Analysis — Funktionen und Modelle — Mathematik · Abitur-Zusammenfassung

Funktionsbegriff, Definitions- und Wertebereich#

~3 Min LesezeitBasisL4K4

Funktionsbegriff — die Grundeigenschaften

Abb. 1Diese sechs Eigenschaften werden in jeder Kurvendiskussion abgefragt. Die dritte Spalte ist der Nachweis, den die Klausur verlangt.

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element des Definitionsbereichs GENAU EIN Element des Wertebereichs zuweist. Auf dieser Eindeutigkeit beruht alles Weitere — sie ist der Grund, warum man von „dem" Funktionswert sprechen darf. Grafisch prüft man sie mit der Senkrechten: Schneidet eine senkrechte Gerade den Graphen mehr als einmal, liegt keine Funktion vor.

Der DEFINITIONSBEREICH ist die Menge der zulässigen Eingaben, und er ergibt sich aus zwei Quellen. Rechnerisch verbieten sich Nenner-Nullstellen, negative Radikanden bei geraden Wurzeln und nichtpositive Argumente des Logarithmus. Im Sachkontext kommen inhaltliche Grenzen hinzu — negative Zeiten, negative Stückzahlen, Anteile über 100 Prozent.

Diese zweite Quelle wird am häufigsten vergessen und ist doch die wichtigere: Eine Funktion kann mathematisch für alle reellen Zahlen definiert sein und im Sachzusammenhang trotzdem nur auf einem kleinen Intervall sinnvoll. Der Definitionsbereich ist damit selbst eine Modellierungsentscheidung, die begründet werden muss.

Vier Darstellungsformen beschreiben denselben Zusammenhang und zeigen jeweils anderes: die Wertetabelle einzelne Paare, der Graph das globale Verhalten, der Term die exakte Rechenvorschrift und die Sprache den Sachbezug. Zwischen ihnen sicher zu wechseln ist die Kompetenz K4 und wird laufend geprüft.

Funktionen lassen sich VERKNÜPFEN (addieren, multiplizieren) und VERKETTEN. Die Verkettung

f(g(x))

wendet erst

g

, dann

f

an — die Reihenfolge von innen nach außen zu lesen ist der ständige Stolperstein. Ihr Definitionsbereich ist zusätzlich eingeschränkt: Nur solche

x

sind zulässig, für die

g(x)

im Definitionsbereich von

f

liegt.

Eine UMKEHRFUNKTION existiert nur bei umkehrbar eindeutiger Zuordnung, also bei strenger Monotonie auf dem betrachteten Bereich. Man erhält sie durch Auflösen nach

x

und Vertauschen der Variablen; ihr Graph ist die Spiegelung an der Winkelhalbierenden

y = x

. Für

f(x) = x^2

gelingt das erst nach Einschränkung auf

x \geq 0

— genau deshalb ist die Wurzel dort definiert.

Vokabeln

→ Kartei

die FunktionZuordnung mit genau einem Funktionswert je Argument
der DefinitionsbereichMenge der zulässigen Eingaben
die Verkettung$f(g(x))$ — erst $g$, dann $f$
die Umkehrfunktionmacht die Zuordnung rückgängignur bei strenger Monotonie
die WertemengeMenge der tatsächlich angenommenen Funktionswerte

Symmetriekriterien für Funktionsgraphen

f(-x) = f(x)\;\text{(Achsensymmetrie),}\quad f(-x) = -f(x)\;\text{(Punktsymmetrie zum Ursprung)}

Der Start lädt die Simulation von PhET (University of Colorado).Bei PhET öffnen ↗

Typische Fehler

Den Definitionsbereich nur rechnerisch bestimmt und die Sachgrenzen übergangen.
Verkettungen von außen nach innen gelesen und $f$ und $g$ vertauscht.
Eine Umkehrfunktion angegeben, ohne die Umkehrbarkeit zu prüfen.
Bei $\sqrt{x}$ oder $\ln x$ den eingeschränkten Definitionsbereich vergessen.
Bei der Verkettung nur den Definitionsbereich der inneren Funktion betrachtet.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie, dass die ln-Funktion die Umkehrfunktion der e-Funktion ist, indem Sie $\ln(e^x) = x$ und $e^{\ln x} = x$ begründen, und erläutern Sie die Spiegelsymmetrie beider Graphen an der Winkelhalbierenden. Geben Sie die jeweiligen Definitions- und Wertebereiche an.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich von $f(x) = \dfrac{\sqrt{x-1}}{x-4}$ und begründen Sie jede Ausnahme. Bilden Sie außerdem $f(g(x))$ für $g(x) = x^2$ und geben Sie den zugehörigen Definitionsbereich an.

