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Thermodynamik — Hauptsätze und Wärmekraftmaschinen

Die Thermodynamik beantwortet zwei verschiedene Fragen: Der erste Hauptsatz sagt, wie viel Energie bilanziert werden muss, der zweite, welche Vorgänge überhaupt von selbst ablaufen. Erst zusammen erklären sie, warum kein Kraftwerk Wärme vollständig in Arbeit verwandeln kann. In den KMK-Bildungsstandards ist die Thermodynamik kein eigener Inhaltsbereich, sondern ausdrücklich als Grundlage genannt, die etwa für den Schwerpunkt Klimaphysik gebraucht wird — eine länderspezifische ERWEITERUNG.

6 Abschnitte~21 Min Lesezeit4 KompetenzenStand 05/2026

T·101010 / 10

Prüfungsprofil

S 1 · Phänomene unter Nutzung bekannter physikalischer Modelle und Theorien erklärenS 6 · Bekannte Auswerteverfahren erklären und auf Messergebnisse anwendenE 10 · Theoretische Überlegungen und Modelle auf Alltagssituationen zurückbeziehenB 7 · Kurz- und langfristige, lokale und globale Folgen gesellschaftlicher Entscheidungen reflektieren

Operatoren:beschreibenberechnenerläuternbegründenbeurteilenauswerten

grundlegendes Niveau

gA: Temperatur und innere Energie unterscheiden, das ideale Gasgesetz anwenden, den ersten Hauptsatz auf einfache Zustandsänderungen anwenden, Wirkungsgrade berechnen und Wärmekraftmaschinen bewerten.

erhöhtes Niveau

eA: zusätzlich der Carnot-Kreisprozess im p-V-Diagramm mit der Arbeit als Flächeninhalt, die Entropie als Maß für die Zahl der Mikrozustände sowie die kinetische Gastheorie mit der Verknüpfung von mittlerer kinetischer Energie und Temperatur.

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Thermodynamik — Hauptsätze und Wärmekraftmaschinen

6 Abschnitte30 Merksätze10 Formeln30 Fehlerwarnungen

Temperatur, innere Energie und das ideale Gasgesetz#

~4 Min LesezeitBasisErweiterungThermodynamik

Temperatur, Wärme und innere Energie

Abb. 1Wärme ist ein PROZESS, innere Energie ein ZUSTAND. Ein Körper „enthält" keine Wärme — die Formulierung ist in der Klausur ein Fehler.

Temperatur und Wärme sind verschiedene Größen, und ihre Verwechslung ist der häufigste Fehler des ganzen Kapitels. Die TEMPERATUR ist ein Maß für die mittlere kinetische Energie der Teilchen — eine Zustandsgröße. WÄRME ist dagegen übertragene Energie, also eine Prozessgröße: Ein Körper „hat" keine Wärme, er hat innere Energie und kann Wärme aufnehmen oder abgeben.

Die Kelvin-Skala beginnt beim absoluten Nullpunkt, an dem die Teilchenbewegung minimal wird:

T[\text{K}] = \vartheta[°\text{C}] + 273{,}15

. Weil die Gasgesetze proportional zur ABSOLUTEN Temperatur formuliert sind, muss in ihnen immer in Kelvin gerechnet werden — mit Celsius liefern sie systematisch falsche Ergebnisse.

Die innere Energie

U

eines Gases ist die Summe aller Teilchenenergien. Beim einatomigen idealen Gas ist sie rein kinetisch und hängt AUSSCHLIESSLICH von der Temperatur ab,

U = \tfrac32 n R T

— nicht vom Volumen und nicht vom Druck. Diese Aussage trägt später den ganzen ersten Hauptsatz: Bleibt

T

konstant, bleibt auch

U

konstant.

Das ideale Gasgesetz

p\,V = n\,R\,T

fasst die Einzelgesetze von Boyle-Mariotte, Gay-Lussac und Amontons zusammen. Es gilt streng für ein Modellgas ohne Eigenvolumen und ohne Anziehung der Teilchen — für reale Gase also gut bei niedrigem Druck und Temperaturen deutlich über dem Siedepunkt. Die allgemeine Gaskonstante beträgt

R = 8{,}314\,\text{J}/(\text{mol}\,\text{K})

Ein nützlicher Bezugswert: Ein Mol eines idealen Gases nimmt bei

0\,°\text{C}

und

1013\,\text{hPa}

rund

22{,}4\,\text{L}

ein. Damit lassen sich Ergebnisse ohne Taschenrechner auf Plausibilität prüfen — ein Volumen von einigen Litern je Mol ist richtig, eines von Kubikmetern nicht.

Führt man einem Körper Wärme zu, ohne dass er den Aggregatzustand wechselt, steigt seine Temperatur gemäß

Q = c\,m\,\Delta T

mit der spezifischen Wärmekapazität

c

. Wasser hat mit

4{,}18\,\text{kJ}/(\text{kg}\,\text{K})

einen ungewöhnlich hohen Wert — der Grund dafür, dass Seen das Klima ihrer Umgebung dämpfen und dass Wasser das Kühlmittel der Wahl ist.

