Elektromagnetische Induktion und Wechselstrom — Physik · Abitur-Zusammenfassung

Induktionsgesetz und Lenzsche Regel#

~5 Min LesezeitBasisKMK 2.6.1Veränderliche Felder

Lenzsche Regel — Induktion

Abb. 1Ein zunehmender Außenfluss induziert einen Strom, dessen Magnetfeld dem ursprünglichen entgegengerichtet ist.

Ein ruhender Leiter in einem konstanten Magnetfeld bleibt spannungslos. Ändert sich dagegen der magnetische Fluss durch die vom Leiter umschlossene Fläche, entsteht eine Spannung — und zwar völlig gleichgültig, WODURCH die Änderung zustande kommt. Das ist die eigentliche Aussage der Induktion und der Grund, warum ein einziges Gesetz Generator, Transformator und Wirbelstrombremse zugleich beschreibt.

Der magnetische Fluss

\Phi = B\,A\,\cos\alpha

misst, wie viel Feld die Fläche wirklich durchsetzt;

\alpha

ist der Winkel zwischen Flächennormale und Feldrichtung. Die Einheit ist das Weber,

1\,\text{Wb} = 1\,\text{T}\,\text{m}^2

. Drei Größen können sich ändern —

B

,

A

und

\alpha

—, und jede von ihnen erzeugt für sich allein eine Induktionsspannung. Beim Generator ist es der Winkel, beim Transformator die Flussdichte, beim herausgezogenen Leiterrahmen die Fläche.

Quantitativ gilt das Faradaysche Induktionsgesetz

U_{\text{ind}} = -N\,\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t

. Die Windungszahl

N

geht linear ein, weil jede Windung dieselbe Flussänderung erfährt und die Spannungen sich in Reihe addieren. Entscheidend ist die ÄNDERUNGSRATE, nicht der Momentanwert des Flusses: Ein sehr starkes, aber konstantes Feld induziert exakt nichts.

Das Minuszeichen ist die Lenzsche Regel in mathematischer Form: Der induzierte Strom ist stets so gerichtet, dass er seiner Ursache entgegenwirkt. Nimmt der Fluss zu, baut der induzierte Strom ein Gegenfeld auf; nimmt er ab, stützt er das Feld. Physikalisch ist das nichts anderes als der Energieerhaltungssatz — wäre das Vorzeichen umgekehrt, würde sich jede Störung selbst verstärken und man hätte ein Perpetuum mobile.

Aus der Lenzschen Regel folgt unmittelbar die mechanische Konsequenz: Wer eine Spule in ein Magnetfeld schiebt, muss Arbeit gegen die Bremswirkung des induzierten Stroms leisten. Genau diese Arbeit erscheint als elektrische Energie. Die Wirbelstrombremse eines ICE ist die technische Umsetzung — berührungsfrei, verschleißfrei, und ihre Bremskraft verschwindet im Stillstand, weil dann nichts mehr sich ändert.

Bewegt sich ein Leiterstab der Länge

\ell

mit der Geschwindigkeit

v

senkrecht durch ein Feld

B

, folgt aus der Flächenänderung die besonders einfache Form

U_{\text{ind}} = B\,\ell\,v

. Dieselbe Spannung lässt sich auch aus der Lorentz-Kraft auf die Leitungselektronen herleiten — beide Wege führen zum selben Ergebnis, was die innere Stimmigkeit der Theorie zeigt und in Aufgaben gern als Herleitung verlangt wird.

Vokabeln

→ Kartei

der magnetische FlussProdukt aus Flussdichte und durchsetzter Fläche; Einheit Weber
die InduktionEntstehen einer Spannung durch Änderung des magnetischen Flusses
die Lenzsche Regelder induzierte Strom wirkt seiner Ursache entgegenAusdruck der Energieerhaltung — begründet das Minuszeichen
die FlächennormaleSenkrechte auf der Fläche, Bezugsrichtung für den Winkel $\alpha$
der Wirbelstromin ausgedehnten Leitern induzierter RingstromGrundlage der berührungsfreien Wirbelstrombremse

Faradaysches Induktionsgesetz

U_{\text{ind}} = -\dfrac{d\Phi}{dt},\quad \Phi = B\,A\,\cos\alpha

Vorzeichen ist Lenz: der induzierte Strom erzeugt einen Fluss, der der Änderung entgegengerichtet ist.

Magnetischer Fluss durch eine Fläche

\Phi = B\,A\,\cos\alpha

$\Phi$ in Wb, $B$ die Flussdichte in T, $A$ die umschlossene Fläche in m², $\alpha$ der Winkel zwischen Flächennormale und Feldrichtung. Bei senkrechter Durchsetzung ist $\alpha = 0$ und $\cos\alpha = 1$ .

