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DE · Abitur

Kernphysik, Radioaktivität und Spezielle Relativitätstheorie

Im Kern steckt eine Energie, die millionenfach über der chemischen liegt — und ihre Freisetzung folgt einem Gesetz, das für den einzelnen Kern nichts und für viele Kerne alles vorhersagt. Der zweite Teil dieses Kapitels revidiert Zeit und Länge selbst. Beide Gebiete sind in den KMK-Bildungsstandards ausdrücklich als ERWEITERUNGEN benannt (zu 2.6.3 bzw. 2.6.1), nicht als eigene Inhaltsbereiche: Sie können geprüft werden, tragen die Prüfungsaufgabe aber nicht allein.

6 Abschnitte·~23 Min Lesezeit·4 Kompetenzen·Stand 05/2026

T·0999 / 10
Prüfungsprofil
S 2 · Gültigkeitsbereiche von Modellen und Theorien erläutern und deren Aussagemöglichkeiten beschreibenS 7 · Bekannte mathematische Verfahren auf physikalische Sachverhalte anwendenE 7 · Messunsicherheiten berücksichtigen und Konsequenzen für die Interpretation analysierenB 6 · Technologien und Sicherheitsmaßnahmen beurteilen und Risiken einschätzen
Operatoren:beschreibenberechnenerläuternbegründenbeurteilenauswerten

grundlegendes Niveau

gA: Kernaufbau und Nuklidschreibweise, die drei Zerfallsarten mit ihren Zerfallsgleichungen, das Zerfallsgesetz und die Halbwertszeit, Massendefekt und Bindungsenergie sowie eine sachliche Risikobewertung ionisierender Strahlung.

erhöhtes Niveau

eA: zusätzlich die quantitative Auswertung von Zerfallsreihen und Altersbestimmungen, die Bindungsenergiekurve als Begründung für Spaltung und Fusion sowie die relativistische Dynamik mit E=γmc2E = \gamma m c^2E=γmc2 und der Energie-Impuls-Beziehung.

Tiefe

Lesetiefe: Vertiefung

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Inhalt · 6 Abschnitte▾
  1. Kernphysik, Radioaktivität und Spezielle Relativitätstheorie
    • 01Atomkern, Nuklide und die starke Wechselwirkung○
    • 02Zerfallsarten, Zerfallsgleichungen und Strahlenwirkung◐
    • 03Zerfallsgesetz, Halbwertszeit und Aktivität◐
    • 04Massendefekt, Bindungsenergie, Spaltung und Fusion●
    • 05Die Postulate der SRT, Zeitdilatation und Längenkontraktion●
    • 06Masse-Energie-Äquivalenz und relativistische Dynamik●

6 Abschnitte · 30 Merksätze · 15 Formeln · 30 Fehlerwarnungen

§ 01
§ 01

Atomkern, Nuklide und die starke Wechselwirkung#

~3 Min Lesezeit●○○BasisLPErweiterung zu KMK 2.6.3LPKernphysik

Bindungsenergie pro Nukleon

Bindungsenergie pro NukleonSchaubild von E_B/A, Hochpunkt bei (57.047, 8.903), y-Achsenabschnitt bei y = 0.097, im Bereich x von 0 bis 240501001502002468Fe (A≈56)H, DU, PuEB/AEB/AA
Abb. 1Maximum bei Eisen (A ≈ 56); leichte Kerne fusionieren, schwere Kerne spalten Energie frei.

Kernpunkte

Der Kern besteht aus Protonen und Neutronen, zusammenfassend Nukleonen. Die Kernladungszahl ZZZ zählt die Protonen und legt damit das chemische Element fest; die Massenzahl AAA zählt alle Nukleonen. Geschrieben wird ein Nuklid als ZAX^{A}_{Z}\text{X}ZA​X — die Zahl der Neutronen ist N=A−ZN = A - ZN=A−Z und wird nicht eigens notiert.
Nuklide gleicher Protonen-, aber verschiedener Neutronenzahl heißen ISOTOPE. Sie sind chemisch praktisch ununterscheidbar, weil die Hülle identisch ist, unterscheiden sich aber in Masse und Kernstabilität — deshalb ist Kohlenstoff-14 radioaktiv und Kohlenstoff-12 nicht, obwohl beide reiner Kohlenstoff sind.
Der Kern ist winzig: sein Radius liegt bei etwa 10−15 m10^{-15}\,\text{m}10−15m, die Atomhülle bei 10−10 m10^{-10}\,\text{m}10−10m. Der Kern nimmt also nur rund ein Billionstel des Atomvolumens ein und trägt doch über 99,9 %99{,}9\,\%99,9% seiner Masse. Die daraus folgende Kerndichte von etwa 2⋅1017 kg/m32\cdot 10^{17}\,\text{kg/m}^32⋅1017kg/m3 ist die höchste in gewöhnlicher Materie vorkommende.
Dass der Kern überhaupt hält, ist erklärungsbedürftig: Die Protonen stoßen einander elektrisch heftig ab. Zusammengehalten wird er von der STARKEN Wechselwirkung — sie ist bei kleinen Abständen deutlich stärker als die Coulomb-Abstoßung, hat aber nur eine Reichweite von etwa 2⋅10−15 m2\cdot 10^{-15}\,\text{m}2⋅10−15m, also kaum mehr als einen Nukleondurchmesser.
Aus dieser kurzen Reichweite folgt unmittelbar die Struktur der Nuklidkarte. Ein Nukleon spürt nur seine unmittelbaren Nachbarn, die Coulomb-Abstoßung dagegen wirkt zwischen ALLEN Protonen und wächst daher schneller als die Bindung. Deshalb brauchen schwere Kerne einen Neutronenüberschuss, und deshalb gibt es oberhalb von Z=82Z = 82Z=82 (Blei) kein stabiles Nuklid mehr.
Die Nuklidkarte trägt die stabilen Kerne als schmales Band auf; Kerne mit zu vielen Neutronen zerfallen über β−\beta^-β−, solche mit zu wenigen über β+\beta^+β+, und sehr schwere über α\alphaα. Wer die Lage eines Nuklids relativ zum Stabilitätsband liest, kann seine Zerfallsart vorhersagen — genau das wird in Aufgaben verlangt.

Vokabeln

→ Kartei
  • das NukleonSammelbegriff für Proton und Neutron
  • das NuklidKernsorte, festgelegt durch $Z$ und $A$
  • das IsotopNuklid gleicher Protonen-, aber anderer Neutronenzahl
  • die starke Wechselwirkungkurzreichweitige Kernkraft, die den Kern zusammenhält
  • die NuklidkarteAuftragung aller Nuklide nach Protonen- und Neutronenzahl

Nuklidschreibweise und Kernradius

ZAX,N=A−Z,r=r0 A1/3^{A}_{Z}\text{X},\qquad N = A - Z,\qquad r = r_0\,A^{1/3}ZA​X,N=A−Z,r=r0​A1/3

AAA die Massenzahl (Nukleonenzahl), ZZZ die Kernladungszahl (Protonenzahl), NNN die Neutronenzahl, rrr der Kernradius in m mit r0≈1,2⋅10−15 mr_0 \approx 1{,}2\cdot 10^{-15}\,\text{m}r0​≈1,2⋅10−15m. Die dritte Wurzel bedeutet: das Volumen wächst proportional zu AAA, die Dichte bleibt konstant.

Der Start lädt die Simulation von PhET (University of Colorado).Bei PhET öffnen ↗
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Abiturfokus

  • Schreiben Sie Nuklide immer vollständig als ZAX^{A}_{Z}\text{X}ZA​X und geben Sie die Neutronenzahl als A−ZA - ZA−Z an; die Schreibweise selbst wird bepunktet.
  • „Begründen" Sie die Kernstabilität IMMER als Wettstreit zweier Kräfte: kurzreichweitige starke Wechselwirkung gegen langreichweitige Coulomb-Abstoßung.
  • „Erläutern" Sie den Neutronenüberschuss schwerer Kerne über die unterschiedliche Reichweite — nicht als bloße empirische Regel.
  • Leiten Sie aus der Lage eines Nuklids zum Stabilitätsband seine Zerfallsart her (Neutronenüberschuss ⇒ β−\beta^-β−, Protonenüberschuss ⇒ β+\beta^+β+).
  • „Beurteilen" Sie Größenordnungen: Kern 10−15 m10^{-15}\,\text{m}10−15m gegen Atom 10−10 m10^{-10}\,\text{m}10−10m — ein Faktor 10510^5105 in der Länge, 101510^{15}1015 im Volumen.