Vokabeln

→ Kartei

die innere EnergieSumme der Energien aller Teilchen; Zustandsgröße
die Wärmeübertragene thermische Energie; Prozessgröße
die Zustandsgrößehängt nur vom Zustand ab, nicht vom Weg dorthin
die spezifische WärmekapazitätWärme je Masse und Kelvin; Wasser 4,18 kJ/(kg K)
das ideale GasModellgas ohne Eigenvolumen und Anziehung

Zustandsgleichung idealer Gase

p\,V = n\,R\,T

$R = 8{,}314\,\text{J/(mol K)}$ , $T$ in Kelvin.

Wärmeenergie und spezifische Wärmekapazität

Q = m\,c\,\Delta T

Kelvin-Skala und innere Energie des idealen Gases

T[\text{K}] = \vartheta[°\text{C}] + 273{,}15,\qquad U = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T \;\text{(einatomig)}

$T$ die absolute Temperatur in K, $\vartheta$ die Celsius-Temperatur, $U$ die innere Energie in J, $n$ die Stoffmenge in mol, $R = 8{,}314\,\text{J}/(\text{mol}\,\text{K})$ . Beim idealen Gas hängt $U$ NUR von $T$ ab.

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Musterlösung

Mischtemperatur (Richmannsche Mischungsregel)

Berechnen Sie die Mischtemperatur, wenn $200\,\text{g}$ Wasser bei $80^\circ\text{C}$ mit $300\,\text{g}$ Wasser bei $20^\circ\text{C}$ gemischt werden (Wärmeverluste vernachlässigt).

Schritt 1 — Energieerhaltung
Heisses Wasser gibt Wärme ab, kaltes nimmt auf: $m_1 c (T_1 - T_M) = m_2 c (T_M - T_2)$ .
Schritt 2 — Auflösen
$T_M = (m_1 T_1 + m_2 T_2)/(m_1 + m_2)$ .
$T_M = \dfrac{m_1\,T_1 + m_2\,T_2}{m_1 + m_2}$
Schritt 3 — Einsetzen
$T_M = (0{,}200\cdot 80 + 0{,}300\cdot 20)/0{,}500 = (16 + 6)/0{,}500 = 44^\circ\text{C}$ .
Schritt 4 — Interpretieren
Mischtemperatur liegt zwischen beiden Ausgangstemperaturen — näher an der Temperatur der größeren Masse.

Ergebnis: Mischtemperatur $T_M = 44^\circ\text{C}$ .

Typische Fehler

Celsius statt Kelvin in $pV = nRT$ eingesetzt; bei Raumtemperatur verfälscht das das Ergebnis um etwa den Faktor 12.
Wärme und Temperatur gleichgesetzt: „Der Körper hat viel Wärme" statt „hohe Temperatur" bzw. „hohe innere Energie".
Angenommen, die innere Energie eines idealen Gases hänge auch vom Druck ab. Sie hängt nur von der Temperatur ab.
Bei Mischungsaufgaben die Wärmekapazitäten vertauscht oder mit gleicher Masse gerechnet, obwohl verschiedene Massen gegeben sind.
Das ideale Gasgesetz auf ein Gas nahe seinem Siedepunkt angewandt, ohne die Modellgrenzen zu nennen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie anhand der van-der-Waals-Korrekturen (Eigenvolumen der Teilchen und gegenseitige Anziehung), unter welchen Bedingungen ein reales Gas vom idealen abweicht, und erklären Sie, warum die Abweichungen bei hohem Druck und niedriger Temperatur am größten sind.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie das Volumen von $2{,}0\,\text{mol}$ eines idealen Gases bei $\vartheta = 25\,°\text{C}$ und $p = 1{,}0\cdot 10^5\,\text{Pa}$ . Bestimmen Sie anschließend die Mischungstemperatur, wenn $0{,}30\,\text{kg}$ Wasser von $80\,°\text{C}$ mit $0{,}20\,\text{kg}$ Wasser von $15\,°\text{C}$ gemischt werden, und prüfen Sie Ihr Ergebnis auf Plausibilität.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Wärmelehre: Temperatur, innere Energie und Gasgesetze (Joachim Herz Stiftung)

Der erste Hauptsatz und die Zustandsänderungen#

~3 Min LesezeitStandardErweiterungThermodynamik

p-V-Diagramm — Carnot-Kreisprozess

Abb. 2Zwei Isothermen und zwei Adiabaten bilden den idealen Kreisprozess; eingeschlossene Fläche ist verrichtete Arbeit.

Der erste Hauptsatz ist der Energieerhaltungssatz, erweitert um die Wärme:

\Delta U = Q + W

. Die innere Energie eines Systems ändert sich genau um das, was als Wärme zugeführt und als Arbeit verrichtet wird. Entscheidend ist die Vorzeichenkonvention — zugeführte Wärme und am System verrichtete Arbeit zählen positiv.