Bewegungsinduktion am geraden Leiterstab

U_{\text{ind}} = B\,\ell\,v

$\ell$ die wirksame Leiterlänge in m, $v$ die Geschwindigkeit senkrecht zu $\vec B$ in m/s. Gilt für Bewegung senkrecht zu Feld und Leiter.

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Musterlösung

Induktionsspannung bei abnehmender Flussdichte

Eine Spule mit $N = 250$ Windungen und der Querschnittsfläche $A = 40\,\text{cm}^2$ steht senkrecht in einem Magnetfeld. Die Flussdichte sinkt gleichmäßig von $B_1 = 0{,}80\,\text{T}$ auf $B_2 = 0{,}20\,\text{T}$ innerhalb von $\Delta t = 0{,}15\,\text{s}$ . Berechnen Sie die Induktionsspannung und geben Sie die Richtung des induzierten Stroms an.

Fluss und seine Änderung erfassen
Bei senkrechter Durchsetzung ist $\Phi = B\,A$ . Da nur $B$ sich ändert, gilt $\Delta\Phi = A\,\Delta B$ mit $\Delta B = 0{,}20 - 0{,}80 = -0{,}60\,\text{T}$ .
$U_{\text{ind}} = -N\,\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -N\,A\,\dfrac{\Delta B}{\Delta t}$
Änderungsrate bestimmen
$\Delta B/\Delta t = -0{,}60\,\text{T} / 0{,}15\,\text{s} = -4{,}0\,\text{T/s}$ .
Spannung auswerten
Mit $A = 40\,\text{cm}^2 = 4{,}0\cdot 10^{-3}\,\text{m}^2$ : $U_{\text{ind}} = -250\cdot 4{,}0\cdot 10^{-3}\cdot(-4{,}0) = +4{,}0\,\text{V}$ . Der Betrag ist $4{,}0\,\text{V}$ ; die Spannung bleibt während des gesamten Vorgangs konstant, weil $B$ GLEICHMÄSSIG sinkt.
Richtung nach Lenz begründen
Der Fluss NIMMT AB, also wirkt der induzierte Strom der Abnahme entgegen: Er fließt so, dass sein eigenes Magnetfeld im Spuleninneren GLEICHSINNIG zum abnehmenden Feld gerichtet ist und den Fluss zu erhalten sucht. Blickt man in Feldrichtung auf die Spule, fließt der Strom im Uhrzeigersinn.

Ergebnis: Induktionsspannung $|U_{\text{ind}}| = 4{,}0\,\text{V}$ , während der gesamten $0{,}15\,\text{s}$ konstant; der induzierte Strom stützt nach der Lenzschen Regel das abnehmende Feld.

Abiturfokus

„Begründen" Sie die Stromrichtung IMMER über die Lenzsche Regel in zwei Schritten: erst feststellen, ob der Fluss zu- oder abnimmt, dann die Richtung des Gegen- bzw. Stützfeldes bestimmen. Ein bloßes „nach der Lenzschen Regel" ohne diese beiden Schritte erhält keine Punkte.
Prüfen Sie bei jeder Induktionsaufgabe zuerst, WELCHE der drei Größen $B$ , $A$ oder $\alpha$ sich ändert — daraus folgt die passende Form des Induktionsgesetzes.
„Herleiten" Sie $U_{\text{ind}} = B\,\ell\,v$ wahlweise über die Flächenänderung oder über die Lorentz-Kraft auf die Ladungsträger; die Aufgabe nennt oft ausdrücklich den gewünschten Weg.
„Erläutern" Sie das Minuszeichen energetisch: Ohne es wäre der Energieerhaltungssatz verletzt. Diese Begründung wird häufiger geprüft als jede Rechnung dieses Abschnitts.
Bei gleichmäßiger Flussänderung ist die Induktionsspannung KONSTANT — sagen Sie das ausdrücklich, wenn ein $U(t)$ -Diagramm zu skizzieren ist.