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Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L4 (Kultusministerkonferenz)

Quadratische Funktionen und Scheitelpunktform#

~4 Min LesezeitBasisL4K5

Diskriminante und Anzahl reeller Lösungen

Abb. 2D > 0 zwei Nullstellen, D = 0 doppelte Nullstelle, D < 0 keine reelle Lösung.

Quadratische Funktionen

f(x) = ax^2 + bx + c

beschreiben Wurfbahnen, Kostenverläufe und jede Optimierungsaufgabe mit quadratischem Zusammenhang. Ihr Graph ist eine Parabel, deren Öffnung allein vom Vorzeichen von

a

abhängt: nach oben für

a > 0

, nach unten für

a < 0

. Der Betrag von

a

steuert die Streckung — große

|a|

ergeben schmale, kleine breite Parabeln.

Die drei Darstellungsformen zeigen jeweils etwas anderes, und die Wahl entscheidet über den Rechenaufwand. Die NORMALFORM zeigt am Absolutglied

c

sofort den

y

-Achsenabschnitt. Die SCHEITELPUNKTFORM

f(x) = a(x - d)^2 + e

macht den Scheitel

S(d \mid e)

direkt ablesbar. Die FAKTORISIERTE Form

a(x - x_1)(x - x_2)

zeigt die Nullstellen.

Der Weg zur Scheitelpunktform führt über die quadratische Ergänzung — dasselbe Verfahren, aus dem sich auch die

pq

-Formel herleitet. Alternativ liegt der Scheitel bei

x_S = -\dfrac{b}{2a}

, was schneller ist, wenn nur die Stelle gebraucht wird. Beide Wege sind zulässig; der zweite spart Zeit, der erste liefert die vollständige Form.

Die Zahl der Nullstellen entscheidet die DISKRIMINANTE

D = b^2 - 4ac

: zwei für

D > 0

, eine doppelte für

D = 0

, keine reelle für

D < 0

. Geometrisch beschreibt das die Lage der Parabel zur

x

-Achse, und diese Verbindung von Rechnung und Anschauung wird gern geprüft — man soll aus

D

die Lage folgern können, ohne zu zeichnen.

Weil der Scheitel zugleich das Extremum ist, lösen quadratische Funktionen Optimierungsaufgaben ohne jede Differentialrechnung. Maximaler Flächeninhalt bei gegebenem Umfang, minimale Kosten, maximaler Gewinn — überall dort genügt die Scheitelpunktform. Das ist der schnellste Weg und wird in Klausuren erwartet, wo er möglich ist.

Im SACHKONTEXT sind die Größen zu deuten: Beim schrägen Wurf ist der Scheitel der höchste Punkt, die positive Nullstelle die Wurfweite und der

y

-Achsenabschnitt die Abwurfhöhe. Wer diese Zuordnung parat hat, übersetzt die Aufgabenstellung ohne Umweg in die passende Darstellungsform.

Vokabeln

→ Kartei

die Scheitelpunktform$a(x-d)^2 + e$ mit Scheitel $S(d\,|\,e)$
die quadratische ErgänzungUmformung zur Scheitelpunktform
die Diskriminante$b^2 - 4ac$; entscheidet die Nullstellenzahl
der ScheitelpunktExtrempunkt der Parabel
der StreckfaktorParameter $a$; steuert Öffnung und Breite

Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

f(x) = a(x - d)^{2} + e\quad \Longleftrightarrow \quad S(d \mid e)

Ganzrationale Funktion (Polynom) vom Grad n

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}

Interaktive Grafik lädt…

Musterlösung

Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung

Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Funktion $f(x) = 2x^{2} - 8x + 3$ und interpretieren Sie das Ergebnis als globales Extremum.

Schritt 1 — Streckfaktor ausklammern
$f(x) = 2(x^{2} - 4x) + 3$ .
Schritt 2 — Quadratische Ergänzung
In der Klammer ergänze $(-4/2)^{2}=4$ : $x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4$ .
$f(x) = 2\left[(x-2)^{2}-4\right] + 3 = 2(x-2)^{2} - 5$
Schritt 3 — Scheitelpunkt ablesen
Vergleich mit $a(x-d)^{2}+e$ : $d=2$ , $e=-5$ , also $S(2\mid -5)$ .
Schritt 4 — Interpretieren
Da $a=2>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet; $S(2\mid -5)$ ist globales Minimum mit $f(2)=-5$ .

Ergebnis: Scheitelpunkt $S(2\mid -5)$ ; globales Minimum bei $x=2$ , Funktionswert $-5$ .