Typische Fehler

  • Massenzahl und Kernladungszahl vertauscht. AAA steht oben und zählt ALLE Nukleonen, ZZZ steht unten und zählt nur die Protonen.
  • Isotope als chemisch verschiedene Stoffe behandelt. Sie gehören zum selben Element und haben dieselbe Hülle.
  • Die starke Wechselwirkung als unendlich reichweitig angenommen. Ihre Reichweite endet nach etwa zwei Femtometern — daraus folgt die gesamte Struktur der Nuklidkarte.
  • Behauptet, der Kern werde durch die Gravitation zusammengehalten. Sie ist hier um rund 103610^{36}1036 zu schwach.
  • Die Neutronenzahl mit der Massenzahl gleichgesetzt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Schätzen Sie mit r=r0A1/3r = r_0 A^{1/3}r=r0​A1/3 und r0=1,2 fmr_0 = 1{,}2\,\text{fm}r0​=1,2fm den Radius von 238U^{238}\text{U}238U ab und berechnen Sie daraus die Kerndichte. Begründen Sie, warum diese Dichte für ALLE Kerne nahezu gleich ist, und was daraus für das Modell des Kerns als dicht gepackte Nukleonenkugel folgt.

§ 01

Aktive Wiederholung

Geben Sie für 92238U^{238}_{92}\text{U}92238​U und 614C^{14}_{6}\text{C}614​C jeweils Protonen- und Neutronenzahl an. Begründen Sie, warum schwere Kerne einen Neutronenüberschuss brauchen, und sagen Sie anhand der Lage im Stabilitätsband die Zerfallsart von 614C^{14}_{6}\text{C}614​C voraus.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema→

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Aufbau des Atomkerns (Joachim Herz Stiftung)

§ 02
§ 02

Zerfallsarten, Zerfallsgleichungen und Strahlenwirkung#

~4 Min Lesezeit●●○StandardLPErweiterung zu KMK 2.6.3LPKernphysik

Zerfallsreihe — Schematische Darstellung

Zerfallsreihe — Schematische DarstellungSchematische Darstellung mit 8 Elementen, N, Z, α, β⁻, α, α, U-238, Pb-206 stabilNZαβ⁻ααU-238Pb-206 stabil
Abb. 2Alpha-Zerfall reduziert Massen- und Ordnungszahl, Beta-minus-Zerfall erhöht Ordnungszahl um eins.

Kernpunkte

Instabile Kerne wandeln sich spontan um und senden dabei Strahlung aus. Drei Arten werden unterschieden, und ihre Namen stammen schlicht aus der Reihenfolge ihrer Entdeckung — physikalisch sind es drei völlig verschiedene Vorgänge, was in Aufgaben sauber getrennt werden muss.
Beim α\alphaα-Zerfall verlässt ein Helium-4-Kern den Mutterkern: AAA sinkt um 4, ZZZ um 2. Alphateilchen sind schwer und zweifach geladen, geben ihre Energie deshalb auf kürzester Strecke ab und werden bereits von einem Blatt Papier gestoppt. Genau diese hohe Ionisationsdichte macht sie bei INKORPORATION besonders gefährlich, während sie von außen kaum die Hautoberfläche durchdringen.
Beim β−\beta^-β−-Zerfall wandelt sich ein Neutron in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino: ZZZ steigt um 1, AAA bleibt gleich. Das Elektron stammt also NICHT aus der Hülle, sondern entsteht im Augenblick der Umwandlung — ein Punkt, der regelmäßig geprüft wird. Beim β+\beta^+β+-Zerfall läuft es umgekehrt, ein Proton wird zum Neutron und ein Positron entsteht.
Der γ\gammaγ-Zerfall ist kein Zerfall im eigentlichen Sinn: Weder AAA noch ZZZ ändern sich. Ein angeregter Kern gibt lediglich überschüssige Energie als hochenergetisches Photon ab — das genaue Gegenstück zur Lichtemission der Atomhülle, nur bei millionenfach höherer Energie. Gammastrahlung folgt deshalb fast immer auf einen α\alphaα- oder β\betaβ-Zerfall.
Bei jeder Zerfallsgleichung müssen Massenzahl UND Kernladungszahl auf beiden Seiten übereinstimmen; das ist Nukleonen- und Ladungserhaltung. Diese Bilanz ist der zuverlässigste Selbsttest: Stimmen die Summen nicht, ist die Gleichung falsch, gleichgültig wie plausibel sie aussieht.
Für die biologische Wirkung zählt nicht die Aktivität, sondern die absorbierte Energie je Masse — die Energiedosis in Gray. Weil α\alphaα-Strahlung bei gleicher Dosis erheblich mehr Schaden anrichtet als β\betaβ oder γ\gammaγ, wird sie mit einem Wichtungsfaktor multipliziert; das Ergebnis ist die Äquivalentdosis in Sievert. Wer Risiken beurteilen soll, muss diese beiden Größen unterscheiden.

Vokabeln

→ Kartei
  • der Alpha-ZerfallAbgabe eines Helium-4-Kerns; $A$ −4, $Z$ −2
  • der Beta-minus-ZerfallNeutron wird zu Proton, Elektron entsteht; $Z$ +1
  • die Energiedosisabsorbierte Energie je Masse; Einheit Gray
  • die Äquivalentdosiswichtete Dosis für die biologische Wirkung; Einheit Sievert
  • die InkorporationAufnahme radioaktiver Stoffe in den Körper

Alpha-Zerfall

ZAX→  Z−2A−4Y+24He^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow\; ^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + ^{4}_{2}\text{He}ZA​X→Z−2A−4​Y+24​He

Der Mutterkern gibt einen Helium-4-Kern ab; die Massenzahl sinkt um 4, die Kernladungszahl um 2.

Beta-minus-Zerfall

ZAX→  Z+1AY+e−+νˉe^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow\; ^{A}_{Z+1}\text{Y} + e^- + \bar\nu_eZA​X→Z+1A​Y+e−+νˉe​

Ein Neutron wandelt sich in ein Proton um; Elektron und Antineutrino entstehen dabei neu. Die Massenzahl bleibt gleich, die Kernladungszahl steigt um 1.

Energiedosis und Äquivalentdosis

H=wR⋅D,[D]=1 Gy=1 Jkg,[H]=1 SvH = w_R \cdot D,\qquad [D] = 1\,\text{Gy} = 1\,\dfrac{\text{J}}{\text{kg}},\qquad [H] = 1\,\text{Sv}H=wR​⋅D,[D]=1Gy=1kgJ​,[H]=1Sv

DDD die Energiedosis in Gray (absorbierte Energie je Masse), wRw_RwR​ der dimensionslose Strahlungswichtungsfaktor (111 für β\betaβ und γ\gammaγ, 202020 für α\alphaα), HHH die Äquivalentdosis in Sievert — sie beschreibt die biologische Wirkung.

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Abiturfokus

  • Prüfen Sie jede Zerfallsgleichung durch die getrennte Bilanz von AAA und ZZZ auf beiden Seiten — das ist der sicherste Selbsttest und wird ausdrücklich erwartet.
  • „Erläutern" Sie beim β−\beta^-β−-Zerfall ausdrücklich, dass das Elektron im Kern ENTSTEHT und nicht aus der Hülle stammt.
  • Ordnen Sie Durchdringungsvermögen und Ionisationsdichte gegenläufig zu: α\alphaα ionisiert stark, dringt kaum ein; γ\gammaγ dringt tief ein, ionisiert schwach.
  • „Beurteilen" Sie Strahlenrisiken über die ÄQUIVALENTdosis in Sievert, nicht über die Aktivität in Becquerel — die Aktivität allein sagt nichts über die Wirkung.
  • Begründen Sie, warum γ\gammaγ-Strahlung die Nuklidart nicht ändert: Es wird nur Anregungsenergie abgegeben.