Damit ist ein Perpetuum mobile erster Art ausgeschlossen: Eine Maschine, die dauerhaft Arbeit leistet, ohne Energie aufzunehmen, würde

\Delta U < 0

ohne Grenze verlangen. Das ist keine technische Schwierigkeit, sondern eine Unmöglichkeit.

Vier Zustandsänderungen werden unterschieden, und jede vereinfacht den Hauptsatz auf ihre Weise. ISOCHOR (

V

konstant): Es wird keine Volumenarbeit verrichtet, also

\Delta U = Q

— die gesamte Wärme erhöht die innere Energie. ISOBAR (

p

konstant):

W = -p\,\Delta V

, ein Teil der Wärme wird als Ausdehnungsarbeit abgegeben.

ISOTHERM (

T

konstant): Weil

U

beim idealen Gas nur von

T

abhängt, ist

\Delta U = 0

und damit

Q = -W

— die zugeführte Wärme wird VOLLSTÄNDIG in Arbeit umgesetzt. Das scheint dem zweiten Hauptsatz zu widersprechen, tut es aber nicht: Der Vorgang ist nicht geschlossen, das Gas endet in einem anderen Zustand.

ADIABATISCH (

Q = 0

): Es wird keine Wärme ausgetauscht, also

\Delta U = W

. Eine adiabatische Kompression erwärmt das Gas allein durch die verrichtete Arbeit — das ist das Prinzip des Dieselmotors, der ohne Zündkerze auskommt, und der Grund, warum eine Fahrradpumpe heiß wird.

Im p-V-Diagramm hat all das eine unmittelbare geometrische Bedeutung: Die Volumenarbeit ist der FLÄCHENINHALT unter der Zustandskurve. Bei einem Kreisprozess ist die eingeschlossene Fläche die je Zyklus gewonnene Arbeit — im Uhrzeigersinn durchlaufen gibt die Maschine Arbeit ab, gegen den Uhrzeigersinn nimmt sie welche auf (Wärmepumpe).

Vokabeln

→ Kartei

der erste HauptsatzEnergieerhaltung einschließlich der Wärme: $\Delta U = Q + W$
isothermbei konstanter Temperaturideales Gas: $\Delta U = 0$
adiabatischohne Wärmeaustauschnicht zu verwechseln mit isotherm
isochorbei konstantem Volumen
die VolumenarbeitArbeit bei Ausdehnung oder Kompression; Fläche im p-V-Diagramm

1. Hauptsatz der Thermodynamik

dU = \delta Q + \delta W

Die vier Zustandsänderungen im Überblick

W = -p\,\Delta V \;\text{(isobar)},\qquad \Delta U = Q \;\text{(isochor)},\qquad \Delta U = 0 \;\text{(isotherm)},\qquad Q = 0 \;\text{(adiabatisch)}

$W$ die am System verrichtete Arbeit in J, $p$ der Druck in Pa, $\Delta V$ die Volumenänderung in m³, $Q$ die zugeführte Wärme in J, $\Delta U$ die Änderung der inneren Energie in J.

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Typische Fehler

Vorzeichen vertauscht und zugeführte Wärme negativ gezählt.
Bei der isothermen Änderung $Q = 0$ gesetzt. Isotherm heißt $\Delta U = 0$ ; adiabatisch heißt $Q = 0$ — das sind verschiedene Bedingungen.
Bei isochorer Änderung Volumenarbeit berechnet, obwohl $\Delta V = 0$ ist.
Die Fläche im p-V-Diagramm als Energie des Gases gedeutet statt als verrichtete ARBEIT.
Angenommen, adiabatisch bedeute „ohne Temperaturänderung". Es bedeutet ohne WÄRMEaustausch; die Temperatur ändert sich dabei gerade.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie für die isotherme Ausdehnung eines idealen Gases die Arbeit $W = -n R T\,\ln(V_2/V_1)$ durch Integration von $\mathrm{d}W = -p\,\mathrm{d}V$ mit $p = nRT/V$ her. Begründen Sie anschließend, warum die Adiabate im p-V-Diagramm STEILER verläuft als die Isotherme.

Aktive Wiederholung

Ein ideales Gas nimmt bei konstantem Druck $p = 1{,}0\cdot 10^5\,\text{Pa}$ die Wärme $Q = 500\,\text{J}$ auf und dehnt sich dabei um $\Delta V = 1{,}2\,\text{L}$ aus. Berechnen Sie die verrichtete Volumenarbeit und die Änderung der inneren Energie. Ordnen Sie den Vorgang einer Zustandsänderung zu und skizzieren Sie ihn im p-V-Diagramm.

