DE · Abitur

Mechanik 2 — Erhaltungssätze und mechanische Schwingungen

Erhaltungssätze sind das mächtigste Werkzeug der Mechanik: Sie beantworten Fragen nach Anfangs- und Endzustand, ohne den Weg dazwischen zu kennen. Energie, Impuls und Drehimpuls bleiben erhalten — und aus derselben Denkfigur folgt die harmonische Schwingung, deren Gleichung im Schwingkreis unverändert wiederkehrt. Die KMK zählt mechanische Schwingungen zum Inhaltsbereich 2.6.2.

6 Abschnitte~20 Min Lesezeit4 KompetenzenStand 05/2026

T·0222 / 10

Prüfungsprofil

S 1 · Phänomene unter Nutzung bekannter physikalischer Modelle und Theorien erklärenS 7 · Bekannte mathematische Verfahren auf physikalische Sachverhalte anwendenE 5 · Geeignete Experimente und Auswertungen zur Untersuchung einer Fragestellung planenE 6 · Mithilfe bekannter Modelle die in Daten gefundenen Strukturen und Beziehungen erklären

Operatoren:beschreibenberechnenherleitenbegründenerläuternauswerten

grundlegendes Niveau

gA: Arbeit, Energie und Leistung sicher berechnen, Energie- und Impulserhaltung auf Stöße und Bewegungen anwenden, harmonische Schwingungen mit ihren charakteristischen Größen beschreiben.

erhöhtes Niveau

eA: zusätzlich die Schwingungsgleichung als Differentialgleichung aufstellen und lösen, gedämpfte und erzwungene Schwingungen mit Resonanz behandeln sowie Drehimpulserhaltung quantitativ nutzen.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Mechanik 2 — Erhaltungssätze und mechanische Schwingungen

6 Abschnitte30 Merksätze12 Formeln30 Fehlerwarnungen

Arbeit, Energie und Leistung#

~4 Min LesezeitBasisVoraussetzungMechanik

Arbeitsformen und ihre Energieformen

Abb. 1Arbeit ist der Prozess, Energie der Zustand. Jede Zeile nennt beides — und die Bedingung, unter der die Formel gilt.

Physikalische Arbeit wird nur dann verrichtet, wenn eine Kraft einen Körper LÄNGS ihrer Richtung verschiebt:

W = F\,s\,\cos\alpha

. Der Kellner, der ein Tablett waagerecht durch den Raum trägt, verrichtet daran keine Hubarbeit — die Kraft steht senkrecht zum Weg,

\cos 90° = 0

. Dieser Winkelfaktor ist der am häufigsten übersehene Teil der Definition.

Ist die Kraft nicht konstant, tritt an die Stelle des Produkts das Integral

W = \int F\,\mathrm{d}s

. Grafisch bedeutet das: Die Arbeit ist die FLÄCHE unter dem Kraft-Weg-Diagramm. Für die Feder mit

F = D\,s

ergibt sich daraus die Dreiecksfläche

W = \tfrac12 D s^2

— die Spannenergie.

Energie ist die gespeicherte Fähigkeit, Arbeit zu verrichten; ihre Einheit ist dieselbe:

1\,\text{J} = 1\,\text{N}\,\text{m}

. In der Schulmechanik treten drei Formen auf: die kinetische Energie

\tfrac12 m v^2

, die Höhenenergie

m\,g\,h

und die Spannenergie

\tfrac12 D s^2

. Zwei davon wachsen QUADRATISCH — bei doppelter Geschwindigkeit vervierfacht sich die Bremsenergie, was den Bremsweg viermal so lang macht.

Leistung ist Arbeit je Zeit,

P = \mathrm{d}W/\mathrm{d}t

, mit der Einheit Watt. Für konstante Kraft folgt die oft nützlichere Form

P = F\,v

: Ein Auto, das bei doppelter Geschwindigkeit dieselbe Zugkraft aufbringen soll, braucht die doppelte Leistung. Die Kilowattstunde ist trotz ihres Namens eine Einheit der ENERGIE, nämlich

3{,}6\,\text{MJ}

Der Wirkungsgrad

\eta = W_{\text{nutz}}/W_{\text{zu}}

ist stets kleiner als eins, weil jede reale Maschine einen Teil der zugeführten Energie in nicht genutzte Formen überführt — meist Wärme. Ein Ergebnis über eins ist immer ein Rechenfehler und sollte als Selbsttest genutzt werden.

Sprachlich wichtig und in Bewertungsaufgaben geprüft: Energie geht nie „verloren". Sie wird gewandelt und dabei ENTWERTET — aus gerichteter mechanischer Energie wird ungeordnete thermische. Der Begriff „Energieverlust" ist eine bequeme Abkürzung, die man in einer Prüfungsantwort auflösen sollte.