Typische Fehler

In der Scheitelpunktform das Vorzeichen von $d$ falsch abgelesen ( $a(x-3)^2$ hat den Scheitel bei $+3$ ).
Bei der quadratischen Ergänzung den Faktor $a$ nicht ausgeklammert.
$x_S = -b/(2a)$ mit vergessenem Minuszeichen verwendet.
Aus $D < 0$ auf „keine Lösung" geschlossen, ohne „keine REELLE Lösung" zu sagen.
Bei Optimierungsaufgaben zur Ableitung gegriffen, obwohl der Scheitel unmittelbar zum Ziel führt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Untersuchen Sie die Funktionsschar $f_a(x) = x^2 - 2ax + a$ in Abhängigkeit von $a$ : Bestimmen Sie den Scheitelpunkt allgemein und zeigen Sie, dass alle Scheitelpunkte auf einer Parabel liegen. Geben Sie die Gleichung dieser Ortskurve an.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie für $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ die Scheitelpunktform, den Scheitelpunkt und die Nullstellen. Geben Sie an, ob der Scheitel ein Maximum oder ein Minimum ist, und begründen Sie es ohne Ableitung.

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Ganzrationale Funktionen höheren Grades#

~3 Min LesezeitStandardL4K2

Ganzrationale Funktionen — Grad und Verhalten

Abb. 3Grad und Leitkoeffizient legen das Verhalten im Unendlichen und die maximale Anzahl von Nullstellen und Extremstellen fest — noch bevor gerechnet wird.

Ganzrationale Funktionen (Polynome) sind Summen von Potenzen mit natürlichen Exponenten. Ihr GRAD — der höchste vorkommende Exponent — bestimmt die grobe Gestalt: höchstens

n

Nullstellen, höchstens

n-1

Extremstellen und höchstens

n-2

Wendestellen. Diese Schranken erlauben eine schnelle Plausibilitätskontrolle jeder Kurvendiskussion.

Das Verhalten für

x \to \pm\infty

hängt allein vom LEITTERM ab, also von der höchsten Potenz mit ihrem Vorzeichen. Bei geradem Grad verlaufen beide Äste in dieselbe Richtung, bei ungeradem in entgegengesetzte; das Vorzeichen des Leitkoeffizienten entscheidet, in welche. Alle übrigen Summanden sind für große

|x|

vernachlässigbar.

Zur Nullstellenbestimmung führen drei Techniken, die in dieser Reihenfolge zu prüfen sind: AUSKLAMMERN von

x

, wenn kein Absolutglied vorhanden ist, SUBSTITUTION bei biquadratischen Termen (

z = x^2

) und POLYNOMDIVISION, wenn eine Nullstelle bereits bekannt ist oder durch Raten gefunden wurde.

Beim Raten hilft ein Satz, der oft übersehen wird: Bei ganzzahligen Koeffizienten und Leitkoeffizient 1 sind alle ganzzahligen Nullstellen TEILER des Absolutglieds. Statt planlos zu probieren, prüft man also gezielt die wenigen Teiler — bei einem Absolutglied von 6 genau

\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6

.

Die VIELFACHHEIT einer Nullstelle bestimmt das Verhalten des Graphen dort: Bei ungerader Vielfachheit schneidet er die

x

-Achse, bei gerader berührt er sie nur. Eine dreifache Nullstelle erzeugt zusätzlich einen Sattelpunkt mit waagerechter Tangente. Aus der faktorisierten Form lässt sich der Verlauf damit ohne jede Rechnung skizzieren.

Beim STECKBRIEF-Problem wird umgekehrt aus Eigenschaften der Funktionsterm gesucht. Jede Bedingung — ein Punkt, eine Steigung, ein Extremum, ein Wendepunkt — liefert eine Gleichung; für einen Grad-

n

-Ansatz braucht es

n+1

davon. Symmetriebedingungen halbieren den Aufwand, weil sie einzelne Koeffizienten sofort zu null setzen.

Vokabeln

→ Kartei

der Gradhöchster Exponent; begrenzt Nullstellen- und Extremstellenzahl
der LeittermSummand höchster Potenzbestimmt das Verhalten im Unendlichen
die Vielfachheitwie oft ein Linearfaktor auftrittgerade ⇒ berühren, ungerade ⇒ schneiden
die PolynomdivisionAbspalten eines bekannten Linearfaktors
die SteckbriefaufgabeFunktionsterm aus vorgegebenen Eigenschaften

Ganzrationale Funktion (Polynom) vom Grad n

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}

Polynom dritten Grades f(x) = x³ − 3x

Abb. 4Punktsymmetrisch zum Ursprung; Extremstellen bei \pm 1; Wendepunkt im Ursprung.

Musterlösung

Steckbriefaufgabe — Funktionsgleichung aus Bedingungen

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ , deren Graph durch $(0\mid 1)$ verläuft, dort eine waagrechte Tangente besitzt, bei $x=1$ einen Wendepunkt hat und durch $(1\mid 3)$ geht.