Typische Fehler

  • Beim α\alphaα-Zerfall die Massenzahl um 2 statt um 4 verringert.
  • Behauptet, das β−\beta^-β−-Elektron komme aus der Atomhülle. Es entsteht bei der Umwandlung eines Neutrons.
  • Beim γ\gammaγ-Zerfall AAA oder ZZZ geändert. Beide bleiben unverändert.
  • Aktivität (Bq) und Dosis (Gy/Sv) gleichgesetzt. Die Aktivität zählt Zerfälle je Sekunde und sagt nichts über die absorbierte Energie.
  • Angenommen, α\alphaα-Strahlung sei generell ungefährlich, weil Papier sie stoppt. Bei Inkorporation ist sie gerade wegen ihrer hohen Ionisationsdichte besonders schädlich.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie, warum das Energiespektrum der β\betaβ-Strahlung KONTINUIERLICH ist, während α\alphaα- und γ\gammaγ-Strahlung diskrete Energien zeigen. Erläutern Sie, wie Pauli aus genau diesem Befund 1930 die Existenz des Neutrinos postulierte, um Energie- und Impulserhaltung zu retten.

§ 02

Aktive Wiederholung

Stellen Sie die Zerfallsgleichungen für den α\alphaα-Zerfall von 92238U^{238}_{92}\text{U}92238​U und den β−\beta^-β−-Zerfall von 614C^{14}_{6}\text{C}614​C auf und prüfen Sie beide durch die Bilanz von AAA und ZZZ. Erläutern Sie anschließend, warum ein α\alphaα-Strahler außerhalb des Körpers wenig, nach Inkorporation aber sehr gefährlich ist.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema→

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Radioaktivität und Zerfallsarten (Joachim Herz Stiftung) · Bundesamt für Strahlenschutz — Ionisierende Strahlung: Wirkung und Dosisgrößen (Bundesamt für Strahlenschutz)

§ 03
§ 03

Zerfallsgesetz, Halbwertszeit und Aktivität#

~4 Min Lesezeit●●○StandardLPErweiterung zu KMK 2.6.3LPKernphysik

Das Zerfallsgesetz und seine Größen

Das Zerfallsgesetz und seine GrößenTabelle mit 3 Spalten und 7 Zeilen, Daten: Größe · Beziehung · Bemerkung; Zerfallsgesetz · N(t) = N₀·e^(−λ·t) · λ ist die Zerfallskonstante; Halbwertszeit · T½ = ln2/λ · Nach T½ ist die Hälfte zerfallen — unabhängig vom Startwert; Aktivität · A = λ·N = −dN/dt · Einheit Becquerel (Zerfälle pro Sekunde); Nach n Halbwertszeiten · N = N₀·(½)ⁿ · Nach 10 T½ noch rund ein Tausendstel; Mittlere Lebensdauer · τ = 1/λ = T½/ln2 · Größer als die Halbwertszeit; Altersbestimmung · C-14: T½ = 5.730 a · Brauchbar bis etwa 50.000 Jahre; 🔴 Statistik · Einzelner Kern: Zeitpunkt unvorhersagbar · Das Gesetz gilt für große ZahlenGrößeBeziehungBemerkungZerfallsgesetzN(t) = N₀·e(−λ·t)λ ist die ZerfallskonstanteHalbwertszeitT½ = ln2/λNach T½ ist die Hälftezerfallen — unabhängig vomStartwertAktivitätA = λ·N = −dN/dtEinheit Becquerel (Zerfällepro Sekunde)Nach n HalbwertszeitenN = N₀·(½)ⁿNach 10 T½ noch rund einTausendstelMittlere Lebensdauerτ = 1/λ = T½/ln2Größer als die HalbwertszeitAltersbestimmungC-14: T½ = 5.730 aBrauchbar bis etwa 50.000Jahre🔴 StatistikEinzelner Kern: ZeitpunktunvorhersagbarDas Gesetz gilt für großeZahlen
Abb. 3Der Zerfall eines EINZELNEN Kerns ist nicht vorhersagbar; das Gesetz beschreibt eine große Zahl. Diese Unterscheidung wird regelmäßig geprüft.

Kernpunkte

Wann ein einzelner Kern zerfällt, ist prinzipiell nicht vorhersagbar — ein Kern „altert" nicht und trägt keine Information darüber, wie lange er schon existiert. Vorhersagbar ist dagegen die Statistik sehr vieler Kerne, und zwar mit hoher Präzision. Das ist das KMK-Basiskonzept „Zufall und Determiniertheit" in seiner reinsten Form.
Weil in jedem Zeitintervall ein FESTER ANTEIL der noch vorhandenen Kerne zerfällt, ist die Zerfallsrate proportional zur Anzahl: N˙=−λN\dot N = -\lambda NN˙=−λN. Diese Differentialgleichung führt zwingend auf den exponentiellen Verlauf N(t)=N0 e−λtN(t) = N_0\,e^{-\lambda t}N(t)=N0​e−λt mit der Zerfallskonstanten λ\lambdaλ.
Anschaulicher als λ\lambdaλ ist die Halbwertszeit T1/2=ln⁡2/λT_{1/2} = \ln 2/\lambdaT1/2​=ln2/λ — die Zeit, nach der die Hälfte übrig ist. Entscheidend und oft missverstanden: Diese Zeit ist ZUSTANDSUNABHÄNGIG. Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der Bestand erneut, sodass nach nnn Halbwertszeiten der Anteil (1/2)n(1/2)^n(1/2)n verbleibt und nie exakt null erreicht wird.
Die Aktivität A=λN\mathcal{A} = \lambda NA=λN zählt die Zerfälle je Sekunde; ihre Einheit ist das Becquerel, 1 Bq=1 Zerfall/s1\,\text{Bq} = 1\,\text{Zerfall/s}1Bq=1Zerfall/s. Sie folgt demselben Exponentialgesetz wie die Teilchenzahl, weil sie proportional zu NNN ist — deshalb darf man Messreihen der Aktivität unmittelbar wie Teilchenzahlen auswerten.
Für die Auswertung ist die LINEARISIERUNG der Schlüssel: Trägt man ln⁡N\ln NlnN gegen ttt auf, ergibt sich eine Gerade der Steigung −λ-\lambda−λ. Aus dieser Steigung folgt die Halbwertszeit unmittelbar, und die Güte der Geradenanpassung prüft zugleich, ob überhaupt ein reiner Exponentialzerfall vorliegt. Genau dieses Verfahren verlangt die Erkenntnisgewinnungskompetenz.
Anwendung findet das Gesetz in der Altersbestimmung. Die C-14-Methode nutzt, dass lebende Organismen ein festes Verhältnis von 14C^{14}\text{C}14C zu 12C^{12}\text{C}12C halten, das nach dem Tod mit T1/2=5730 aT_{1/2} = 5730\,\text{a}T1/2​=5730a abnimmt. Ihre Reichweite endet bei etwa zehn Halbwertszeiten, also rund 60 00060\,00060000 Jahren — danach ist zu wenig 14C^{14}\text{C}14C übrig, um es zuverlässig zu messen.

Vokabeln

→ Kartei
  • die HalbwertszeitZeit, nach der die Hälfte der Kerne zerfallen istunabhängig vom Anfangsbestand
  • die ZerfallskonstanteZerfallswahrscheinlichkeit je Zeit; $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$
  • die AktivitätZerfälle je Sekunde; Einheit Becquerel
  • die LinearisierungAuftragung von $\ln N$ gegen $t$ zur Geraden

Radioaktives Zerfallsgesetz und Halbwertszeit

N(t)=N0 e−λ t,T1/2=ln⁡2λN(t) = N_{0}\,e^{-\lambda\,t},\quad T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}N(t)=N0​e−λt,T1/2​=λln2​

Aktivität (Einheit: 1 Bq = 1 s⁻¹)

A(t)=λ N(t)=A0 e−λ tA(t) = \lambda\,N(t) = A_{0}\,e^{-\lambda\,t}A(t)=λN(t)=A0​e−λt

Halbwertszeit und Zweierpotenzform

T1/2=ln⁡2λ,NN0=(12)t/T1/2T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda},\qquad \dfrac{N}{N_0} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}T1/2​=λln2​,N0​N​=(21​)t/T1/2​

T1/2T_{1/2}T1/2​ die Halbwertszeit in s (oder a), λ\lambdaλ die Zerfallskonstante in 1/s (bzw. 1/a). Die rechte Form ist bei ganzzahligen Vielfachen der Halbwertszeit der schnellste Rechenweg.