Vokabeln

→ Kartei

die ArbeitKraft mal Weg längs der Kraftrichtung; $W = F s\cos\alpha$
die LeistungArbeit je Zeit; Einheit Watt
die Spannenergiein einer gespannten Feder gespeicherte Energie $\tfrac12 D s^2$
der WirkungsgradVerhältnis von Nutz- zu zugeführter Energie; stets < 1
die EnergieentwertungWandlung in weniger nutzbare Energieformen

Mechanische Arbeit

W = \int_{s_1}^{s_2} \vec F\cdot d\vec s = F\,s\cos\alpha\;\text{(F konst.)}

Mechanische Energieformen

E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2}m v^2,\quad E_{\text{pot}} = m g h,\quad E_{\text{spann}} = \tfrac{1}{2}D s^2

Mechanische Leistung

P = \dfrac{dW}{dt} = F\,v

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Musterlösung

Aufzug — Hubarbeit, Nutzleistung und Wirkungsgrad

Ein Aufzug hebt $m = 80\,\text{kg}$ um $h = 9{,}0\,\text{m}$ in $t = 4{,}5\,\text{s}$ ; der Motor nimmt $P_{\text{zu}} = 2{,}0\,\text{kW}$ auf. Berechnen Sie Hubarbeit, Nutzleistung und Wirkungsgrad.

Hubarbeit bestimmen
Die Kraft wirkt hier längs des Weges ( $\cos 0° = 1$ ), also $W = m\,g\,h = 80\cdot 9{,}81\cdot 9{,}0 \approx 7{,}06\cdot 10^3\,\text{J}$ .
$W = m\,g\,h$
Nutzleistung berechnen
$P_{\text{nutz}} = W/t = 7063\,\text{J}/4{,}5\,\text{s} \approx 1{,}57\cdot 10^3\,\text{W}$ .
Wirkungsgrad bilden
$\eta = P_{\text{nutz}}/P_{\text{zu}} = 1570/2000 \approx 0{,}78$ , also rund $78\,\%$ .
$\eta = \dfrac{P_{\text{nutz}}}{P_{\text{zu}}}$
Ergebnis beurteilen
Der Wert liegt unter eins, wie es sein muss, und ist für einen Seilaufzug mit Gegengewicht realistisch. Die fehlenden $22\,\%$ stecken in Motorwärme, Getriebereibung und Lagerreibung — sie sind nicht verloren, sondern entwertet.

Ergebnis: Hubarbeit $W \approx 7{,}1\,\text{kJ}$ , Nutzleistung $P \approx 1{,}6\,\text{kW}$ , Wirkungsgrad $\eta \approx 78\,\%$ .

Typische Fehler

Den Faktor $\cos\alpha$ weggelassen und Arbeit auch für senkrecht wirkende Kräfte berechnet.
Bei der Feder mit $W = D s^2$ statt $\tfrac12 D s^2$ gerechnet; der Faktor folgt aus der Dreiecksfläche.
Die Kilowattstunde als Einheit der Leistung behandelt. Sie ist eine Energieeinheit.
Reibungsarbeit nicht als negative Arbeit bilanziert.
Einen Wirkungsgrad über eins als Ergebnis stehen gelassen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie aus $P = \mathrm{d}W/\mathrm{d}t$ die Form $P = F\,v$ her und untersuchen Sie damit ein Fahrzeug, dessen Luftwiderstand mit $F_R \propto v^2$ wächst. Zeigen Sie, dass die zur Überwindung nötige Leistung mit $v^3$ ansteigt, und begründen Sie damit den überproportionalen Verbrauch bei hoher Geschwindigkeit.

Aktive Wiederholung

Ein Aufzug hebt eine Person von $80\,\text{kg}$ in $4{,}5\,\text{s}$ um $9{,}0\,\text{m}$ . Berechnen Sie Hubarbeit und mittlere Nutzleistung. Bestimmen Sie den Wirkungsgrad, wenn der Motor $2{,}0\,\text{kW}$ aufnimmt, und beurteilen Sie das Ergebnis.

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Quellen: LEIFIphysik — Arbeit, Energie und Leistung (Joachim Herz Stiftung)

Der Energieerhaltungssatz als Werkzeug#

~4 Min LesezeitBasisVoraussetzungMechanik

Energieerhaltung anwenden — die Prüfschritte

Abb. 2Der Energieansatz ist kürzer als der Kraftansatz, weil er den Weg nicht kennt. Genau deshalb ist Schritt 3 entscheidend.

Der Energieerhaltungssatz ist deshalb so mächtig, weil er den WEG überspringt: Er verbindet Anfangs- und Endzustand, ohne dass man die Bewegung dazwischen kennen muss. Eine Achterbahn mit beliebig verschlungener Schiene lässt sich damit in zwei Zeilen behandeln, während der Weg über Kräfte hoffnungslos wäre.

In einem KONSERVATIVEN Kraftfeld — Schwerkraft und Federkraft sind die Schulbeispiele — ist die Summe

E = E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}}

konstant. Konservativ heißt dabei genau: Die Verschiebearbeit hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab, nicht vom Weg. Reibungskräfte erfüllen das nicht.