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Quellen: LEIFIphysik — Erster Hauptsatz und Zustandsänderungen (Joachim Herz Stiftung)

Der zweite Hauptsatz und die Entropie#

~3 Min LesezeitVertiefungErweiterungThermodynamik

Der zweite Hauptsatz — vier Formulierungen

Abb. 3Alle vier Formulierungen sind äquivalent. Welche gebraucht wird, hängt von der Aufgabe ab — deshalb lohnt es sich, alle zu kennen.

Der erste Hauptsatz verbietet viele Vorgänge nicht, die dennoch nie geschehen. Eine Tasse Kaffee, die sich von selbst erwärmt, während der Raum abkühlt, verletzt die Energieerhaltung in keiner Weise — und trotzdem hat es niemand beobachtet. Der zweite Hauptsatz liefert das fehlende Kriterium: Er sagt, welche RICHTUNG ein Vorgang von selbst nimmt.

In der Formulierung von Clausius: Wärme geht von selbst nie von einem kälteren auf einen wärmeren Körper über. In der Formulierung von Kelvin und Planck: Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die Wärme vollständig in Arbeit verwandelt. Beide Aussagen sind äquivalent, und beide schließen ein Perpetuum mobile ZWEITER Art aus — eine Maschine, die Energie nicht erzeugt, aber vorhandene Wärme restlos nutzt.

Quantitativ fasst die Entropie

S

diese Richtung. Bei reversibler Wärmezufuhr gilt

\Delta S = Q_{\text{rev}}/T

; in einem abgeschlossenen System kann die Entropie niemals abnehmen,

\Delta S \geq 0

. Das Gleichheitszeichen gilt nur für den idealisierten reversiblen Grenzfall, den kein realer Vorgang erreicht.

Statistisch gedeutet ist Entropie ein Maß für die Zahl der MIKROZUSTÄNDE, die zu einem beobachtbaren Makrozustand gehören:

S = k_B \ln \Omega

. Ein geordneter Zustand ist unwahrscheinlich, weil er nur wenige Realisierungen hat. Der zweite Hauptsatz ist damit kein eigenes Naturgesetz neben den anderen, sondern eine Aussage über Wahrscheinlichkeiten — bei

10^{23}

Teilchen allerdings eine mit erdrückender Sicherheit.

Wichtig für Bewertungsaufgaben: Lokale Ordnung ist erlaubt. Ein Kühlschrank kühlt sein Inneres, ein Organismus baut geordnete Strukturen auf — beides senkt die Entropie LOKAL, erhöht sie aber in der Umgebung stärker. Die Bilanz über das gesamte abgeschlossene System bleibt positiv.

Aus dem zweiten Hauptsatz folgt unmittelbar, dass Energie zwar erhalten bleibt, aber ENTWERTET wird: Hochwertige Energie (Arbeit, elektrische Energie) lässt sich vollständig in Wärme verwandeln, umgekehrt nie. Genau deshalb ist „Energiesparen" physikalisch präziser als Sparen von Exergie, also von umwandlungsfähiger Energie.

Vokabeln

→ Kartei

die EntropieMaß für die Zahl der Mikrozustände; Einheit J/K
reversibelohne Entropiezunahme umkehrbaridealisierter Grenzfall
der Mikrozustandeine konkrete Realisierung eines Makrozustands
das Perpetuum mobile zweiter ArtMaschine, die Wärme vollständig in Arbeit wandeltdurch den zweiten Hauptsatz ausgeschlossen
die EnergieentwertungÜbergang zu weniger umwandlungsfähiger Energie

Entropie: thermodynamisch und statistisch

\Delta S = \dfrac{Q_{\text{rev}}}{T},\qquad \Delta S_{\text{gesamt}} \geq 0,\qquad S = k_B\,\ln\Omega

$\Delta S$ die Entropieänderung in J/K, $Q_{\text{rev}}$ die reversibel übertragene Wärme in J, $T$ die absolute Temperatur in K, $k_B = 1{,}381\cdot 10^{-23}\,\text{J/K}$ die Boltzmann-Konstante und $\Omega$ die Zahl der Mikrozustände.

Typische Fehler

Behauptet, Entropie könne nie abnehmen. Sie kann lokal abnehmen; nur im abgeschlossenen System als Ganzes nicht.
Den zweiten Hauptsatz als Aussage über Energieerhaltung gedeutet. Das leistet der erste; der zweite regelt die Richtung.
Entropie mit „Unordnung" im Alltagssinn gleichgesetzt, ohne die Mikrozustände zu nennen.
In $\Delta S = Q/T$ die Celsius-Temperatur eingesetzt.
Angenommen, ein Kühlschrank verletze den zweiten Hauptsatz. Er verrichtet Arbeit; ohne sie liefe der Vorgang nicht.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Berechnen Sie die Entropieänderung beim irreversiblen Wärmeübergang von $Q = 1{,}0\,\text{kJ}$ von einem Körper mit $400\,\text{K}$ auf einen mit $300\,\text{K}$ (beide so groß, dass ihre Temperaturen konstant bleiben), und zeigen Sie, dass die Gesamtentropie zunimmt. Begründen Sie, warum der umgekehrte Vorgang damit ausgeschlossen ist.