Schritt 1 — Ableitungen aufstellen
$f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$ und $f''(x)=6ax+2b$ bereitstellen, um die Bedingungen zu übersetzen.
Schritt 2 — Bedingungen in Gleichungen übersetzen
$f(0)=1\Rightarrow d=1$ ; $f'(0)=0\Rightarrow c=0$ ; $f''(1)=0\Rightarrow 6a+2b=0$ ; $f(1)=3\Rightarrow a+b+c+d=3$ .
Schritt 3 — LGS lösen
Aus $6a+2b=0$ folgt $b=-3a$ . Einsetzen in $a+b+0+1=3$ gibt $a-3a=2$ , also $a=-1$ und $b=3$ .
$\begin{cases} d=1 \\ c=0 \\ 6a+2b=0 \\ a+b+c+d=3 \end{cases}\;\Rightarrow\; a=-1,\,b=3,\,c=0,\,d=1$
Schritt 4 — Probe
$f(x)=-x^{3}+3x^{2}+1$ : $f(0)=1$ ✓, $f'(0)=0$ ✓, $f''(1)=-6+6=0$ ✓, $f(1)=-1+3+1=3$ ✓.

Ergebnis: Gesuchte Funktion: $f(x)=-x^{3}+3x^{2}+1$ .

Typische Fehler

Nach Ausklammern von $x$ die Nullstelle $x = 0$ vergessen.
Bei der Substitution $z = x^2$ am Ende nicht zurücksubstituiert.
Negative $z$ -Lösungen zurücksubstituiert und dabei ignoriert, dass $x^2 = z < 0$ keine reelle Lösung hat.
Die Vielfachheit ignoriert und einen Berührpunkt als Schnittpunkt gezeichnet.
Bei Steckbriefaufgaben zu wenige Bedingungen aufgestellt und ein unterbestimmtes System erhalten.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, bei $x = 2$ einen Tiefpunkt besitzt und durch $P(1 \mid -3)$ verläuft. Erläutern Sie, wie die Symmetriebedingung die Zahl der nötigen Gleichungen verringert.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie alle Nullstellen von $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ mit ihren Vielfachheiten. Beschreiben Sie das Verhalten für $x \to \pm\infty$ und skizzieren Sie den Verlauf ohne weitere Rechnung.

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Gebrochenrationale Funktionen#

~3 Min LesezeitStandardL4K4

Gebrochenrationale Funktionen — Asymptoten

Abb. 5Der Vergleich der Grade von Zähler und Nenner entscheidet über die Asymptote im Unendlichen. Drei Fälle decken alles ab.

Gebrochenrationale Funktionen sind Quotienten zweier Polynome. Ihre Besonderheit gegenüber den ganzrationalen ist der eingeschränkte Definitionsbereich: An den Nullstellen des NENNERS ist die Funktion nicht definiert, und genau diese Stellen bestimmen ihr charakteristisches Verhalten.

Nicht jede Definitionslücke ist gleich. Kürzt sich ein Faktor vollständig heraus, so liegt eine BEHEBBARE Lücke vor — der Graph hat dort nur ein Loch, verläuft aber sonst unauffällig. Bleibt der Nenner nach dem Kürzen null, während der Zähler es nicht ist, liegt eine POLSTELLE mit senkrechter Asymptote vor. Deshalb gilt: erst faktorisieren und kürzen, dann urteilen.

An einer Polstelle entscheidet die Vielfachheit über das Bild: Bei ungerader Vielfachheit wechselt der Graph das Vorzeichen und läuft auf der einen Seite nach

+\infty

, auf der anderen nach

-\infty

; bei gerader Vielfachheit strebt er auf beiden Seiten in dieselbe Richtung. Die einseitigen Grenzwerte sind deshalb getrennt anzugeben.

Das Verhalten im Unendlichen folgt dem GRADVERGLEICH von Zähler und Nenner. Ist der Zählergrad kleiner, so ist die

x

-Achse waagerechte Asymptote. Sind die Grade gleich, so ist es die Gerade

y = a_n/b_n

mit den Leitkoeffizienten. Ist der Zählergrad um genau eins größer, entsteht eine SCHIEFE Asymptote, die man durch Polynomdivision gewinnt.

Bemerkenswert und oft überraschend: Der Graph DARF seine waagerechte oder schiefe Asymptote schneiden. Das Verbot gilt nur für senkrechte Asymptoten, weil die Funktion dort gar nicht definiert ist. Wer glaubt, eine Asymptote dürfe nie geschnitten werden, zeichnet den Verlauf im mittleren Bereich falsch.

Für die Skizze genügen deshalb wenige Bausteine: Definitionslücken mit ihrer Art, das Verhalten an den Polstellen, die Asymptoten, die Nullstellen (Nullstellen des ZÄHLERS, sofern sie nicht weggekürzt wurden) und der

y

-Achsenabschnitt. Aus ihnen ergibt sich der Verlauf zuverlässig, ohne eine Wertetabelle anzulegen.