Exponentieller Zerfall N(t) = N₀ e⁻λt

Abb. 4Halbwertszeit T₁/₂ = \ln 2 / λ. Nach drei Halbwertszeiten verbleiben 12,5\% der Ausgangskerne.
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Musterlösung

Restmenge nach drei Halbwertszeiten

Eine Probe enthält N0=8,0⋅1010N_0 = 8{,}0\cdot 10^{10}N0​=8,0⋅1010 Atome eines Isotops mit Halbwertszeit T1/2=5,0 aT_{1/2} = 5{,}0\,\text{a}T1/2​=5,0a. Berechne die Anzahl der Atome nach t=15 at = 15\,\text{a}t=15a und die Aktivität zu diesem Zeitpunkt.

  1. Schritt 1 — Zerfallskonstante

    λ=ln⁡2/T1/2=0,693/5,0 a=0,1386 a−1≈4,40⋅10−9 s−1\lambda = \ln 2 / T_{1/2} = 0{,}693/5{,}0\,\text{a} = 0{,}1386\,\text{a}^{-1} \approx 4{,}40\cdot 10^{-9}\,\text{s}^{-1}λ=ln2/T1/2​=0,693/5,0a=0,1386a−1≈4,40⋅10−9s−1.

    λ=ln⁡2T1/2\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}λ=T1/2​ln2​
  2. Schritt 2 — Restmenge

    Nach drei Halbwertszeiten: N(15 a)=N0⋅(1/2)3=N0/8=1,0⋅1010N(15\,\text{a}) = N_0 \cdot (1/2)^{3} = N_0/8 = 1{,}0\cdot 10^{10}N(15a)=N0​⋅(1/2)3=N0​/8=1,0⋅1010 Atome.

    N=N0 (1/2)t/T1/2N = N_0\,(1/2)^{t/T_{1/2}}N=N0​(1/2)t/T1/2​
  3. Schritt 3 — Aktivität

    A(15 a)=λN=4,40⋅10−9⋅1,0⋅1010≈44 BqA(15\,\text{a}) = \lambda N = 4{,}40\cdot 10^{-9} \cdot 1{,}0\cdot 10^{10} \approx 44\,\text{Bq}A(15a)=λN=4,40⋅10−9⋅1,0⋅1010≈44Bq.

  4. Schritt 4 — Interpretation

    Nach drei Halbwertszeiten (12,5%12{,}5\%12,5% übrig) ist auch die Aktivität auf ein Achtel des Anfangswertes gefallen — Aktivität folgt demselben exponentiellen Gesetz wie die Atomzahl.

Ergebnis: N≈1,0⋅1010N \approx 1{,}0\cdot 10^{10}N≈1,0⋅1010 Atome, A≈44 BqA \approx 44\,\text{Bq}A≈44Bq.

Abiturfokus

  • Rechnen Sie über die Halbwertszeit, wenn das Verhältnis eine Zweierpotenz ist (n=log⁡2(N0/N)n = \log_2(N_0/N)n=log2​(N0​/N)) — das ist schneller und weniger fehleranfällig als der Weg über λ\lambdaλ.
  • „Auswerten" Sie Messreihen durch LINEARISIERUNG: ln⁡N\ln NlnN gegen ttt ergibt eine Gerade mit Steigung −λ-\lambda−λ.
  • Halten Sie Aktivität (Bq) und Teilchenzahl auseinander — sie sind proportional, aber nicht dasselbe.
  • „Begründen" Sie die Zustandsunabhängigkeit der Halbwertszeit: Ein Kern altert nicht, die Zerfallswahrscheinlichkeit je Zeit ist konstant.
  • „Beurteilen" Sie die Grenzen der C-14-Methode über die Zahl der verstrichenen Halbwertszeiten, nicht über eine willkürliche Jahreszahl.

Typische Fehler

  • Angenommen, nach zwei Halbwertszeiten sei nichts mehr übrig. Es ist noch ein Viertel vorhanden.
  • Zerfallskonstante und Halbwertszeit gleichgesetzt. Es gilt λ=ln⁡2/T1/2\lambda = \ln 2/T_{1/2}λ=ln2/T1/2​, also λ≈0,693/T1/2\lambda \approx 0{,}693/T_{1/2}λ≈0,693/T1/2​.
  • Einheiten von λ\lambdaλ und ttt gemischt (z. B. λ\lambdaλ in 1/a1/\text{a}1/a und ttt in Sekunden).
  • Linear statt exponentiell interpoliert — etwa angenommen, nach der halben Halbwertszeit seien noch 75 %75\,\%75% da. Tatsächlich sind es rund 71 %71\,\%71%.
  • Die Aktivität als konstant behandelt. Sie fällt mit derselben Halbwertszeit wie die Teilchenzahl.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie N(t)=N0e−λtN(t) = N_0 e^{-\lambda t}N(t)=N0​e−λt durch Trennung der Variablen aus dN/dt=−λN\mathrm{d}N/\mathrm{d}t = -\lambda NdN/dt=−λN her und zeigen Sie daraus T1/2=ln⁡2/λT_{1/2} = \ln 2/\lambdaT1/2​=ln2/λ. Diskutieren Sie anschließend, wie sich eine Zerfallsreihe (Mutter → Tochter → stabil) verhält, wenn die Tochter eine erheblich kürzere Halbwertszeit hat als die Mutter (radioaktives Gleichgewicht).

§ 03

Aktive Wiederholung

Eine Holzprobe zeigt noch 25 %25\,\%25% der 14C^{14}\text{C}14C-Aktivität einer frischen Vergleichsprobe (T1/2=5730 aT_{1/2} = 5730\,\text{a}T1/2​=5730a). Bestimmen Sie das Alter der Probe auf zwei Wegen — über die Zahl der Halbwertszeiten und über die Zerfallskonstante — und beurteilen Sie, bis zu welchem Alter die Methode sinnvoll anwendbar bleibt.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema→

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Zerfallsgesetz und Halbwertszeit (Joachim Herz Stiftung)

§ 04
§ 04

Massendefekt, Bindungsenergie, Spaltung und Fusion#

~4 Min Lesezeit●●●VertiefungLPErweiterung zu KMK 2.6.3LPKernphysik

Bindungsenergie und der Massendefekt

Bindungsenergie und der MassendefektTabelle mit 3 Spalten und 7 Zeilen, Daten: Element · Beziehung bzw. Wert · Bedeutung; Massendefekt · Δm = Z·m_p + N·m_n − m_Kern · Der Kern ist LEICHTER als seine Bausteine; Bindungsenergie · E_B = Δm·c² · Die Energie, die beim Zusammenbau frei würde; Je Nukleon · E_B/A · Die entscheidende Vergleichsgröße; Maximum der Kurve · Eisen-56, ca. 8,8 MeV je Nukleon · Der stabilste Kern — beide Wege enden hier; Leichte Kerne · E_B/A steigt mit A · Deshalb liefert FUSION Energie; Schwere Kerne · E_B/A fällt mit A · Deshalb liefert SPALTUNG Energie; Atomare Masseneinheit · 1 u ≙ 931,5 MeV/c² · Der Umrechnungsfaktor der KernphysikElementBeziehung bzw. WertBedeutungMassendefektΔm = Z·mp + N·mn − mKernDer Kern ist LEICHTER alsseine BausteineBindungsenergieEB = Δm·c²Die Energie, die beimZusammenbau frei würdeJe NukleonEB/ADie entscheidendeVergleichsgrößeMaximum der KurveEisen-56, ca. 8,8 MeV jeNukleonDer stabilste Kern — beideWege enden hierLeichte KerneEB/A steigt mit ADeshalb liefert FUSIONEnergieSchwere KerneEB/A fällt mit ADeshalb liefert SPALTUNGEnergieAtomare Masseneinheit1 u ≙ 931,5 MeV/c²Der Umrechnungsfaktor derKernphysik
Abb. 5Die Kurve der Bindungsenergie je Nukleon erklärt in einem Bild, warum sowohl Fusion als auch Spaltung Energie liefern.