Die praktische Anwendung folgt immer demselben Dreischritt: Bezugsniveau für

E_{\text{pot}}

FESTLEGEN, Energieformen an beiden Zuständen aufschreiben, gleichsetzen. Das Bezugsniveau ist frei wählbar — es muss nur angegeben und dann durchgehalten werden, weil nur Differenzen physikalisch bedeutsam sind.

Beim freien Fall aus der Höhe

h

folgt daraus in einer Zeile

\tfrac12 m v^2 = m g h

und damit

v = \sqrt{2gh}

. Die Masse kürzt sich heraus — der schwere und der leichte Körper treffen mit derselben Geschwindigkeit auf, solange der Luftwiderstand vernachlässigbar bleibt.

Mit Reibung ist die mechanische Energie nicht mehr erhalten; sie nimmt um die Reibungsarbeit ab:

E_{\text{Anfang}} = E_{\text{Ende}} + W_{\text{R}}

. Physikalisch korrekt ist die Gesamtenergie weiterhin erhalten — der Betrag erscheint als Wärme in Körper und Umgebung. Diese Umformulierung wird in Prüfungsantworten erwartet.

Der tiefere Grund für die Energieerhaltung ist bemerkenswert: Sie folgt aus der ZEITINVARIANZ der Naturgesetze — daraus, dass ein Experiment morgen dasselbe Ergebnis liefert wie heute. Emmy Noether bewies 1918 allgemein, dass zu jeder solchen Symmetrie eine Erhaltungsgröße gehört; Erhaltungssätze sind damit keine Zufallsbefunde, sondern Ausdruck von Symmetrien.

Vokabeln

→ Kartei

konservativKraftfeld mit wegunabhängiger Verschiebearbeit
das Bezugsniveaufrei gewählter Nullpunkt der Höhenenergie
die Reibungsarbeitin Wärme gewandelter Anteil der mechanischen Energie
das Noether-Theoremzu jeder Symmetrie gehört eine ErhaltungsgrößeEnergieerhaltung ↔ Zeitinvarianz (Emmy Noether, 1918)

Energieerhaltung im konservativen Feld

E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = \text{const.},\qquad \tfrac{1}{2}m v^2 = m\,g\,h \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{2\,g\,h}

$v$ die Geschwindigkeit in m/s, $g$ der Ortsfaktor in m/s², $h$ die Fallhöhe in m. Die Masse kürzt sich heraus. Mit Reibung tritt zusätzlich die Reibungsarbeit $W_R$ in die Bilanz ein.

Musterlösung

Achterbahnloop — Mindesthöhe

Ein Wagen rollt reibungsfrei aus der Höhe $h$ in einen Looping mit Radius $r = 12\,\text{m}$ . Berechnen Sie die Mindesthöhe $h$ , damit der Wagen am höchsten Punkt nicht vom Gleis fällt.

Schritt 1 — Bedingung am höchsten Loop-Punkt
Im Grenzfall liefert die Schwerkraft die gesamte Zentripetalkraft: $m g = m v_{\text{oben}}^2 / r$ , also $v_{\text{oben}}^2 = g r$ .
Schritt 2 — Energieerhaltung
Vom Startpunkt zum höchsten Loop-Punkt (Höhe $2r$ ): $m g h = m g (2 r) + \tfrac{1}{2} m v_{\text{oben}}^2$ .
$h = 2 r + \dfrac{v_{\text{oben}}^2}{2 g}$
Schritt 3 — Einsetzen
$h = 2 r + g r/(2 g) = 2 r + r/2 = 2{,}5\,r$ .
Schritt 4 — Zahlenwert
$h = 2{,}5 \cdot 12 = 30\,\text{m}$ .
Schritt 5 — Interpretieren
Die berühmte „ $\tfrac{5}{2}r$ -Regel". Reibung würde die nötige Höhe weiter erhöhen; Sicherheitszuschläge sind in der Praxis Pflicht.

Ergebnis: Mindesthöhe $h = 30\,\text{m}$ (Grenzfall ohne Reibung).

Typische Fehler

Energieerhaltung trotz Reibung ohne Korrekturterm angewandt.
Das Bezugsniveau während der Rechnung gewechselt.
Angenommen, ein schwererer Körper treffe schneller auf. Die Masse kürzt sich heraus.
Die Höhe $h$ falsch bezogen — auf den Boden statt auf das gewählte Niveau oder umgekehrt.
Formuliert, Energie sei „verloren gegangen", ohne die Wandlung in Wärme zu benennen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Untersuchen Sie einen Looping vom Radius $r$ und leiten Sie über die Bedingung, dass am höchsten Punkt die Gewichtskraft gerade die Zentripetalkraft liefert ( $v_{\text{oben}}^2 = g\,r$ ), die Mindeststarthöhe $h_{\min} = 2{,}5\,r$ her. Begründen Sie, warum diese Höhe unabhängig von der Masse ist.

