit $20\,\text{mg}$ zugeführt; pro Tag baut der Körper $25\,\%$ des vorhandenen Wirkstoffs ab. Stellen Sie die Rekursion auf, bestimmen Sie den Fixpunkt und deuten Sie ihn im Sachkontext. Begründen Sie, ob der Spiegel diesen Wert erreicht.

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Reihen, Partialsummen und Konvergenzkriterien#

~3 Min LesezeitVertiefungL1K1

Konvergenzkriterien für Reihen

Abb. 6Das Nullfolgenkriterium ist NOTWENDIG, nicht hinreichend: Die harmonische Reihe hat Nullfolgenglieder und divergiert trotzdem.

Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge. Weil unendlich viele Summanden nicht wirklich addiert werden können, wird der Wert als Grenzwert der PARTIALSUMMEN

s_n = a_1 + \dots + a_n

definiert. Eine Reihe konvergiert also genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert — der Begriff wird auf den vorigen Abschnitt zurückgeführt, nicht neu erfunden.

Die geometrische Reihe ist der Musterfall und zugleich der wichtigste: Für

|q| < 1

konvergiert

\sum a_1 q^{\,n-1}

gegen

a_1/(1-q)

, für

|q| \geq 1

divergiert sie. An ihr lässt sich beides zeigen — dass unendlich viele positive Summanden eine ENDLICHE Summe haben können, und dass diese Möglichkeit an einer scharfen Bedingung hängt.

Ein notwendiges Kriterium liefert das NULLFOLGENKRITERIUM: Konvergiert eine Reihe, so muss

a_n \to 0

gelten. Praktisch nutzt man es als Ausschlusstest — geht

a_n

nicht gegen null, divergiert die Reihe sicher. Die Umkehrung gilt NICHT, und das ist der wichtigste Satz dieses Abschnitts.

Das Gegenbeispiel dazu ist die harmonische Reihe

\sum 1/n

: Ihre Glieder gehen gegen null, und dennoch wächst die Summe über alle Grenzen. Sie tut es allerdings quälend langsam — für eine Summe über 20 braucht es mehr als 250 Millionen Glieder. Genau deshalb täuscht numerisches Ausprobieren hier, und genau deshalb braucht die Mathematik Beweise statt Tabellen.

Zum Vergleich steht die Reihe

\sum 1/n^2

, die konvergiert. Der Unterschied zwischen beiden ist allein der Exponent — bei

\sum 1/n^{\alpha}

entscheidet er über alles: Konvergenz für

\alpha > 1

, Divergenz für

\alpha \leq 1

. Dass eine so kleine Änderung das Verhalten umkippt, ist die eigentliche Lehre dieses Abschnitts über den Umgang mit dem Unendlichen.

Vokabeln

→ Kartei

die PartialsummeSumme der ersten $n$ Glieder
die geometrische ReiheSumme einer geometrischen Folgekonvergent genau für $|q| < 1$
die harmonische Reihe$\sum 1/n$ — divergent trotz Nullfolge
das Nullfolgenkriteriumnotwendige, NICHT hinreichende Bedingung für Konvergenz

Musterlösung

Reihen auf Konvergenz prüfen — notwendiges Kriterium und harmonische Reihe

Begründen Sie, warum die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{n}{2n+1}$ divergiert, und ordnen Sie die harmonische Reihe $\sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n}$ ein.

Schritt 1 — Notwendiges Kriterium nennen
Eine Reihe $\sum a_{n}$ kann nur konvergieren, wenn die Gliederfolge eine Nullfolge ist: $\lim_{n\to\infty} a_{n}=0$ . Andernfalls liegt Divergenz vor.
Schritt 2 — Gliederfolge der ersten Reihe
Hier ist $a_{n}=\tfrac{n}{2n+1}\to \tfrac{1}{2}\neq 0$ für $n\to\infty$ .
$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}\neq 0$
Schritt 3 — Divergenz folgern
Da die Glieder nicht gegen $0$ streben, ist das notwendige Kriterium verletzt; die Reihe divergiert.
Schritt 4 — Harmonische Reihe abgrenzen
Bei $\tfrac{1}{n}$ gilt zwar $\tfrac{1}{n}\to 0$ , doch das notwendige Kriterium ist nicht hinreichend: die harmonische Reihe divergiert dennoch (langsam). Eine Nullfolge der Glieder garantiert also keine Konvergenz der Reihe.

Ergebnis: Die erste Reihe divergiert, weil $a_{n}\to\tfrac{1}{2}\neq 0$ . Die harmonische Reihe zeigt, dass $a_{n}\to 0$ nur notwendig, nicht hinreichend für Konvergenz ist.

Typische Fehler

Aus $a_n \to 0$ auf Konvergenz der Reihe geschlossen; die harmonische Reihe widerlegt das.
Die geometrische Summenformel bei $|q| \geq 1$ verwendet.
Folge und Reihe verwechselt — die Folge $1/n$ konvergiert, die Reihe $\sum 1/n$ nicht.
Aus numerischem Ausprobieren auf Konvergenz geschlossen, obwohl die Partialsummen nur langsam wachsen.
Bei $\sum 1/n^{\alpha}$ die Grenze bei $\alpha \geq 1$ statt $\alpha > 1$ gezogen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie die Divergenz der harmonischen Reihe mit dem klassischen Blockargument (Zusammenfassen der Glieder zu Blöcken der Länge $1, 2, 4, 8, \dots$ , deren Summe jeweils mindestens $1/2$ beträgt). Erläutern Sie, warum dieses Argument dem numerischen Ausprobieren überlegen ist.

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie die Reihen $\sum_{n=1}^{\infty} 0{,}6^{\,n}$ , $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ und $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{n+1}$ auf Konvergenz. Berechnen Sie den Wert, wo er existiert, und begründen Sie in den übrigen Fällen die Divergenz mit dem passenden Kriterium.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L1 (Kultusministerkonferenz)

Stand 05/2026Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

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Belege & Quellen

Quellen

Kultusministerkonferenz

Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L1

Siehe auch