Kernpunkte

Ein Kern wiegt WENIGER als die Summe seiner freien Bausteine. Diese Differenz — der Massendefekt Δm\Delta mΔm — ist kein Messfehler, sondern die Bindungsenergie in anderer Gestalt: Nach E=Δm c2E = \Delta m\,c^2E=Δmc2 ist genau jene Energie beim Zusammenbau frei geworden und muss zum Zerlegen wieder aufgebracht werden.
Praktisch rechnet man mit der atomaren Masseneinheit und der Umrechnung 1 u  =^  931,5 MeV1\,\text{u} \;\widehat{=}\; 931{,}5\,\text{MeV}1u=931,5MeV. Für Helium-4 ergibt sich ein Massendefekt von rund 0,0304 u0{,}0304\,\text{u}0,0304u, also eine Bindungsenergie von etwa 28,3 MeV28{,}3\,\text{MeV}28,3MeV — verglichen mit den wenigen eV einer chemischen Bindung ist das ein Faktor von etwa einer Million.
Aussagekräftig für die Stabilität ist nicht die gesamte Bindungsenergie, sondern die Bindungsenergie JE NUKLEON. Sie steigt von den leichten Kernen steil an, erreicht bei Eisen-56 mit rund 8,8 MeV8{,}8\,\text{MeV}8,8MeV ihr Maximum und fällt zu den schweren Kernen wieder langsam ab. Eisen ist damit der stabilste Kern überhaupt.
Diese eine Kurve erklärt beide Wege zur Kernenergie. Alles, was sich auf das Maximum ZUBEWEGT, setzt Energie frei: schwere Kerne durch SPALTUNG, leichte durch FUSION. Wer die Kurve skizzieren und daran argumentieren kann, hat den Kern jeder Prüfungsaufgabe dieses Abschnitts.
Bei der Spaltung von Uran-235 durch ein langsames Neutron entstehen zwei mittelschwere Kerne, zwei bis drei Neutronen und rund 200 MeV200\,\text{MeV}200MeV je Spaltung. Die freigesetzten Neutronen können weitere Kerne spalten — die Kettenreaktion. Sie wird erst ab einer kritischen Masse selbsterhaltend und im Reaktor über Steuerstäbe geregelt, die Neutronen absorbieren.
Die Fusion leichter Kerne setzt je Nukleon noch mehr Energie frei und ist der Prozess der Sterne. Ihre technische Schwierigkeit liegt in der Coulomb-Barriere: Zwei positive Kerne müssen einander so nahe kommen, dass die starke Wechselwirkung greift — das verlangt Temperaturen von über 108 K10^8\,\text{K}108K und ein Einschlussproblem, das bis heute nicht wirtschaftlich gelöst ist.

Vokabeln

→ Kartei
  • der MassendefektDifferenz zwischen Nukleonenmasse und Kernmasse
  • die BindungsenergieEnergie zum vollständigen Zerlegen des Kerns
  • die KernspaltungZerfall eines schweren Kerns in mittelschwere Bruchstücke
  • die KernfusionVerschmelzung leichter KerneProzess der Sterne; erfordert Überwindung der Coulomb-Barriere
  • die kritische MasseMindestmenge für eine selbsterhaltende Kettenreaktion

Massendefekt und Kernbindungsenergie

Δm=Z mp+N mn−mKern,EB=Δm c2\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - m_{\text{Kern}},\quad E_B = \Delta m\,c^{2}Δm=Zmp​+Nmn​−mKern​,EB​=Δmc2

Massendefekt und Bindungsenergie

Δm=Z mp+N mn−mKern,EB=Δm c2,1 u  =^  931,5 MeV\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - m_{\text{Kern}},\qquad E_B = \Delta m\,c^2,\qquad 1\,\text{u} \;\widehat{=}\; 931{,}5\,\text{MeV}Δm=Zmp​+Nmn​−mKern​,EB​=Δmc2,1u=931,5MeV

Δm\Delta mΔm der Massendefekt in u, ZZZ/NNN Protonen- und Neutronenzahl, EBE_BEB​ die Bindungsenergie in MeV. Die Umrechnung 1 u  =^  931,5 MeV1\,\text{u} \;\widehat{=}\; 931{,}5\,\text{MeV}1u=931,5MeV ist eine Energie-Äquivalenz, keine Massengleichheit.

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Musterlösung

Bindungsenergie pro Nukleon von 2656Fe^{56}_{26}\text{Fe}2656​Fe

Berechne den Massendefekt, die gesamte Bindungsenergie und die Bindungsenergie pro Nukleon von 2656Fe^{56}_{26}\text{Fe}2656​Fe (Kernmasse mKern=55,9207 um_{\text{Kern}} = 55{,}9207\,\text{u}mKern​=55,9207u, mp=1,00728 um_p = 1{,}00728\,\text{u}mp​=1,00728u, mn=1,00867 um_n = 1{,}00867\,\text{u}mn​=1,00867u, 1 u=^931,5 MeV/c21\,\text{u} \hat{=} 931{,}5\,\text{MeV}/c^{2}1u=^931,5MeV/c2) und vergleiche mit 24He^{4}_{2}\text{He}24​He (EB/A≈7,07 MeVE_B/A \approx 7{,}07\,\text{MeV}EB​/A≈7,07MeV).

  1. Schritt 1 — Nukleonenzahlen

    2656Fe^{56}_{26}\text{Fe}2656​Fe besitzt Z=26Z = 26Z=26 Protonen und N=A−Z=56−26=30N = A - Z = 56 - 26 = 30N=A−Z=56−26=30 Neutronen.

  2. Schritt 2 — Summe der freien Nukleonenmassen

    Z mp+N mn=26⋅1,00728+30⋅1,00867=26,18928+30,26010=56,44938 uZ\,m_p + N\,m_n = 26\cdot 1{,}00728 + 30\cdot 1{,}00867 = 26{,}18928 + 30{,}26010 = 56{,}44938\,\text{u}Zmp​+Nmn​=26⋅1,00728+30⋅1,00867=26,18928+30,26010=56,44938u.

  3. Schritt 3 — Massendefekt

    Δm=(Z mp+N mn)−mKern=56,44938−55,9207=0,52868 u\Delta m = (Z\,m_p + N\,m_n) - m_{\text{Kern}} = 56{,}44938 - 55{,}9207 = 0{,}52868\,\text{u}Δm=(Zmp​+Nmn​)−mKern​=56,44938−55,9207=0,52868u.

    Δm=Z mp+N mn−mKern\Delta m = Z\,m_p + N\,m_n - m_{\text{Kern}}Δm=Zmp​+Nmn​−mKern​
  4. Schritt 4 — Bindungsenergie

    EB=Δm c2=0,52868⋅931,5 MeV≈492,5 MeVE_B = \Delta m\,c^{2} = 0{,}52868\cdot 931{,}5\,\text{MeV} \approx 492{,}5\,\text{MeV}EB​=Δmc2=0,52868⋅931,5MeV≈492,5MeV.

    EB=Δm c2E_B = \Delta m\,c^{2}EB​=Δmc2
  5. Schritt 5 — Bindungsenergie pro Nukleon

    EB/A=492,5 MeV/56≈8,79 MeV/NukleonE_B/A = 492{,}5\,\text{MeV}/56 \approx 8{,}79\,\text{MeV/Nukleon}EB​/A=492,5MeV/56≈8,79MeV/Nukleon.

  6. Schritt 6 — Interpretieren

    Mit ≈8,8 MeV/Nukleon\approx 8{,}8\,\text{MeV/Nukleon}≈8,8MeV/Nukleon liegt Eisen nahe am Maximum der EB/AE_B/AEB​/A-Kurve und ist deutlich stärker gebunden als 24He^{4}_{2}\text{He}24​He (7,07 MeV/Nukleon7{,}07\,\text{MeV/Nukleon}7,07MeV/Nukleon). Daher gewinnt man Energie sowohl durch Fusion leichterer als auch durch Spaltung schwererer Kerne hin zu Massenzahlen um A≈56A \approx 56A≈56.