Typische Fehler

Angenommen, ein starkes Magnetfeld erzeuge für sich schon eine Induktionsspannung. Induziert wird nur bei ÄNDERUNG des Flusses; im konstanten Feld ist $U_{\text{ind}} = 0$ .
Die Windungszahl $N$ vergessen. Sie multipliziert die Spannung — bei $N = 250$ ist der Fehler ein Faktor 250, nicht ein Rundungsfehler.
Im Fluss $\Phi = B\,A\,\cos\alpha$ den Winkel zur Fläche statt zur Flächennormalen eingesetzt und damit $\sin$ und $\cos$ vertauscht.
Die Lenzsche Regel als „der Strom fließt entgegengesetzt" gedeutet. Entgegengesetzt ist die WIRKUNG des induzierten Feldes zur Flussänderung — nicht der Strom zu irgendetwas.
Das Vorzeichen als bloße Formsache abgetan. In Aufgaben zur Richtung des Stroms ist es der bewertete Kern.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Formulieren Sie das Induktionsgesetz in differenzieller Form $U_{\text{ind}} = -N\,\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$ und wenden Sie es auf eine im homogenen Feld mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ rotierende Spule an. Zeigen Sie, dass aus $\Phi(t) = B\,A\cos(\omega t)$ die sinusförmige Spannung $U(t) = N\,B\,A\,\omega\sin(\omega t)$ folgt — das ist die Herleitung des Wechselstromgenerators.

Aktive Wiederholung

Eine Spule mit $N = 250$ Windungen und $A = 40\,\text{cm}^2$ steht senkrecht in einem Magnetfeld, dessen Flussdichte in $0{,}15\,\text{s}$ gleichmäßig von $0{,}80\,\text{T}$ auf $0{,}20\,\text{T}$ sinkt. Berechnen Sie die Induktionsspannung, skizzieren Sie den Verlauf $U(t)$ und begründen Sie die Richtung des induzierten Stroms.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Elektromagnetische Induktion (Joachim Herz Stiftung) · Bildungsstandards im Fach Physik für die Allgemeine Hochschulreife (2020), Kap. 2.6.1 (Kultusministerkonferenz)

Selbstinduktion, Induktivität und die Energie im Magnetfeld#

~4 Min LesezeitStandardKMK 2.6.1Veränderliche Felder

Selbstinduktion — Ein- und Ausschaltvorgang

Abb. 2Die Spule wirkt der ÄNDERUNG entgegen, nicht dem Strom. Deshalb sind Ein- und Ausschaltvorgang spiegelbildlich.

Eine Spule erzeugt beim Stromfluss ihr eigenes Magnetfeld — und wenn dieser Strom sich ändert, ändert sich auch der Fluss durch die Spule selbst. Sie induziert also eine Spannung in sich. Diese Selbstinduktion ist kein Sonderfall, sondern das Induktionsgesetz auf die Quelle der Änderung selbst angewandt, und sie macht die Spule zum trägen Bauteil der Elektrotechnik.

Die Proportionalitätskonstante zwischen Stromänderungsrate und induzierter Spannung heißt Induktivität

L

mit der Einheit Henry,

1\,\text{H} = 1\,\text{V}\,\text{s}/\text{A}

. Sie ist — wie die Kapazität beim Kondensator — eine reine BAUTEILEIGENSCHAFT: Für eine lange Zylinderspule gilt

L = \mu_0\mu_r N^2 A/\ell

. Bemerkenswert ist das QUADRAT der Windungszahl: Doppelte Windungszahl vervierfacht die Induktivität, weil sowohl der erzeugte Fluss als auch die Zahl der durchsetzten Windungen wachsen.

Nach der Lenzschen Regel wirkt die Selbstinduktionsspannung jeder Stromänderung entgegen. Beim EINSCHALTEN bremst sie den Stromanstieg — der Strom steigt exponentiell mit der Zeitkonstante

\tau = L/R

an, nicht sprunghaft. Beim AUSSCHALTEN versucht sie, den Strom aufrechtzuerhalten, und erzeugt dabei einen oft vielfach überhöhten Spannungsstoß.

Dieser Abschaltstoß ist technisch hochrelevant und in Aufgaben beliebt: Weil die Stromänderungsrate beim Öffnen eines Schalters sehr groß wird, kann

|U_{\text{ind}}| = L\,|\mathrm{d}i/\mathrm{d}t|

die Betriebsspannung um Größenordnungen übersteigen und einen Funken am Schalterkontakt zünden. Zum Schutz von Halbleitern legt man deshalb eine Freilaufdiode parallel zur Spule.

Die Energie einer stromdurchflossenen Spule beträgt

E_L = \tfrac{1}{2}L\,I^2

und steckt im MAGNETFELD. Die Analogie zum Kondensator ist vollständig und lohnt das Nebeneinanderstellen:

\tfrac12 CU^2

gegen

\tfrac12 LI^2

, Spannung gegen Strom, elektrisches gegen magnetisches Feld. Diese Entsprechung trägt den gesamten nächsten Abschnitt.