Vokabeln

→ Kartei

die gebrochenrationale FunktionQuotient zweier Polynome
die PolstelleDefinitionslücke mit senkrechter Asymptote
die behebbare LückeLücke, die sich durch Kürzen schließen lässt
die schiefe AsymptoteGerade bei um eins größerem Zählergrad
der GradvergleichVergleich von Zähler- und Nennergrad

Gradvergleich — Verhalten im Unendlichen

\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{a_n x^n + \dots}{b_m x^m + \dots} = \begin{cases} 0 & n < m \\ \dfrac{a_n}{b_m} & n = m \\ \pm\infty & n > m \end{cases}

$n$ der Zählergrad, $m$ der Nennergrad, $a_n$ und $b_m$ die zugehörigen Leitkoeffizienten. Bei $n = m+1$ entsteht zusätzlich eine schiefe Asymptote, die man durch Polynomdivision gewinnt.

Musterlösung

Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion

Untersuchen Sie $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x}$ auf Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Polstellen und Asymptoten.

Schritt 1 — Definitionsbereich
Nenner $x=0$ ist ausgeschlossen: $D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .
Schritt 2 — Symmetrie
$f(-x)=\dfrac{x^{2}-1}{-x}=-\dfrac{x^{2}-1}{x}=-f(x)$ — Punktsymmetrie zum Ursprung.
Schritt 3 — Nullstellen
Zähler null: $x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1$ (beide im Definitionsbereich).
Schritt 4 — Polstelle
Bei $x=0$ ist der Zähler $-1\neq 0$ , also echte Polstelle. Einseitige Grenzwerte: $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ , $\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty$ — Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Schritt 5 — Asymptote
Polynomdivision: $\dfrac{x^{2}-1}{x}=x-\dfrac{1}{x}$ . Da $-\tfrac{1}{x}\to 0$ für $x\to\pm\infty$ , ist $y=x$ schiefe Asymptote.
$f(x)=x-\dfrac{1}{x}\;\Rightarrow\; \text{schiefe Asymptote } y=x$

Ergebnis: $D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ; punktsymmetrisch; Nullstellen $x=\pm 1$ ; Polstelle $x=0$ mit Vorzeichenwechsel; schiefe Asymptote $y=x$ .

Typische Fehler

Vor dem Kürzen über die Art der Definitionslücke geurteilt.
Angenommen, ein Graph dürfe seine waagerechte Asymptote nicht schneiden.
Die schiefe Asymptote übersehen, weil nur auf waagerechte geprüft wurde.
An der Polstelle nur einen Grenzwert angegeben statt beider Seiten.
Eine weggekürzte Nullstelle als echte Nullstelle mitgeführt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Bestimmen Sie die schiefe Asymptote von $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ durch Polynomdivision und untersuchen Sie, ob der Graph sie schneidet. Begründen Sie Ihr Ergebnis und erläutern Sie, was der Restterm über die Lage des Graphen relativ zur Asymptote aussagt.

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 4}$ vollständig: Definitionsbereich, Art der Definitionslücken, Nullstellen, Asymptoten und Verhalten an den Polstellen. Skizzieren Sie den Graphen.

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Exponential- und Logarithmusfunktionen#

~3 Min LesezeitStandardL4K3

Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus

Abb. 6f(x) = eˣ wächst streng monoton; g(x) = ln(x) ist die Umkehrung mit Definitionsbereich (0, ∞).

Bei Exponentialfunktionen

f(x) = a\cdot b^{x}

steht die Variable im EXPONENTEN — das ist der entscheidende Unterschied zu Potenzfunktionen wie

x^2

, bei denen sie in der Basis steht. Aus dieser Bauart folgt die charakteristische Eigenschaft: Bei gleichen Schritten in

x

wird der Funktionswert mit demselben Faktor MULTIPLIZIERT, nicht um denselben Betrag vergrößert.

Für

b > 1

liegt Wachstum vor, für

0 < b < 1

Zerfall. Der Faktor

a

ist stets der Startwert

f(0)

, denn

b^0 = 1

. Die

x

-Achse ist waagerechte Asymptote, und der Graph verläuft — solange

a > 0

ist — vollständig oberhalb: Eine Exponentialfunktion dieser Bauart hat KEINE Nullstelle, was in Aufgaben regelmäßig zu begründen ist.

In der Analysis bevorzugt man die Basis

e

mit

e \approx 2{,}718

, und der Grund ist ihre Ableitung:

\left(e^x\right)' = e^x

ist die einzige Funktion, die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Jede Exponentialfunktion lässt sich über

b^x = e^{x\ln b}

auf diese Basis bringen — der Zusammenhang, der Wachstumsfaktor und Wachstumskonstante verbindet.

Der LOGARITHMUS ist die Umkehrfunktion:

\log_b y

ist der Exponent, mit dem

b

zu potenzieren ist, um

y

zu erhalten. Daraus folgt sofort sein Definitionsbereich — nur positive Argumente sind zulässig, weil eine Potenz mit positiver Basis nie null oder negativ wird. Die Graphen von

e^x

und

\ln x

sind Spiegelbilder an der Winkelhalbierenden.