Aktive Wiederholung

Ein Wagen startet aus der Ruhe auf einer reibungsfreien Bahn in $h = 2{,}5\,\text{m}$ Höhe. Berechnen Sie seine Geschwindigkeit am tiefsten Punkt. Bestimmen Sie anschließend, welche Reibungsarbeit verrichtet wurde, wenn er dort tatsächlich nur $6{,}0\,\text{m/s}$ erreicht ( $m = 0{,}50\,\text{kg}$ ).

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Quellen: LEIFIphysik — Energieerhaltungssatz (Joachim Herz Stiftung)

Impuls als Erhaltungsgröße und Stoßprozesse#

~3 Min LesezeitStandardVoraussetzungMechanik

Zentraler Stoß — Impulserhaltung

Abb. 3Vor und nach dem Stoß bleibt die Vektorsumme der Impulse erhalten:

m_1\vec v_1 + m_2 \vec v_2 = m_1\vec v_1' + m_2 \vec v_2'

Der Impuls

\vec p = m\,\vec v

ist ein VEKTOR, und darin liegt der wichtigste Unterschied zur Energie. In einem abgeschlossenen System — einem System ohne äußere Kräfte — bleibt die Vektorsumme aller Impulse erhalten. Diese Erhaltung gilt bei JEDEM Stoß, gleichgültig ob elastisch oder nicht.

Newtons zweites Gesetz lautet in seiner ursprünglichen und allgemeineren Form

\vec F = \mathrm{d}\vec p/\mathrm{d}t

. Für konstante Masse folgt daraus das vertraute

F = m a

; die Impulsform bleibt aber auch dann gültig, wenn sich die Masse ändert — etwa bei einer Rakete, die Treibstoff ausstößt.

Beim ELASTISCHEN Stoß bleiben Impuls UND kinetische Energie erhalten. Zwei Gleichungen für zwei Unbekannte legen die Endgeschwindigkeiten eindeutig fest. Der Sonderfall gleicher Massen ist besonders anschaulich: Die Geschwindigkeiten werden vollständig ausgetauscht — das Newton-Pendel und der Billardstoß machen es sichtbar.

Beim UNELASTISCHEN Stoß bleibt nur der Impuls erhalten; ein Teil der kinetischen Energie wird in Verformung und Wärme umgesetzt. Beim vollkommen unelastischen Stoß bewegen sich beide Körper anschließend gemeinsam mit

v' = (m_1 v_1 + m_2 v_2)/(m_1 + m_2)

— hier ist der Energieverlust maximal.

Die wichtigste Merkregel dieses Abschnitts lautet: Der Impuls ist IMMER erhalten, die kinetische Energie NUR beim elastischen Stoß. Wer in einer Aufgabe zum unelastischen Stoß mit Energieerhaltung rechnet, erhält ein falsches Ergebnis — und umgekehrt.

Weil der Impuls ein Vektor ist, müssen Richtungen konsequent mit Vorzeichen versehen werden. In eindimensionalen Aufgaben genügt eine festgelegte positive Richtung; in zwei Dimensionen wird komponentenweise bilanziert. Das Rückstoßprinzip — Rakete, Gewehr, ausströmendes Gas — ist die unmittelbarste Anwendung.

Vokabeln

→ Kartei

der ImpulsProdukt aus Masse und Geschwindigkeit; VEKTOR
der elastische StoßImpuls und kinetische Energie bleiben erhalten
der unelastische Stoßnur der Impuls bleibt erhalten
das abgeschlossene SystemSystem ohne äußere Kräfte
das RückstoßprinzipImpulserhaltung bei Ausstoß von Masse

Impuls, Impulserhaltung und die allgemeine Form des zweiten Newtonschen Gesetzes

\vec p = m\,\vec v,\qquad \sum \vec p_{\text{vorher}} = \sum \vec p_{\text{nachher}},\qquad \vec F = \dfrac{\mathrm{d}\vec p}{\mathrm{d}t}

$\vec p$ der Impuls in kg m/s, $m$ die Masse in kg, $\vec v$ die Geschwindigkeit in m/s. Die Erhaltung gilt in abgeschlossenen Systemen VEKTORIELL; $\vec F = \mathrm{d}\vec p/\mathrm{d}t$ gilt auch bei veränderlicher Masse.

Gemeinsame Endgeschwindigkeit beim unelastischen Stoß

v' = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}\qquad (\text{vollkommen unelastisch})

$v'$ die gemeinsame Geschwindigkeit nach dem Stoß in m/s. Nur der Impuls ist hier erhalten; die Differenz der kinetischen Energien erscheint als Verformung und Wärme.