Aktive Wiederholung

Erläutern Sie mit dem zweiten Hauptsatz, warum ein Kühlschrank elektrische Energie benötigt, obwohl er Wärme nur von innen nach außen transportiert. Berechnen Sie außerdem die Entropieänderung, wenn $1{,}0\,\text{kJ}$ Wärme reversibel bei $300\,\text{K}$ zugeführt werden, und beurteilen Sie das Vorzeichen.

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Quellen: LEIFIphysik — Zweiter Hauptsatz und Entropie (Joachim Herz Stiftung)

Der Carnot-Kreisprozess und der maximale Wirkungsgrad#

~4 Min LesezeitVertiefungErweiterungThermodynamik

Der Carnot-Prozess

Abb. 4Der Carnot-Wirkungsgrad ist eine OBERGRENZE, kein erreichbarer Wert. Ein Ergebnis darüber ist immer ein Rechenfehler.

Carnot stellte 1824 die entscheidende Frage: Wie viel Arbeit lässt sich AUS EINER GEGEBENEN Wärmemenge höchstens gewinnen? Seine Antwort ist bemerkenswert, weil sie von der Bauart der Maschine und vom Arbeitsstoff vollständig unabhängig ist — sie hängt allein von zwei Temperaturen ab.

Der Carnot-Prozess besteht aus vier reversiblen Schritten: isotherme Ausdehnung bei der hohen Temperatur

T_1

(Wärmeaufnahme), adiabatische Ausdehnung (Abkühlung auf

T_2

), isotherme Kompression bei

T_2

(Wärmeabgabe) und adiabatische Kompression zurück zum Ausgangszustand. Im p-V-Diagramm ist die eingeschlossene Fläche die je Zyklus gewonnene Nutzarbeit.

Der Wirkungsgrad ergibt sich zu

\eta_C = 1 - T_2/T_1

— mit ABSOLUTEN Temperaturen. Er wird nur dann eins, wenn die kalte Seite den absoluten Nullpunkt erreicht, was unmöglich ist. Damit ist die Unmöglichkeit einer vollständigen Umwandlung von Wärme in Arbeit nicht mehr Postulat, sondern gerechnet.

Der entscheidende Satz für Prüfungsaufgaben lautet: KEINE zwischen denselben Temperaturen arbeitende Maschine kann einen höheren Wirkungsgrad haben als die Carnot-Maschine. Sie ist die obere Schranke. Wer in einer Aufgabe einen realen Wirkungsgrad oberhalb von

\eta_C

errechnet, hat sich verrechnet — das ist der wirksamste Selbsttest des Kapitels.

Ein modernes Kohlekraftwerk arbeitet etwa zwischen

550\,°\text{C}

und

30\,°\text{C}

, also

823\,\text{K}

und

303\,\text{K}

; daraus folgt

\eta_C \approx 63\,\%

. Real erreicht werden rund

45\,\%

. Die Lücke stammt aus Reibung, endlichen Temperaturdifferenzen beim Wärmeübergang und Abgasverlusten — alles irreversible Vorgänge.

Umgekehrt betrieben wird die Maschine zur Wärmepumpe oder Kältemaschine: Unter Aufwand von Arbeit transportiert sie Wärme von kalt nach warm. Ihre Leistungszahl

\varepsilon = T_1/(T_1 - T_2)

kann weit über eins liegen — kein Widerspruch zum Energiesatz, denn der Hauptteil der abgegebenen Wärme wird der Umgebung ENTZOGEN und nicht erzeugt.

Vokabeln

→ Kartei

der KreisprozessFolge von Zustandsänderungen zurück zum Ausgangszustand
der Carnot-Wirkungsgradobere Schranke $1 - T_2/T_1$ für alle Wärmekraftmaschinen
die LeistungszahlVerhältnis von Nutzwärme zu aufgewendeter Arbeit bei der Wärmepumpe
irreversibelnicht ohne Entropiezunahme umkehrbar

Carnot-Wirkungsgrad

\eta_C = 1 - \dfrac{T_k}{T_h}

Carnot-Wirkungsgrad und Leistungszahl der Wärmepumpe

\eta_C = 1 - \dfrac{T_2}{T_1},\qquad \varepsilon_{\text{WP}} = \dfrac{T_1}{T_1 - T_2}

$T_1$ die absolute Temperatur der warmen, $T_2$ die der kalten Seite in K. $\eta_C$ ist die obere Schranke JEDER zwischen diesen Temperaturen arbeitenden Maschine; $\varepsilon_{\text{WP}}$ die Leistungszahl beim umgekehrten Betrieb.

Carnot-Wirkungsgrad \eta_C = 1 - T_k/T_h

Abb. 5Mit T_k = 300 K. Maximale Effizienz steigt mit größerem T_h, bleibt aber immer kleiner als 1.