Praktisch braucht man den Logarithmus überall dort, wo die gesuchte Größe im Exponenten steht — bei Verdopplungs- und Halbwertszeiten, bei Zinsdauern, bei Abklingvorgängen. Die Rechenregeln

\ln(uv) = \ln u + \ln v

und

\ln(u^n) = n\ln u

sind dabei das Werkzeug: Die letzte holt den Exponenten nach vorn und macht ihn damit auflösbar.

Die häufigste Modellform im Abitur ist

f(t) = a\cdot e^{k t}

mit

k = \ln b

. Positives

k

bedeutet Wachstum, negatives Zerfall, und

|k|

misst die Geschwindigkeit. Aus zwei Messpunkten lassen sich

a

und

k

bestimmen — die Standardaufgabe, die den Übergang zur Modellierung herstellt.

Vokabeln

→ Kartei

die ExponentialfunktionVariable im Exponenten, $a\cdot b^x$
die Basis $e$Eulersche Zahl ≈ 2,718$(e^x)' = e^x$
der LogarithmusUmkehrfunktion der Exponentialfunktion
die WachstumskonstanteExponent $k$ mit $k = \ln b$
die HalbwertszeitZeit bis zur Halbierung des Bestands

Exponentialfunktion und Umrechnung in Basis e

f(x) = c\cdot a^{x} = c\cdot \mathrm{e}^{kx},\quad k = \ln a

Exponentielles Wachstum f(t) = 100 · 1,08ᵗ

Abb. 7Anfangswert 100, Wachstumsfaktor 1,08 (8 % pro Periode); Verdopplungszeit ca. 9 Perioden.

Musterlösung

Exponentielles Wachstumsmodell anpassen

Eine Bakterienkultur enthält zu Beginn 1000 Zellen und verdoppelt sich alle 4 Stunden. Stellen Sie ein Wachstumsmodell $N(t)$ auf, bestimmen Sie die Wachstumsrate $k$ und berechnen Sie $N(10)$ .

Schritt 1 — Modellansatz
Stetiges Wachstum: $N(t) = 1000\cdot \mathrm{e}^{kt}$ .
Schritt 2 — Verdopplungsbedingung
$N(4)=2000$ liefert $\mathrm{e}^{4k}=2$ , also $k=\tfrac{\ln 2}{4}\approx 0{,}1733$ .
$k = \tfrac{\ln 2}{4} \approx 0{,}1733$
Schritt 3 — Auswertung bei t = 10
$N(10) = 1000\cdot \mathrm{e}^{0{,}1733\cdot 10} = 1000\cdot \mathrm{e}^{1{,}733}\approx 1000\cdot 5{,}657 \approx 5657$ .
Schritt 4 — Interpretieren
Nach 10 Stunden liegen rund 5650 Zellen vor; das Modell setzt unbeschränkte Ressourcen voraus, was biologisch nur kurzzeitig gilt.

Ergebnis: Modell $N(t)=1000\cdot \mathrm{e}^{(\ln 2/4)\cdot t}$ ; $N(10)\approx 5657$ Zellen.

Typische Fehler

$\ln(u + v) = \ln u + \ln v$ verwendet; die Regel gilt für PRODUKTE.
Den Definitionsbereich des Logarithmus nicht beachtet und $\ln$ eines negativen Werts gebildet.
Exponential- und Potenzfunktion verwechselt.
Bei $0 < b < 1$ von Wachstum gesprochen statt von Zerfall.
$k$ und $b$ gleichgesetzt statt $k = \ln b$ zu verwenden.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie, dass sich jede Exponentialfunktion $a\cdot b^x$ in der Form $a\cdot e^{kx}$ mit $k = \ln b$ schreiben lässt, und leiten Sie daraus die Ableitung $\left(b^x\right)' = b^x\ln b$ her. Erläutern Sie, warum die Basis $e$ die Ableitung besonders einfach macht.

Aktive Wiederholung

Eine Substanz zerfällt gemäß $f(t) = 200\cdot e^{-0{,}03t}$ ( $t$ in Tagen). Bestimmen Sie den Anfangsbestand, die Halbwertszeit und den Zeitpunkt, zu dem noch $50$ Einheiten vorhanden sind. Begründen Sie, warum die Funktion keine Nullstelle besitzt.

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Trigonometrische Funktionen#

~3 Min LesezeitStandardL4L2

Einheitskreis — Sinus, Kosinus, Tangens

Abb. 8Punkt

P(\cos\varphi \mid \sin\varphi)

auf dem Einheitskreis;

\varphi

im Bogenmaß.