Typische Fehler

Beim unelastischen Stoß die kinetische Energie als erhalten angenommen.
Impulse skalar addiert, ohne die Richtungen zu berücksichtigen.
Vorzeichen nach dem Stoß nicht geprüft; eine negative Geschwindigkeit bedeutet Bewegung in die Gegenrichtung, nicht einen Fehler.
Beim elastischen Stoß gleicher Massen angenommen, beide bewegten sich gemeinsam weiter — das gilt für den unelastischen Fall.
Die Impulserhaltung in einem System mit äußerer Kraft (z. B. Reibung) angewandt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie für den elastischen Stoß die allgemeinen Endgeschwindigkeiten $v_1' = ((m_1-m_2)v_1 + 2m_2v_2)/(m_1+m_2)$ aus Impuls- und Energieerhaltung her. Diskutieren Sie die drei Grenzfälle $m_1 = m_2$ , $m_1 \gg m_2$ und $m_1 \ll m_2$ und ordnen Sie jedem ein Alltagsbeispiel zu.

Aktive Wiederholung

Ein Wagen ( $m_1 = 0{,}40\,\text{kg}$ , $v_1 = 3{,}0\,\text{m/s}$ ) stößt auf einen ruhenden Wagen ( $m_2 = 0{,}60\,\text{kg}$ ). Berechnen Sie die gemeinsame Geschwindigkeit für den vollkommen unelastischen Fall und bestimmen Sie, welcher Anteil der kinetischen Energie dabei umgewandelt wird.

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Quellen: LEIFIphysik — Impuls und Stoßgesetze (Joachim Herz Stiftung)

Harmonische Schwingungen und ihre Modellbildung#

~4 Min LesezeitStandardKMK 2.6.2Schwingungen

Pendel — Phasendiagramm

Abb. 4Im Auslenkungs-Geschwindigkeits-Diagramm beschreibt das ungedämpfte Pendel eine Ellipse; gedämpft entsteht eine Spirale.

Eine Schwingung heißt HARMONISCH, wenn die rücktreibende Kraft dem Betrag der Auslenkung proportional und ihr entgegengerichtet ist:

F = -D\,y

. Diese eine Bedingung erzeugt zwingend einen sinusförmigen Verlauf — und sie ist zugleich das Kriterium, an dem sich in Aufgaben entscheidet, ob die Standardformeln überhaupt gelten dürfen.

Setzt man den Kraftansatz in das zweite Newtonsche Gesetz ein, entsteht die Schwingungsgleichung

m\,\ddot y + D\,y = 0

. Sie ist eine Differentialgleichung: gesucht ist nicht eine Zahl, sondern eine FUNKTION, deren zweite Ableitung proportional zu ihr selbst und entgegengesetzt ist. Genau das leistet die Sinusfunktion.

Die Lösung lautet

y(t) = \hat y\,\sin(\omega_0 t + \varphi_0)

mit der Eigenkreisfrequenz

\omega_0 = \sqrt{D/m}

. Geschwindigkeit und Beschleunigung ergeben sich durch Ableiten und eilen der Auslenkung um eine Viertel- bzw. eine halbe Periode voraus: In der Ruhelage ist

v

maximal und

a

null, in den Umkehrpunkten umgekehrt.

Das bemerkenswerteste Ergebnis ist die Unabhängigkeit der Periodendauer von der AMPLITUDE. Ein weit ausgelenktes Federpendel schwingt genauso schnell wie ein schwach ausgelenktes — es legt nur einen längeren Weg mit entsprechend höherer Geschwindigkeit zurück. Genau darauf beruht die Verwendung von Pendeln als Uhren.

Für das Federpendel gilt

T = 2\pi\sqrt{m/D}

, für das Fadenpendel

T = 2\pi\sqrt{\ell/g}

. Beim Fadenpendel fällt die Masse heraus — und die Formel gilt nur für KLEINE Auslenkungen, weil erst dann

\sin\varphi \approx \varphi

und damit die lineare Rückstellkraft gilt. Diese Näherungsbedingung ist Teil der vollständigen Antwort.

Energetisch pendelt die Gesamtenergie zwischen Spann- und Bewegungsenergie hin und her, ihre Summe bleibt beim ungedämpften Fall konstant:

E = \tfrac12 D\hat y^2 = \tfrac12 m v_{\max}^2

. Weil beide Terme quadratisch sind, schwingt die Energie mit der DOPPELTEN Frequenz der Auslenkung — dieselbe Beobachtung wie später beim Schwingkreis.

Vokabeln

→ Kartei

harmonischRückstellkraft proportional zur Auslenkungerzeugt einen sinusförmigen Verlauf
die Amplitudemaximale Auslenkung aus der Ruhelage
die Eigenkreisfrequenz$\omega_0 = \sqrt{D/m}$; Einheit 1/s
die FederkonstanteHärte der Feder $D$ in N/m
die NullphasePhasenwinkel $\varphi_0$ zum Zeitpunkt $t = 0$

Periodendauer harmonischer Schwingungen

T_{\text{Feder}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}},\quad T_{\text{Pendel}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}

Schwingungsgleichung und ihre Lösung

m\,\ddot y + D\,y = 0,\qquad y(t) = \hat y\,\sin(\omega_0 t + \varphi_0),\qquad \omega_0 = \sqrt{\dfrac{D}{m}}

$y$ die Auslenkung in m, $\ddot y$ die Beschleunigung in m/s², $D$ die Federkonstante in N/m, $m$ die Masse in kg, $\hat y$ die Amplitude in m, $\varphi_0$ die Nullphase. Die Periodendauer hängt NICHT von der Amplitude ab.