Musterlösung

Carnot-Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen $T_h = 800\,\text{K}$ und $T_k = 300\,\text{K}$ . Berechnen Sie maximalen Wirkungsgrad und mechanische Arbeit bei einer Wärmezufuhr von $Q_h = 1500\,\text{kJ}$ .

Schritt 1 — Carnot-Wirkungsgrad
$\eta_C = 1 - T_k/T_h = 1 - 300/800 = 1 - 0{,}375 = 0{,}625$ .
Schritt 2 — Mechanische Arbeit
$W = \eta_C\,Q_h = 0{,}625\cdot 1500\,\text{kJ} = 937{,}5\,\text{kJ}$ .
Schritt 3 — Abwärme
$Q_k = Q_h - W = 1500 - 937{,}5 = 562{,}5\,\text{kJ}$ .
Schritt 4 — Interpretieren
Reale Kraftwerke erreichen $\eta \approx 0{,}35\text{–}0{,}45$ ; Carnot-Wert ist obere Schranke. Bessere Wirkungsgrade nur durch höheres $T_h$ — Materialgrenzen limitieren das.

Ergebnis: $\eta_C = 62{,}5\%$ , mechanische Arbeit $W = 937{,}5\,\text{kJ}$ , Abwärme $Q_k = 562{,}5\,\text{kJ}$ .

Typische Fehler

Celsius-Temperaturen in $\eta_C = 1 - T_2/T_1$ eingesetzt.
$T_1$ und $T_2$ vertauscht und einen Wirkungsgrad über eins erhalten.
Angenommen, ein besserer Arbeitsstoff könne $\eta_C$ übertreffen. Er hängt nur von den Temperaturen ab.
Die Leistungszahl der Wärmepumpe als Wirkungsgrad gedeutet und für unmöglich gehalten, weil sie über eins liegt.
Die Reihenfolge der vier Schritte vertauscht, insbesondere isotherme und adiabatische Ausdehnung.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie mit der isothermen Arbeit $W = nRT\ln(V_2/V_1)$ für beide Isothermen und der Adiabatengleichung $T V^{\kappa-1} = \text{const.}$ , dass sich die Volumenverhältnisse herauskürzen und $\eta_C = 1 - T_2/T_1$ folgt. Begründen Sie damit die Unabhängigkeit vom Arbeitsstoff.

Aktive Wiederholung

Ein Kraftwerk arbeitet zwischen $\vartheta_1 = 550\,°\text{C}$ und $\vartheta_2 = 30\,°\text{C}$ . Berechnen Sie den Carnot-Wirkungsgrad und vergleichen Sie ihn mit dem realen Wert von etwa $45\,\%$ . Beurteilen Sie, welche Maßnahmen den realen Wirkungsgrad erhöhen könnten und wo die prinzipielle Grenze liegt.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Carnot-Prozess und Wirkungsgrad (Joachim Herz Stiftung)

Reale Wärmekraftmaschinen und Energiewandlung#

~3 Min LesezeitStandardErweiterungThermodynamik

Wärmekraftmaschinen und Wärmepumpen

Abb. 6Dieselbe Maschine rückwärts betrieben ist eine Wärmepumpe. Die Leistungszahl kann größer als 1 sein — der Wirkungsgrad nie.

Jede reale Wärmekraftmaschine folgt demselben Schema: Sie nimmt bei hoher Temperatur die Wärme

Q_1

auf, gibt bei niedriger Temperatur

Q_2

ab und leistet dazwischen die Arbeit

W = Q_1 - Q_2

. Der Wirkungsgrad ist

\eta = W/Q_1 = 1 - Q_2/Q_1

. Die Abwärme

Q_2

ist dabei nicht Nachlässigkeit der Konstrukteure, sondern nach dem zweiten Hauptsatz unvermeidbar.

Der Ottomotor arbeitet mit Fremdzündung und erreicht real etwa

25

bis

35\,\%

. Der Dieselmotor verdichtet stärker und zündet dadurch von selbst — die höhere Verdichtung bedeutet eine höhere Prozesstemperatur und damit nach Carnot einen höheren möglichen Wirkungsgrad, real etwa

35

bis

45\,\%

Dampfkraftwerke erreichen als Einzelprozess rund

45\,\%

. Erheblich besser sind Gas-und-Dampf-Kombikraftwerke mit etwa

60\,\%

: Die heißen Abgase der Gasturbine treiben nachgeschaltet einen Dampfprozess an. Das ist die praktische Umsetzung der Carnot-Einsicht — die Temperaturspanne wird in zwei Stufen ausgenutzt statt in einer.

Kraft-Wärme-Kopplung geht einen anderen Weg: Statt den Wirkungsgrad der Stromerzeugung zu steigern, wird die unvermeidbare Abwärme als Nutzwärme zum Heizen verwendet. Der Brennstoffnutzungsgrad steigt so auf über

80\,\%

— allerdings ist das keine Erhöhung von

\eta

im thermodynamischen Sinn, sondern eine zweite Nutzung. Diese Unterscheidung wird in Bewertungsaufgaben erwartet.