Sinus und Kosinus beschreiben PERIODISCHE Vorgänge — alles, was sich in gleichen Abständen wiederholt: Schwingungen, Wechselspannung, Gezeiten, Tageslängen im Jahresverlauf. Ihre Definition am Einheitskreis macht sie für alle reellen Zahlen sinnvoll und nicht nur für Winkel im Dreieck: Der Kosinus ist die

x

-, der Sinus die

y

-Koordinate des Punktes zum Bogenmaß

x

.

In der Analysis wird durchgehend im BOGENMASS gerechnet, nicht in Grad. Der Grund ist zwingend: Nur dort gilt

\left(\sin x\right)' = \cos x

ohne störenden Umrechnungsfaktor. Ein auf Grad eingestellter Rechner liefert bei Ableitungen und Integralen systematisch falsche Werte — der häufigste stille Fehler dieses Abschnitts.

Beide Funktionen haben die Periode

2\pi

und den Wertebereich

[-1;\,1]

. Der Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung (

\sin(-x) = -\sin x

), der Kosinus achsensymmetrisch zur

y

-Achse (

\cos(-x) = \cos x

). Sie gehen durch Verschiebung um

\pi/2

ineinander über, sind also im Grunde dieselbe Kurve an verschiedener Stelle.

Die allgemeine Form

f(x) = a\sin(b(x - c)) + d

enthält alle vier Parameter mit klarer Bedeutung:

|a|

ist die Amplitude,

b

staucht horizontal und ergibt die Periode

2\pi/b

,

c

verschiebt waagerecht (Phasenverschiebung) und

d

senkrecht (Mittellinie). Diese Zuordnung sicher zu beherrschen ist der Kern jeder Modellierungsaufgabe mit periodischen Daten.

Die Periode über

b

zu bestimmen ist der Schritt, der am häufigsten misslingt: Ein größeres

b

macht die Periode KLEINER, weil es horizontal staucht. Bei einem Jahresmodell mit Periode 12 Monaten ist demnach

b = 2\pi/12 = \pi/6

— nicht 12. Wer die Beziehung umkehrt, erhält Modelle, die um Größenordnungen danebenliegen.

Trigonometrische Gleichungen haben stets UNENDLICH viele Lösungen, weil sich die Funktionswerte periodisch wiederholen. Der Rechner liefert nur einen Hauptwert; alle weiteren ergeben sich durch Addition von

k\cdot 2\pi

und — je nach Funktion — durch die Symmetrie (

\pi - x

beim Sinus,

-x

beim Kosinus). Die vollständige Lösungsmenge anzugeben ist Teil der Aufgabe.

Vokabeln

→ Kartei

das BogenmaßWinkelmaß über die Bogenlänge am Einheitskreisin der Analysis verbindlich
die Amplitudehalbe Schwankungsbreite, Parameter $|a|$
die PeriodeLänge einer vollen Schwingung, $2\pi/b$
die Phasenverschiebungwaagerechte Verschiebung, Parameter $c$
die Mittelliniesenkrechte Verschiebung, Parameter $d$

Allgemeine Sinusfunktion mit Amplitude a, Periode 2π/b, Phase c, Mittellage d

f(x) = a\cdot \sin(b(x - c)) + d

Musterlösung

Periodische Funktion an Datenpunkte anpassen

Die Wassertiefe an einer Küste schwankt zwischen 2 m (Niedrigwasser) und 6 m (Hochwasser) mit Periode 12 Stunden. Bestimmen Sie eine Funktion $h(t)=a\sin(b\,t)+d$ .

Schritt 1 — Mittellage und Amplitude
$d = \tfrac{2+6}{2}=4$ , $a=\tfrac{6-2}{2}=2$ .
Schritt 2 — Periode
Aus $T=12$ folgt $b=\tfrac{2\pi}{12}=\tfrac{\pi}{6}$ .
Schritt 3 — Funktion notieren
$h(t)=2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}t\right)+4$ liefert bei $t=0$ den Wert 4 (Mittellage).
$h(t) = 2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\,t\right) + 4$

Ergebnis: Modellfunktion $h(t) = 2\sin(\tfrac{\pi}{6}t)+4$ (in Metern, t in Stunden).

Typische Fehler

Im Gradmodus gerechnet und dadurch Ableitungen und Integrale verfälscht.
Die Periode als $b$ oder $b/2\pi$ statt $2\pi/b$ angegeben.
Nur den Hauptwert einer trigonometrischen Gleichung angegeben.
Amplitude und Mittellinie verwechselt.
Die Phasenverschiebung mit falschem Vorzeichen abgelesen ( $\sin(x - c)$ verschiebt nach RECHTS).

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Modellieren Sie die Tageslänge an einem Ort, an dem der längste Tag 16 Stunden und der kürzeste 8 Stunden dauert, durch eine Sinusfunktion mit Periode 365 Tagen. Bestimmen Sie alle vier Parameter und begründen Sie Ihre Wahl des Nullpunkts der Zeitrechnung.