Periodendauern der beiden Schulpendel

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}\quad(\text{Federpendel}),\qquad T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\quad(\text{Fadenpendel, kleine Auslenkung})

$\ell$ die Pendellänge in m, $g$ der Ortsfaktor in m/s². Beim Fadenpendel kürzt sich die Masse heraus; die Formel setzt $\sin\varphi \approx \varphi$ voraus.

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Musterlösung

Periodendauer und Maximalgeschwindigkeit eines Federpendels

An einer Feder mit $D = 80\,\text{N/m}$ hängt eine Masse von $0{,}40\,\text{kg}$ . Sie wird um $5{,}0\,\text{cm}$ ausgelenkt und losgelassen.

Schritt 1 — Periodendauer
$T = 2\pi\sqrt{m/D} = 2\pi\sqrt{0{,}40/80} = 2\pi\sqrt{0{,}005}\approx 0{,}444\,\text{s}$ .
Schritt 2 — Kreisfrequenz
$\omega = \sqrt{D/m} = \sqrt{200}\approx 14{,}14\,\text{rad/s}$ .
Schritt 3 — Maximalgeschwindigkeit
$v_{\max} = \omega A = 14{,}14 \cdot 0{,}05 \approx 0{,}71\,\text{m/s}$ .
$v_{\max} = \omega A$
Schritt 4 — Energiekontrolle
$E = \tfrac{1}{2} D A^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 80 \cdot 0{,}0025 = 0{,}10\,\text{J}$ ; passt zu $E = \tfrac{1}{2} m v_{\max}^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}40\cdot 0{,}50 \approx 0{,}10\,\text{J}$ .

Ergebnis: $T \approx 0{,}44\,\text{s}$ , $v_{\max} \approx 0{,}71\,\text{m/s}$ , $E \approx 0{,}10\,\text{J}$ .

Typische Fehler

In $T = 2\pi\sqrt{m/D}$ Zähler und Nenner vertauscht.
Angenommen, größere Amplitude bedeute längere Periodendauer.
Beim Fadenpendel die Masse in die Formel aufgenommen; sie kürzt sich heraus.
Die Kleinwinkelnäherung des Fadenpendels unerwähnt gelassen oder die Formel bei großen Auslenkungen verwendet.
Kreisfrequenz $\omega$ und Frequenz $f$ verwechselt; es gilt $\omega = 2\pi f$ .

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie durch zweimaliges Ableiten und Einsetzen, dass $y(t) = \hat y\sin(\omega_0 t)$ die Gleichung $m\ddot y + Dy = 0$ genau für $\omega_0 = \sqrt{D/m}$ löst. Leiten Sie anschließend die Fadenpendelformel her, indem Sie die rücktreibende Komponente $-mg\sin\varphi$ für kleine Winkel linearisieren.

Aktive Wiederholung

Ein Federpendel besteht aus $m = 0{,}25\,\text{kg}$ und einer Feder mit $D = 40\,\text{N/m}$ . Berechnen Sie Periodendauer und Frequenz. Bestimmen Sie außerdem die Länge eines Fadenpendels, das mit derselben Periodendauer schwingt, und begründen Sie, warum dessen Masse dabei keine Rolle spielt.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Mechanische Schwingungen (Joachim Herz Stiftung)

Gedämpfte und erzwungene Schwingungen, Resonanz#

~3 Min LesezeitVertiefungKMK 2.6.2Schwingungen

Resonanzkurve — Amplitude bei erzwungener Schwingung

Abb. 5Stationäre Amplitude

A(\Omega)

über der Erregerfrequenz. Maximum nahe

\omega_0

; geringe Dämpfung

\gamma

ergibt schmale, hohe Spitze.

Jede reale Schwingung verliert Energie an die Umgebung — durch Luftwiderstand, innere Reibung oder elektrische Verluste. Die Amplitude nimmt deshalb ab, und zwar bei geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung EXPONENTIELL:

\hat y(t) = \hat y_0\,e^{-\delta t}

mit der Abklingkonstanten

\delta

Die Dämpfung verändert auch die Frequenz, allerdings nur schwach: Die gedämpfte Schwingung ist etwas langsamer als die ungedämpfte,

\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}

. Bei schwacher Dämpfung ist der Unterschied vernachlässigbar — was rechtfertigt, in Schulaufgaben meist mit

\omega_0

zu rechnen.

Wird die Dämpfung sehr groß, kommt gar keine Schwingung mehr zustande. Man unterscheidet den SCHWINGFALL (mehrere Durchgänge, abklingend), den APERIODISCHEN GRENZFALL (

\delta = \omega_0

, schnellste Rückkehr ohne Überschwingen) und den KRIECHFALL (übermäßig gedämpft, langsame Rückkehr). Ein Stoßdämpfer wird bewusst nahe am Grenzfall ausgelegt.