Ergebnis: Δm≈0,529 u\Delta m \approx 0{,}529\,\text{u}Δm≈0,529u, EB≈492,5 MeVE_B \approx 492{,}5\,\text{MeV}EB​≈492,5MeV, EB/A≈8,8 MeV/NukleonE_B/A \approx 8{,}8\,\text{MeV/Nukleon}EB​/A≈8,8MeV/Nukleon — nahe dem Maximum der Bindungsenergiekurve.

Abiturfokus

  • Rechnen Sie Massendefekte konsequent über 1 u  =^  931,5 MeV1\,\text{u} \;\widehat{=}\; 931{,}5\,\text{MeV}1u=931,5MeV — das erspart den Umweg über Kilogramm und Joule.
  • Argumentieren Sie bei Spaltung und Fusion IMMER mit der Bindungsenergie JE NUKLEON und der Lage relativ zum Eisen-Maximum.
  • „Begründen" Sie die Energiefreisetzung als Zunahme der Bindungsenergie je Nukleon — nicht als „Masse verschwindet".
  • „Beurteilen" Sie die Kettenreaktion über kritische Masse und Neutronenbilanz; die Steuerstäbe absorbieren Neutronen, sie bremsen nicht die Kerne.
  • Erläutern Sie die Coulomb-Barriere als den Grund, warum Fusion hohe Temperaturen braucht, Spaltung dagegen nicht.

Typische Fehler

  • Angenommen, der Kern sei schwerer als die Summe seiner Bausteine. Er ist LEICHTER — das ist gerade der Massendefekt.
  • Mit der gesamten Bindungsenergie statt der Bindungsenergie je Nukleon argumentiert; Uran hat mehr Gesamtbindungsenergie als Eisen und ist dennoch weniger stabil.
  • Behauptet, bei Spaltung UND Fusion werde jeweils Masse „vernichtet". Masse wird in Energie überführt; die Gesamtenergie bleibt erhalten.
  • Die kritische Masse als Eigenschaft des einzelnen Kerns gedeutet. Sie ist eine Eigenschaft der Anordnung und Geometrie.
  • Die Umrechnung 1 u=931,5 MeV1\,\text{u} = 931{,}5\,\text{MeV}1u=931,5MeV als Massengleichung geschrieben; es ist eine Energie-Äquivalenz.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Schätzen Sie die je Spaltung von 235U^{235}\text{U}235U frei werdende Energie ab, indem Sie die Differenz der Bindungsenergien je Nukleon zwischen Uran (≈7,6 MeV\approx 7{,}6\,\text{MeV}≈7,6MeV) und den mittelschweren Spaltprodukten (≈8,5 MeV\approx 8{,}5\,\text{MeV}≈8,5MeV) mit der Nukleonenzahl multiplizieren, und vergleichen Sie mit dem Literaturwert von rund 200 MeV200\,\text{MeV}200MeV.

§ 04

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie den Massendefekt von 24He^{4}_{2}\text{He}24​He (m=4,002602 um = 4{,}002602\,\text{u}m=4,002602u) sowie seine Bindungsenergie insgesamt und je Nukleon. Ordnen Sie das Ergebnis in die Bindungsenergiekurve ein und begründen Sie damit, warum sowohl die Fusion von Wasserstoff als auch die Spaltung von Uran Energie freisetzt.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema→

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Massendefekt, Kernspaltung und Kernfusion (Joachim Herz Stiftung)

§ 05
§ 05

Die Postulate der SRT, Zeitdilatation und Längenkontraktion#

~4 Min Lesezeit●●●VertiefungLPErweiterung zu KMK 2.6.1LPRelativitätstheorie

Minkowski-Diagramm — Zeitdilatation

Minkowski-Diagramm — ZeitdilatationGeometrische Zeichnung, ct', x'xctv = cct'x'
Abb. 6Im bewegten Bezugssystem verlaufen Raum- und Zeitachsen schräg; gleiche Zeit-Striche werden gestreckt.

Kernpunkte

Einstein baut die Spezielle Relativitätstheorie 1905 auf genau zwei Aussagen. Erstens das Relativitätsprinzip: In allen gleichförmig gegeneinander bewegten Bezugssystemen gelten dieselben physikalischen Gesetze. Zweitens die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: ccc hat in JEDEM solchen System denselben Wert — unabhängig davon, wie sich Quelle oder Beobachter bewegen.
Das zweite Postulat widerspricht der Alltagserfahrung frontal. Wer einem Lichtstrahl mit halber Lichtgeschwindigkeit nachfliegt, misst ihn trotzdem mit vollem ccc — Geschwindigkeiten addieren sich nicht mehr einfach. Genau darin liegt der Bruch: Wenn ccc absolut ist, können Zeit und Länge es nicht mehr sein.
Daraus folgt die ZEITDILATATION: Eine relativ zum Beobachter bewegte Uhr geht langsamer, Δt=γ Δt0\Delta t = \gamma\,\Delta t_0Δt=γΔt0​ mit dem Lorentz-Faktor γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}γ=1/1−v2/c2​. Dabei ist Δt0\Delta t_0Δt0​ die EIGENZEIT, gemessen von einer Uhr, die an ihrem Ort ruht. Die saubere Zuordnung, welche Zeit die Eigenzeit ist, entscheidet in Aufgaben über richtig und falsch.
Spiegelbildlich dazu steht die LÄNGENKONTRAKTION: Ein bewegter Maßstab erscheint in Bewegungsrichtung verkürzt, ℓ=ℓ0/γ\ell = \ell_0/\gammaℓ=ℓ0​/γ, wobei ℓ0\ell_0ℓ0​ die im Ruhesystem gemessene Eigenlänge ist. Quer zur Bewegung ändert sich nichts. Merkhilfe: Zeit wird gedehnt (γ\gammaγ im Zähler), Länge gestaucht (γ\gammaγ im Nenner).
Beide Effekte sind SYMMETRISCH: Jeder der beiden Beobachter sieht die Uhr des anderen langsamer gehen. Das ist kein Widerspruch, weil auch die Gleichzeitigkeit relativ ist — zwei Ereignisse, die im einen System gleichzeitig sind, sind es im anderen nicht. Erst diese Einsicht löst die scheinbaren Paradoxa.
Der klassische experimentelle Beleg sind die Myonen der kosmischen Strahlung: Mit einer Eigenlebensdauer von rund 2,2 μs2{,}2\,\mu\text{s}2,2μs dürften sie selbst mit Lichtgeschwindigkeit nur etwa 660 m660\,\text{m}660m weit kommen und die Erdoberfläche nie erreichen. Sie tun es dennoch in großer Zahl — aus Erdsicht wegen der Zeitdilatation, aus Myonensicht wegen der Längenkontraktion der Atmosphäre. Beide Beschreibungen sind gleichwertig.

Vokabeln

→ Kartei
  • die EigenzeitZeit, gemessen von einer im Ereignisort ruhenden Uhr
  • die EigenlängeLänge, gemessen im Ruhesystem des Objekts
  • der Lorentz-Faktor$\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$; stets $\geq 1$
  • das InertialsystemBezugssystem ohne Beschleunigung
  • die Relativität der Gleichzeitigkeitgleichzeitige Ereignisse sind es nicht in jedem System

Lorentz-Faktor

γ=11−v2/c2\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}γ=1−v2/c2​1​

Zeitdilatation und Längenkontraktion

Δt=γ Δt0,L=L0γ\Delta t = \gamma\,\Delta t_{0},\quad L = \dfrac{L_{0}}{\gamma}Δt=γΔt0​,L=γL0​​

Längenkontraktion

ℓ=ℓ0γ=ℓ01−v2c2\ell = \dfrac{\ell_0}{\gamma} = \ell_0\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}ℓ=γℓ0​​=ℓ0​1−c2v2​​

ℓ0\ell_0ℓ0​ die Eigenlänge (im Ruhesystem des Objekts gemessen) in m, ℓ\ellℓ die vom bewegten Beobachter gemessene Länge in m. Nur längs der Bewegungsrichtung; quer dazu bleibt die Länge unverändert.