Die Wärmepumpe kehrt den Prozess um und ist beim Heizen jeder direkten Verbrennung überlegen: Mit einer Leistungszahl von 3 bis 5 liefert sie das Drei- bis Fünffache der eingesetzten elektrischen Energie als Wärme, weil sie den größten Teil der Umgebung entnimmt. Ihre Leistungszahl fällt, je größer die Temperaturdifferenz ist — deshalb arbeiten Erdwärmepumpen im Winter besser als Luftwärmepumpen.

Für die Bewertung von Energietechnik ist die Unterscheidung zwischen Wirkungsgrad und ENERGIEQUALITÄT entscheidend: Ein Heizlüfter wandelt elektrische Energie mit fast

100\,\%

in Wärme um und ist trotzdem die schlechteste Heizung, weil er hochwertige Energie in niederwertige verwandelt. Der Wirkungsgrad allein ist also kein hinreichendes Bewertungskriterium.

Vokabeln

→ Kartei

die Wärmekraftmaschinewandelt Wärme teilweise in Arbeit um
die Abwärmebei niedriger Temperatur abgegebene Wärmenach dem zweiten Hauptsatz unvermeidbar
die Kraft-Wärme-Kopplunggleichzeitige Nutzung von Strom und Abwärme
der Brennstoffnutzungsgradgesamter genutzter Anteil der Brennstoffenergie
die EnergiequalitätGrad der Umwandelbarkeit einer Energieform

Wirkungsgrad der realen Maschine und die Carnot-Schranke

\eta = \dfrac{W}{Q_1} = 1 - \dfrac{Q_2}{Q_1} \;\leq\; \eta_C = 1 - \dfrac{T_2}{T_1}

$W$ die Nutzarbeit je Zyklus in J, $Q_1$ die aufgenommene und $Q_2$ die abgegebene Wärme in J. Der reale Wirkungsgrad ist stets kleiner als der Carnot-Wert derselben Temperaturen.

Typische Fehler

Die Abwärme als vermeidbaren Konstruktionsfehler dargestellt. Sie ist nach dem zweiten Hauptsatz notwendig.
Wirkungsgrade über dem Carnot-Wert derselben Temperaturen angegeben.
Die Leistungszahl der Wärmepumpe als Wirkungsgrad bezeichnet und als Verstoß gegen den Energiesatz gedeutet.
Den Brennstoffnutzungsgrad der Kraft-Wärme-Kopplung als thermodynamischen Wirkungsgrad ausgegeben.
Elektrische Direktheizung als effizient bewertet, weil ihr Wirkungsgrad nahe eins liegt — die Energiequalität fehlt in dieser Bewertung.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Vergleichen Sie quantitativ das Heizen mit einer Wärmepumpe (Leistungszahl 4, Strom aus einem Kraftwerk mit $\eta = 40\,\%$ ) und das direkte Verbrennen von Erdgas mit $\eta = 90\,\%$ . Bewerten Sie beide über den PRIMÄRENERGIE-Einsatz und begründen Sie, welches Verfahren günstiger abschneidet.

Aktive Wiederholung

Eine Wärmekraftmaschine nimmt je Zyklus $Q_1 = 2{,}0\,\text{kJ}$ auf und gibt $Q_2 = 1{,}3\,\text{kJ}$ ab. Berechnen Sie Nutzarbeit und Wirkungsgrad. Beurteilen Sie das Ergebnis, wenn die Maschine zwischen $600\,\text{K}$ und $300\,\text{K}$ arbeitet, und begründen Sie, ob die Angaben physikalisch möglich sind.

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Wärmekraftmaschinen (Joachim Herz Stiftung) · Umweltbundesamt — Kraft-Wärme-Kopplung und Wirkungsgrade der Stromerzeugung (Umweltbundesamt)

Kinetische Gastheorie und die statistische Deutung der Temperatur#

~3 Min LesezeitVertiefungErweiterungThermodynamik

Kinetische Gastheorie

Abb. 7Die Theorie leitet die Zustandsgleichung aus der Mechanik der Teilchen her. Ihre fünf Annahmen sind zugleich ihre Gültigkeitsgrenzen.

Die kinetische Gastheorie erklärt die makroskopischen Größen Druck und Temperatur allein aus der Bewegung der Teilchen. Ihr Modell ist bewusst schlicht: punktförmige Teilchen ohne Eigenvolumen, keine Kräfte zwischen ihnen, vollkommen elastische Stöße mit den Wänden und untereinander, völlig regellose Bewegung.