Bei ERZWUNGENEN Schwingungen wirkt eine periodische äußere Kraft mit der Erregerfrequenz

\omega_E

. Nach einem Einschwingvorgang schwingt das System stationär mit der ERREGERfrequenz — nicht mit seiner Eigenfrequenz. Diese Unterscheidung ist der häufigste Fehler des Abschnitts.

Die Amplitude hängt stark vom Verhältnis

\omega_E/\omega_0

ab und wird bei Annäherung an die Eigenfrequenz maximal: RESONANZ. Die Höhe des Maximums bestimmt allein die Dämpfung — schwach gedämpft ergibt eine schmale, hohe Resonanzkurve, stark gedämpft eine breite, flache (siehe ). Ohne Dämpfung würde die Amplitude über alle Grenzen wachsen, die sogenannte Resonanzkatastrophe.

Auch die Phasenlage ändert sich charakteristisch: Weit unterhalb der Resonanz folgt das System dem Erreger nahezu in Phase, genau in der Resonanz eilt es um

90°

nach, weit oberhalb um

180°

— es bewegt sich dann gegenläufig zur Erregung. Diese Phasenverschiebung ist ein eigenständiger Prüfungsgegenstand.

Vokabeln

→ Kartei

die DämpfungEnergieabgabe an die Umgebung; führt zur Amplitudenabnahme
die AbklingkonstanteGröße $\delta$ im Exponenten der Amplitudenabnahme
der aperiodische Grenzfallschnellste Rückkehr ohne Überschwingen
die ErregerfrequenzFrequenz der äußeren periodischen Kraft
die ResonanzkatastropheZerstörung durch unbegrenzt wachsende Amplitude

Amplitudenabnahme und Frequenz der gedämpften Schwingung

\hat y(t) = \hat y_0\,e^{-\delta t},\qquad \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}

$\hat y_0$ die Anfangsamplitude in m, $\delta$ die Abklingkonstante in 1/s, $\omega_0$ die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz. Für $\delta \geq \omega_0$ tritt keine Schwingung mehr auf.

Typische Fehler

Angenommen, das erzwungene System schwinge mit seiner Eigenfrequenz.
Behauptet, bei Resonanz wachse die Amplitude stets unbegrenzt; die Dämpfung begrenzt sie.
Abklingkonstante $\delta$ und Eigenkreisfrequenz $\omega_0$ verwechselt.
Den aperiodischen Grenzfall als „gar keine Bewegung" beschrieben; es ist die SCHNELLSTE Rückkehr ohne Überschwingen.
Die Phasenverschiebung bei Resonanz mit $0°$ statt $90°$ angegeben.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Stellen Sie die Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung $m\ddot y + b\dot y + Dy = F_0\cos(\omega_E t)$ auf und begründen Sie qualitativ, warum die stationäre Lösung dieselbe Frequenz wie die Erregung besitzt. Diskutieren Sie die Phasenverschiebung in den drei Bereichen $\omega_E \ll \omega_0$ , $\omega_E = \omega_0$ und $\omega_E \gg \omega_0$ .

Aktive Wiederholung

Erläutern Sie anhand einer Resonanzkurve, wie sich Lage und Höhe des Maximums ändern, wenn die Dämpfung erhöht wird. Begründen Sie, warum ein Stoßdämpfer nahe am aperiodischen Grenzfall ausgelegt wird, und nennen Sie je ein Beispiel für erwünschte und für gefährliche Resonanz.

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Quellen: LEIFIphysik — Gedämpfte und erzwungene Schwingungen (Joachim Herz Stiftung)

Drehbewegung und Drehimpulserhaltung#

~3 Min LesezeitVertiefungVoraussetzungMechanik

Translation und Rotation — die Analogietabelle

Abb. 6Jede Größe der geradlinigen Bewegung hat ein Gegenstück in der Drehbewegung. Wer die Analogie kennt, muss die zweite Formelhälfte nicht lernen.

Die Drehbewegung lässt sich vollständig parallel zur geradlinigen Bewegung aufbauen, und diese Analogie ist der schnellste Zugang: Der Winkel

\varphi

entspricht dem Weg, die Winkelgeschwindigkeit

\omega

der Geschwindigkeit, die Winkelbeschleunigung

\alpha

der Beschleunigung, das Trägheitsmoment

J

der Masse und das Drehmoment

M

der Kraft.

Das Drehmoment

M = F\cdot r\cdot\sin\beta

misst die Drehwirkung einer Kraft. Entscheidend ist der HEBELARM — der senkrechte Abstand der Wirkungslinie von der Drehachse. Eine Kraft, deren Wirkungslinie durch die Achse geht, erzeugt kein Drehmoment, gleichgültig wie groß sie ist.