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Musterlösung

Myonenzerfall in der Atmosphäre

Myonen (T1/2=1,52 μsT_{1/2} = 1{,}52\,\mu\text{s}T1/2​=1,52μs) entstehen in h≈15 kmh \approx 15\,\text{km}h≈15km Höhe und bewegen sich mit v=0,994 cv = 0{,}994\,cv=0,994c. Bestimme, welcher Anteil der Myonen die Erdoberfläche erreicht, einmal klassisch und einmal mit relativistischer Zeitdilatation.

  1. Schritt 1 — Flugzeit im Erdsystem

    t=h/v=15 000/(0,994⋅3,00⋅108)≈5,03⋅10−5 s=50,3 μst = h/v = 15\,000/(0{,}994 \cdot 3{,}00\cdot 10^{8}) \approx 5{,}03\cdot 10^{-5}\,\text{s} = 50{,}3\,\mu\text{s}t=h/v=15000/(0,994⋅3,00⋅108)≈5,03⋅10−5s=50,3μs.

  2. Schritt 2 — Klassische Erwartung

    Halbwertszeiten während des Fluges: n=t/T1/2≈33n = t/T_{1/2} \approx 33n=t/T1/2​≈33. Restanteil (1/2)33≈10−10(1/2)^{33} \approx 10^{-10}(1/2)33≈10−10 — praktisch keine Myonen sollten ankommen.

  3. Schritt 3 — Lorentz-Faktor

    γ=1/1−0,9942≈9,14\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}994^{2}} \approx 9{,}14γ=1/1−0,9942​≈9,14.

    γ=(1−v2/c2)−1/2\gamma = (1 - v^{2}/c^{2})^{-1/2}γ=(1−v2/c2)−1/2
  4. Schritt 4 — Relativistisch verlängerte Halbwertszeit

    Im Erdsystem zerfällt das Myon mit T1/2∗=γT1/2≈13,9 μsT_{1/2}^{*} = \gamma T_{1/2} \approx 13{,}9\,\mu\text{s}T1/2∗​=γT1/2​≈13,9μs. Anzahl Halbwertszeiten während Flug: n=50,3/13,9≈3,6n = 50{,}3/13{,}9 \approx 3{,}6n=50,3/13,9≈3,6. Restanteil (1/2)3,6≈8,3%(1/2)^{3{,}6} \approx 8{,}3\%(1/2)3,6≈8,3%.

  5. Schritt 5 — Interpretation

    Klassisch wären Myonen unsichtbar; tatsächlich messbarer Anteil (etwa 8 Prozent) bestätigt die Zeitdilatation der Speziellen Relativitätstheorie quantitativ.

Ergebnis: Klassisch ∼10−10\sim 10^{-10}∼10−10, relativistisch ∼8%\sim 8\%∼8% — Bestätigung der SRT durch Myonenzerfall.

Abiturfokus

  • Benennen Sie in jeder Aufgabe ZUERST, welches System welche Größe misst: Eigenzeit und Eigenlänge werden IMMER im Ruhesystem des Objekts gemessen.
  • Kontrollieren Sie das Ergebnis qualitativ: Die bewegte Zeit ist stets GRÖSSER, die bewegte Länge stets KLEINER als die Eigengröße.
  • „Berechnen" Sie γ\gammaγ als Zwischenschritt und geben Sie ihn explizit an; er ist meist ein eigener Bewertungspunkt.
  • „Erläutern" Sie die Symmetrie der Effekte zusammen mit der Relativität der Gleichzeitigkeit — ohne sie wirkt sie widersprüchlich.
  • „Beurteilen" Sie, ab wann relativistisch gerechnet werden muss: Bei v=0,1 cv = 0{,}1\,cv=0,1c beträgt die Abweichung erst 0,5 %0{,}5\,\%0,5%.

Typische Fehler

  • Eigenzeit und gemessene Zeit vertauscht und dadurch mit 1/γ1/\gamma1/γ statt γ\gammaγ gerechnet.
  • Die Längenkontraktion auch quer zur Bewegungsrichtung angewandt. Sie tritt nur längs auf.
  • Angenommen, nur eine der beiden Uhren gehe „wirklich" langsamer. Die Situation ist symmetrisch.
  • γ\gammaγ mit 1−v2/c2\sqrt{1 - v^2/c^2}1−v2/c2​ verwechselt; das ist sein Kehrwert.
  • Bei kleinen Geschwindigkeiten relativistisch gerechnet und dabei Rundungsfehler für den Effekt gehalten.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Erläutern Sie den Myonen-Nachweis aus BEIDEN Bezugssystemen quantitativ (v≈0,998 cv \approx 0{,}998\,cv≈0,998c, γ≈15,8\gamma \approx 15{,}8γ≈15,8, Eigenlebensdauer 2,2 μs2{,}2\,\mu\text{s}2,2μs, Entstehungshöhe rund 10 km10\,\text{km}10km) und begründen Sie, warum beide Rechnungen dieselbe Nachweisrate liefern MÜSSEN, obwohl sie verschiedene Effekte bemühen.

§ 05

Aktive Wiederholung

Ein Raumschiff fliegt mit v=0,80 cv = 0{,}80\,cv=0,80c an der Erde vorbei. Berechnen Sie den Lorentz-Faktor. Bestimmen Sie, wie lange eine an Bord gemessene Stunde für einen Beobachter auf der Erde dauert, und auf welche Länge ein 100 m100\,\text{m}100m langes Raumschiff von der Erde aus gemessen erscheint.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Spezielle Relativitätstheorie (Joachim Herz Stiftung)

§ 06
§ 06

Masse-Energie-Äquivalenz und relativistische Dynamik#

~3 Min Lesezeit●●●VertiefungLPErweiterung zu KMK 2.6.1LPRelativitätstheorie

Relativistische Größen und ihre Grenzfälle

Relativistische Größen und ihre GrenzfälleTabelle mit 3 Spalten und 8 Zeilen, Daten: Größe · Relativistisch · Grenzfall v ≪ c; Lorentzfaktor · γ = 1/√(1 − v²/c²) · γ → 1; Zeitdilatation · Δt = γ·Δt₀ · Δt = Δt₀; Längenkontraktion · l = l₀/γ · l = l₀; Impuls · p = γ·m₀·v · p = m₀·v; Gesamtenergie · E = γ·m₀·c² · —; Ruheenergie · E₀ = m₀·c² · Hat kein klassisches Gegenstück; Kinetische Energie · E_kin = (γ − 1)·m₀·c² · E_kin = ½·m₀·v²; Energie-Impuls-Beziehung · E² = (p·c)² + (m₀·c²)² · Für Photonen (m₀ = 0): E = p·cGrößeRelativistischGrenzfall v ≪ cLorentzfaktorγ = 1/√(1 − v²/c²)γ → 1ZeitdilatationΔt = γ·Δt₀Δt = Δt₀Längenkontraktionl = l₀/γl = l₀Impulsp = γ·m₀·vp = m₀·vGesamtenergieE = γ·m₀·c²—RuheenergieE₀ = m₀·c²Hat kein klassischesGegenstückKinetische EnergieEkin = (γ − 1)·m₀·c²Ekin = ½·m₀·v²Energie-Impuls-BeziehungE² = (p·c)² + (m₀·c²)²Für Photonen (m₀ = 0): E = p·c
Abb. 7Jede relativistische Formel geht für v ≪ c in die klassische über. Diese Kontrolle sollte jede Rechnung abschließen.