Aktive Wiederholung

Bestimmen Sie für $f(x) = 3\sin\!\left(2\left(x - \tfrac{\pi}{4}\right)\right) + 1$ Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und Mittellinie. Geben Sie außerdem alle Lösungen von $f(x) = 1$ an.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L4 (Kultusministerkonferenz)

Symmetrien und Transformationen#

~3 Min LesezeitStandardL4K4

Transformationen von Funktionsgraphen

Abb. 9🔴 Innerhalb der Klammer wirkt alles GEGENLÄUFIG: f(x − 2) verschiebt nach RECHTS. Das ist der meistgemachte Fehler des Kapitels.

Symmetrie ist kein schmückendes Detail, sondern ein Arbeitsersparnis: Wer sie nachweist, halbiert den Untersuchungsaufwand und kann fehlende Koeffizienten sofort zu null setzen. Zwei Fälle sind prüfungsrelevant — Achsensymmetrie zur

y

-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung.

Der Nachweis läuft rechnerisch über

f(-x)

: Ergibt sich

f(-x) = f(x)

, liegt Achsensymmetrie zur

y

-Achse vor; ergibt sich

f(-x) = -f(x)

, Punktsymmetrie zum Ursprung. Wichtig ist, dass ein Ergebnis, das weder das eine noch das andere ist, KEINE Symmetrie dieser beiden Arten bedeutet — nicht etwa einen Rechenfehler.

Bei ganzrationalen Funktionen gibt es dafür eine bequeme Abkürzung: Enthält der Term nur GERADE Exponenten, ist er achsensymmetrisch; nur UNGERADE, punktsymmetrisch. Ein Absolutglied zählt als gerader Exponent (

x^0

) und zerstört deshalb die Punktsymmetrie — das ist der häufigste Stolperstein bei Steckbriefaufgaben.

Transformationen verändern einen Graphen nach festen Regeln, und alle folgen einem Muster: Änderungen AUSSERHALB der Funktion wirken senkrecht und wie erwartet, Änderungen am ARGUMENT wirken waagerecht und gegenläufig. So verschiebt

f(x) + d

nach oben, aber

f(x - c)

nach RECHTS — obwohl dort ein Minus steht.

Ebenso gegenläufig ist die Streckung:

a\cdot f(x)

streckt senkrecht um den Faktor

a

, während

f(b\cdot x)

waagerecht um den Faktor

1/b

STAUCHT. Ein größeres

b

macht den Graphen also schmaler. Diese Gegenläufigkeit ist der Kern aller Fehler in diesem Abschnitt und lohnt es, an einem einfachen Beispiel einmal durchgerechnet zu werden.

Spiegelungen fügen sich in dasselbe Schema:

-f(x)

spiegelt an der

x

-Achse,

f(-x)

an der

y

-Achse. Bei zusammengesetzten Transformationen ist die REIHENFOLGE zu beachten — erst wird das Argument bearbeitet (innen), dann der Funktionswert (außen); wer sie vertauscht, erhält einen anderen Graphen.

Vokabeln

→ Kartei

die Achsensymmetrie$f(-x) = f(x)$; Spiegelung an der $y$-Achse
die Punktsymmetrie$f(-x) = -f(x)$; Spiegelung am Ursprung
die TransformationVerschiebung, Streckung oder Spiegelung eines Graphen
die StauchungVerschmälerung durch $f(bx)$ mit $b > 1$

Symmetriekriterien für Funktionsgraphen

f(-x) = f(x)\;\text{(Achsensymmetrie),}\quad f(-x) = -f(x)\;\text{(Punktsymmetrie zum Ursprung)}

Typische Fehler

$f(x-c)$ als Verschiebung nach links gedeutet; sie verschiebt nach RECHTS.
$f(bx)$ als Streckung statt als Stauchung gedeutet.
Bei einem Polynom mit Absolutglied Punktsymmetrie behauptet.
Aus $f(-x) \neq f(x)$ auf Punktsymmetrie geschlossen, ohne $-f(x)$ zu prüfen.
Bei zusammengesetzten Transformationen die Reihenfolge vertauscht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Untersuchen Sie, wie sich Symmetrieeigenschaften beim Ableiten verhalten: Zeigen Sie, dass die Ableitung einer achsensymmetrischen Funktion punktsymmetrisch ist und umgekehrt. Begründen Sie das anschaulich über die Steigungen an gespiegelten Stellen.

Aktive Wiederholung

Untersuchen Sie $f(x) = x^4 - 3x^2$ und $g(x) = x^3 - 2x$ auf Symmetrie und begründen Sie Ihr Ergebnis auf zwei Wegen. Beschreiben Sie anschließend, wie der Graph von $h(x) = -2f(x - 1) + 3$ aus dem von $f$ hervorgeht.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee L4 (Kultusministerkonferenz)