DRUCK entsteht als Impulsübertrag: Jedes an die Wand stoßende Teilchen kehrt seine Geschwindigkeitskomponente um und überträgt dabei den Impuls

2m v_x

. Über sehr viele Stöße gemittelt ergibt das eine zeitlich konstante Kraft je Fläche. Die Herleitung führt auf die Grundgleichung

p\,V = \tfrac13 N m \overline{v^2}

Der Vergleich mit dem idealen Gasgesetz liefert das zentrale Ergebnis:

\tfrac12 m \overline{v^2} = \tfrac32 k_B T

. Die absolute TEMPERATUR ist damit nichts anderes als ein Maß für die mittlere kinetische Energie eines Teilchens — der Temperaturbegriff verliert seinen phänomenologischen Charakter und wird auf Mechanik zurückgeführt.

Daraus folgt sofort, warum der absolute Nullpunkt eine Grenze ist: Bei

T = 0

wäre die mittlere kinetische Energie null, und kleiner als null kann sie nicht werden. Ebenso folgt, dass leichtere Teilchen bei gleicher Temperatur SCHNELLER sind — Wasserstoff diffundiert deshalb rascher als Sauerstoff, und leichte Gase entweichen der Erdatmosphäre leichter.

Die Teilchengeschwindigkeiten sind nicht alle gleich, sondern folgen der Maxwell-Boltzmann-VERTEILUNG. Sie ist unsymmetrisch, hat ein Maximum bei der häufigsten Geschwindigkeit und läuft nach rechts flach aus. Mit steigender Temperatur wird sie flacher und breiter, und ihr Maximum verschiebt sich zu höheren Werten — die Fläche darunter bleibt konstant, denn sie ist die Teilchenzahl.

Gerade der flache rechte Ausläufer hat große Bedeutung: Er enthält die wenigen sehr schnellen Teilchen, die für Verdunstung, chemische Reaktionen und das Entweichen aus der Atmosphäre verantwortlich sind. Weil er mit der Temperatur stark anwächst, laufen Reaktionen bei höherer Temperatur überproportional schneller ab.

Vokabeln

→ Kartei

die kinetische GastheorieErklärung von Druck und Temperatur aus der Teilchenbewegung
die Maxwell-Boltzmann-VerteilungVerteilung der Teilchengeschwindigkeiten im Gas
die Boltzmann-Konstante$k_B = 1{,}381\cdot 10^{-23}$ J/K; $R = N_A k_B$
der ImpulsübertragImpulsänderung je Wandstoß; Ursache des Drucks
die mittlere quadratische GeschwindigkeitWurzel aus $\overline{v^2}$

Grundgleichung der kinetischen Gastheorie und die statistische Temperatur

p\,V = \tfrac{1}{3}\,N\,m\,\overline{v^2},\qquad \tfrac{1}{2}\,m\,\overline{v^2} = \tfrac{3}{2}\,k_B\,T

$N$ die Teilchenzahl, $m$ die Masse eines Teilchens in kg, $\overline{v^2}$ das mittlere Geschwindigkeitsquadrat in m²/s², $k_B = 1{,}381\cdot 10^{-23}\,\text{J/K}$ die Boltzmann-Konstante mit $R = N_A k_B$ .

Typische Fehler

Angenommen, alle Teilchen hätten bei gegebener Temperatur dieselbe Geschwindigkeit. Sie sind maxwellverteilt.
Die mittlere kinetische Energie mit der GESAMTEN inneren Energie verwechselt; letztere ist die Summe über alle Teilchen.
In $\tfrac12 m\overline{v^2} = \tfrac32 k_B T$ Celsius eingesetzt.
Die Boltzmann-Konstante $k_B$ mit der allgemeinen Gaskonstante $R$ verwechselt; es gilt $R = N_A k_B$ .
Behauptet, bei höherer Temperatur werde die Verteilung nur nach rechts verschoben. Sie wird zugleich flacher und breiter.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie $p V = \tfrac13 N m \overline{v^2}$ her, indem Sie den Impulsübertrag $2 m v_x$ je Wandstoß, die Stoßrate in einem Quader und die Isotropie $\overline{v_x^2} = \tfrac13\overline{v^2}$ verwenden. Vergleichen Sie das Ergebnis mit $pV = N k_B T$ und lesen Sie daraus die statistische Deutung der Temperatur ab.

Aktive Wiederholung

Berechnen Sie die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens bei $T = 300\,\text{K}$ sowie die mittlere quadratische Geschwindigkeit von Stickstoffmolekülen ( $m = 4{,}65\cdot 10^{-26}\,\text{kg}$ ). Begründen Sie, warum Wasserstoffmoleküle bei derselben Temperatur deutlich schneller sind, und beurteilen Sie die Folge für die Zusammensetzung der Erdatmosphäre.

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Quellen: LEIFIphysik — Kinetische Gastheorie (Joachim Herz Stiftung)

Stand 05/2026Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

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Belege & Quellen

Quellen

Joachim Herz Stiftung

Umweltbundesamt

Umweltbundesamt — Kraft-Wärme-Kopplung und Wirkungsgrade der Stromerzeugung

Siehe auch