Das Trägheitsmoment

J = \sum m_i r_i^2

hängt nicht nur von der Masse ab, sondern entscheidend von ihrer VERTEILUNG: Masse weit außen zählt quadratisch stärker. Deshalb hat ein Ring bei gleicher Masse ein größeres Trägheitsmoment als eine Vollscheibe, und deshalb rollt eine Vollkugel schneller eine schiefe Ebene hinab als ein Rohr.

Das Grundgesetz der Drehbewegung lautet

M = J\,\alpha

— die exakte Entsprechung zu

F = m\,a

. Ebenso entsprechen sich Rotationsenergie

\tfrac12 J\omega^2

und kinetische Energie

\tfrac12 m v^2

. Wer die Analogietabelle beherrscht, muss für die Rotation kaum Neues lernen.

Der Drehimpuls

L = J\,\omega

bleibt erhalten, solange kein äußeres Drehmoment wirkt. Die sichtbarste Folge ist der Pirouetteneffekt: Zieht eine Eiskunstläuferin die Arme an, sinkt ihr Trägheitsmoment, und weil

L

konstant bleiben muss, steigt

\omega

entsprechend. Dieselbe Erhaltung stabilisiert Kreisel, Fahrräder und die Erdachse.

Bemerkenswert und prüfungsrelevant: Beim Anziehen der Arme NIMMT die Rotationsenergie ZU, obwohl der Drehimpuls konstant bleibt — denn

E_{\text{rot}} = L^2/(2J)

wächst, wenn

J

sinkt. Die zusätzliche Energie stammt aus der Muskelarbeit, die gegen die Zentrifugalwirkung verrichtet wird. Wer das erklären kann, hat die Erhaltungssätze verstanden.

Vokabeln

→ Kartei

das DrehmomentDrehwirkung einer Kraft; $M = F\,r\sin\beta$
das TrägheitsmomentWiderstand gegen Drehbeschleunigung; hängt von der Massenverteilung ab
der DrehimpulsProdukt $L = J\,\omega$; ohne äußeres Drehmoment erhalten
der Hebelarmsenkrechter Abstand der Wirkungslinie von der Drehachse
die WinkelgeschwindigkeitÄnderungsrate des Drehwinkels; Einheit 1/s

Drehmoment, Trägheitsmoment und Grundgesetz der Drehbewegung

M = F\,r\,\sin\beta,\qquad J = \sum m_i\,r_i^2,\qquad M = J\,\alpha

$M$ das Drehmoment in N m, $r$ der Abstand zur Achse in m, $\beta$ der Winkel zwischen Kraft und Radius, $J$ das Trägheitsmoment in kg m², $\alpha$ die Winkelbeschleunigung in 1/s². Die exakte Entsprechung zu $F = m\,a$ .

Drehimpulserhaltung und Rotationsenergie

L = J\,\omega = \text{const.},\qquad E_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2}J\,\omega^2 = \dfrac{L^2}{2J}

$L$ der Drehimpuls in kg m²/s, erhalten ohne äußeres Drehmoment. Die rechte Form zeigt: Bei konstantem $L$ WÄCHST die Rotationsenergie, wenn $J$ sinkt — die Differenz stammt aus verrichteter Arbeit.

Typische Fehler

Das Trägheitsmoment mit der Masse gleichgesetzt und die Verteilung ignoriert.
Beim Drehmoment den Abstand zum Angriffspunkt statt den senkrechten Hebelarm verwendet.
Angenommen, beim Pirouetteneffekt bleibe die Rotationsenergie konstant. Erhalten ist der DREHIMPULS.
Drehimpuls $L = J\omega$ und Drehmoment $M = J\alpha$ verwechselt.
Drehimpulserhaltung angewandt, obwohl ein äußeres Drehmoment (z. B. Reibung in der Achse) wirkt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Vergleichen Sie mit dem Energiesatz für rollende Körper ( $E = \tfrac12 mv^2 + \tfrac12 J\omega^2$ und $v = \omega r$ ), welcher von Vollzylinder ( $J = \tfrac12 mr^2$ ), Hohlzylinder ( $J = mr^2$ ) und Vollkugel ( $J = \tfrac25 mr^2$ ) eine schiefe Ebene am schnellsten hinabrollt. Begründen Sie, warum das Ergebnis weder von Masse noch von Radius abhängt.

Aktive Wiederholung

Eine Eiskunstläuferin dreht sich mit $\omega_1 = 2{,}0\,\text{s}^{-1}$ und dem Trägheitsmoment $J_1 = 4{,}0\,\text{kg}\,\text{m}^2$ . Sie zieht die Arme an, wodurch $J_2 = 1{,}6\,\text{kg}\,\text{m}^2$ wird. Berechnen Sie die neue Winkelgeschwindigkeit sowie die Rotationsenergien vorher und nachher und erklären Sie die Energiedifferenz.

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Quellen: LEIFIphysik — Drehbewegung und Drehimpuls (Joachim Herz Stiftung)

Stand 05/2026Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

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Belege & Quellen

Quellen

Joachim Herz Stiftung

Siehe auch