Kernpunkte

Die berühmteste Gleichung der Physik, E0=m c2E_0 = m\,c^2E0​=mc2, sagt nicht, dass Masse in Energie „umgewandelt" werden könne, sondern etwas Stärkeres: Masse IST eine Form von Energie. Jeder ruhende Körper trägt allein wegen seiner Masse die Ruheenergie E0E_0E0​ — und wegen des großen Faktors c2c^2c2 ist sie enorm.
Bewegt sich der Körper, kommt die kinetische Energie hinzu, und die Gesamtenergie lautet E=γ m c2E = \gamma\,m\,c^2E=γmc2. Die kinetische Energie ist die Differenz, Ekin=(γ−1)mc2E_{\text{kin}} = (\gamma - 1)m c^2Ekin​=(γ−1)mc2. Für kleine Geschwindigkeiten geht dieser Ausdruck in das vertraute 12mv2\tfrac12 m v^221​mv2 über — die klassische Mechanik ist also der Grenzfall, nicht ein Widerspruch.
Weil γ\gammaγ bei v→cv \to cv→c über alle Grenzen wächst, wäre unendlich viel Energie nötig, um einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit zu bringen. Das ist der eigentliche Grund für die kosmische Geschwindigkeitsgrenze — nicht ein technisches Hindernis, sondern eine Aussage über Energie.
Der Zusammenhang zwischen Energie und Impuls lautet allgemein E2=(p c)2+(m c2)2E^2 = (p\,c)^2 + (m\,c^2)^2E2=(pc)2+(mc2)2. Für ein masseloses Photon reduziert er sich auf E=p cE = p\,cE=pc — genau die Beziehung, die im Compton-Effekt gebraucht wird. Dieselbe Gleichung deckt also Teilchen mit und ohne Masse ab.
In der Teilchenphysik wird die Ruheenergie zur praktischen Einheit: Das Elektron hat 0,511 MeV0{,}511\,\text{MeV}0,511MeV, das Proton 938 MeV938\,\text{MeV}938MeV. Ein auf 0,80 c0{,}80\,c0,80c beschleunigtes Elektron trägt mit γ=5/3\gamma = 5/3γ=5/3 dann 0,85 MeV0{,}85\,\text{MeV}0,85MeV Gesamtenergie, wovon 0,34 MeV0{,}34\,\text{MeV}0,34MeV kinetisch sind.
Die Masse-Energie-Äquivalenz verbindet die beiden Hälften dieses Kapitels: Der Massendefekt der Kerne ist nichts anderes als die als Bindungsenergie abgegebene Ruheenergie. Kernspaltung und Fusion sind damit keine exotischen Ausnahmen, sondern die sichtbarste Anwendung von E0=mc2E_0 = mc^2E0​=mc2 — und die Sonne ist ihr größtes Beispiel.

Vokabeln

→ Kartei
  • die RuheenergieEnergie $E_0 = mc^2$ eines ruhenden Körpers
  • die invariante Massein allen Inertialsystemen gleiche Masse
  • die Masse-Energie-ÄquivalenzMasse ist eine Form von Energie
  • der relativistische Impuls$p = \gamma m v$

Masse-Energie-Äquivalenz und Energie-Impuls-Relation

E=m c2,Erel2=(p c)2+(m0 c2)2E = m\,c^{2},\quad E_{\text{rel}}^{2} = (p\,c)^{2} + (m_{0}\,c^{2})^{2}E=mc2,Erel2​=(pc)2+(m0​c2)2

Relativistische Gesamt- und kinetische Energie

E=γ m c2,Ekin=(γ−1) m c2E = \gamma\,m\,c^2,\qquad E_{\text{kin}} = (\gamma - 1)\,m\,c^2E=γmc2,Ekin​=(γ−1)mc2

EEE die Gesamtenergie in J (oder MeV), mmm die invariante Masse in kg, γ\gammaγ der Lorentz-Faktor. Für v≪cv \ll cv≪c geht EkinE_{\text{kin}}Ekin​ in 12mv2\tfrac12 mv^221​mv2 über.

Energie-Impuls-Beziehung

E2=(p c)2+(m c2)2E^2 = (p\,c)^2 + (m\,c^2)^2E2=(pc)2+(mc2)2

ppp der relativistische Impuls in kg m/s. Für masselose Teilchen (m=0m = 0m=0) folgt E=pcE = pcE=pc — die im Compton-Effekt benutzte Beziehung.

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Abiturfokus

  • Unterscheiden Sie sauber zwischen Ruheenergie mc2mc^2mc2, kinetischer Energie (γ−1)mc2(\gamma-1)mc^2(γ−1)mc2 und Gesamtenergie γmc2\gamma mc^2γmc2 — die Verwechslung ist der häufigste Fehler.
  • Prüfen Sie den klassischen Grenzfall: Für v≪cv \ll cv≪c muss (γ−1)mc2(\gamma-1)mc^2(γ−1)mc2 in 12mv2\tfrac12 mv^221​mv2 übergehen.
  • „Begründen" Sie die Unerreichbarkeit von ccc energetisch über γ→∞\gamma \to \inftyγ→∞, nicht mit technischen Argumenten.
  • Verwenden Sie in der Teilchenphysik durchgehend eV/MeV; das erspart Umrechnungen und ist die übliche Darstellung.
  • „Erläutern" Sie den Zusammenhang zum Massendefekt — er ist die anschaulichste Anwendung der Äquivalenz.

Typische Fehler

  • E=mc2E = mc^2E=mc2 als kinetische Energie verwendet. Es ist die RUHEenergie.
  • Die klassische Formel 12mv2\tfrac12 mv^221​mv2 bei Geschwindigkeiten nahe ccc benutzt; sie unterschätzt die Energie dort drastisch.
  • Von einer „geschwindigkeitsabhängigen Masse" gesprochen. Modern gilt die Masse als invariant; geschwindigkeitsabhängig sind Energie und Impuls.
  • In E2=(pc)2+(mc2)2E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2E2=(pc)2+(mc2)2 die Quadrate vergessen und die Terme linear addiert.
  • Behauptet, bei der Kernspaltung „verschwinde" Masse. Sie erscheint als Energie der Produkte; die Gesamtenergie bleibt erhalten.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie durch Reihenentwicklung von γ=(1−v2/c2)−1/2\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}γ=(1−v2/c2)−1/2 bis zur zweiten Ordnung, dass (γ−1)mc2≈12mv2+38mv4/c2(\gamma - 1)mc^2 \approx \tfrac12 m v^2 + \tfrac38 m v^4/c^2(γ−1)mc2≈21​mv2+83​mv4/c2 gilt. Bestimmen Sie daraus, ab welcher Geschwindigkeit die klassische Näherung um mehr als ein Prozent abweicht.

§ 06

Aktive Wiederholung

Ein Elektron (mc2=0,511 MeVm c^2 = 0{,}511\,\text{MeV}mc2=0,511MeV) wird auf v=0,80 cv = 0{,}80\,cv=0,80c beschleunigt. Berechnen Sie den Lorentz-Faktor, die Gesamtenergie und die kinetische Energie. Vergleichen Sie die kinetische Energie mit dem klassischen Wert 12mv2\tfrac12 m v^221​mv2 und beurteilen Sie die Abweichung.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Masse-Energie-Äquivalenz (Joachim Herz Stiftung)

Stand 05/2026 · Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

Inhalt

Abschnitt -- / 06

    • 01Atomkern, Nuklide und die starke Wechselwirkung○
    • 02Zerfallsarten, Zerfallsgleichungen und Strahlenwirkung◐
    • 03Zerfallsgesetz, Halbwertszeit und Aktivität◐
    • 04Massendefekt, Bindungsenergie, Spaltung und Fusion●
    • 05Die Postulate der SRT, Zeitdilatation und Längenkontraktion●
    • 06Masse-Energie-Äquivalenz und relativistische Dynamik●

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Kernphysik, Radioaktivität und Spezielle Relativitätstheorie

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Belege & Quellen

Quellen

Joachim Herz Stiftung

  • LEIFIphysik — Aufbau des Atomkerns
  • LEIFIphysik — Radioaktivität und Zerfallsarten
  • LEIFIphysik — Zerfallsgesetz und Halbwertszeit
  • LEIFIphysik — Massendefekt, Kernspaltung und Kernfusion
  • LEIFIphysik — Spezielle Relativitätstheorie

Bundesamt für Strahlenschutz

  • Bundesamt für Strahlenschutz — Ionisierende Strahlung: Wirkung und Dosisgrößen

Siehe auch

  • Quanten- und AtomphysikDie Atomhülle und ihre Quantelung — die Voraussetzung, um den Kern als eigenes Quantensystem zu verstehen.
  • Elektrische und magnetische FelderAlpha-, Beta- und Gammastrahlung werden im Magnetfeld getrennt — genau die Lorentz-Rechnung von dort.
  • Mechanik 2 — Erhaltungssätze und mechanische SchwingungenImpuls- und Energieerhaltung, die auch im Kernzerfall unverändert gelten.

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