Auch der Faktor

\tfrac12

hat denselben Ursprung wie beim Kondensator: Der Strom wird beim Aufbau des Feldes erst allmählich aufgebaut, sodass im Mittel nur die halbe Endstromstärke gegen die Selbstinduktionsspannung anläuft.

Vokabeln

→ Kartei

die SelbstinduktionInduktion einer Spannung in der Spule durch ihre eigene Stromänderung
die InduktivitätBauteilgröße $L$; Einheit Henrywächst mit dem QUADRAT der Windungszahl
die FreilaufdiodeSchutzbauteil parallel zur Spule gegen den Abschaltstoß
die Permeabilitätszahldimensionsloser Faktor $\mu_r$ des Kernmaterials

Selbstinduktionsspannung

U_{\text{ind}} = -L\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}

$L$ die Induktivität in H, $\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ die Stromänderungsrate in A/s. Das Minuszeichen ist die Lenzsche Regel: die Spannung wirkt der Änderung entgegen.

Induktivität einer langen Zylinderspule

L = \mu_0\,\mu_r\,\dfrac{N^2\,A}{\ell}

$\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\,\text{V}\,\text{s}/(\text{A}\,\text{m})$ , $\mu_r$ die dimensionslose Permeabilitätszahl des Kerns, $N$ die Windungszahl, $A$ der Querschnitt in m², $\ell$ die Spulenlänge in m.

Im Magnetfeld der Spule gespeicherte Energie

E_L = \tfrac{1}{2}\,L\,I^2

$E_L$ in J, $I$ die stationäre Stromstärke in A. Das Gegenstück zu $E_C = \tfrac12 CU^2$ beim Kondensator.

Musterlösung

Selbstinduktionsspannung und Energieinhalt einer Spule

Durch eine Spule der Induktivität $L = 0{,}25\,\text{H}$ fließt ein Strom von $2{,}0\,\text{A}$ . Beim Öffnen des Schalters sinkt der Strom in $\Delta t = 5{,}0\,\text{ms}$ gleichmäßig auf null. Berechnen Sie die Selbstinduktionsspannung und die zuvor im Magnetfeld gespeicherte Energie.

Selbstinduktion ansetzen
Jede Stromänderung ändert den eigenen Fluss der Spule und induziert damit eine Spannung in ihr selbst.
$U_{\text{ind}} = -L\,\dfrac{\Delta i}{\Delta t}$
Stromänderungsrate
$\Delta i/\Delta t = -2{,}0\,\text{A} / 5{,}0\cdot 10^{-3}\,\text{s} = -400\,\text{A/s}$ .
Spannung auswerten
$|U_{\text{ind}}| = 0{,}25\cdot 400 = 100\,\text{V}$ — das FÜNFZIGFACHE einer 2-V-Betriebsspannung. Genau dieser Spannungsstoß erzeugt den Funken am öffnenden Schalter und zerstört ungeschützte Halbleiter; deshalb liegt in solchen Schaltungen eine Freilaufdiode parallel zur Spule.
Gespeicherte Energie
$E_L = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}25\cdot (2{,}0)^2 = 0{,}50\,\text{J}$ — diese Energie steckt im Magnetfeld und wird beim Abschalten frei.
$E_L = \tfrac{1}{2}\,L\,I^2$

Ergebnis: Selbstinduktionsspannung $|U_{\text{ind}}| = 100\,\text{V}$ , gespeicherte Energie $E_L = 0{,}50\,\text{J}$ — der Abschaltfunke ist die freiwerdende Feldenergie.

Abiturfokus

„Berechnen" Sie Selbstinduktionsspannungen immer über die ÄNDERUNGSRATE $\Delta i/\Delta t$ ; die absolute Stromstärke allein sagt nichts über die induzierte Spannung.
„Erläutern" Sie das Ein- und Ausschaltverhalten getrennt: beim Einschalten verzögert, beim Ausschalten überhöht — mit der Lenzschen Regel als gemeinsamer Begründung.
„Vergleichen" Sie Spule und Kondensator kriteriengeleitet ( $L \leftrightarrow C$ , $I \leftrightarrow U$ , $\tfrac12 LI^2 \leftrightarrow \tfrac12 CU^2$ ) — diese Gegenüberstellung ist eine klassische Transferaufgabe.
Achten Sie beim quadratischen Eingang der Windungszahl auf die Folge: eine Verdopplung von $N$ vervierfacht $L$ .
„Beurteilen" Sie die technische Bedeutung des Abschaltstoßes anhand konkreter Zahlen — hier erzeugt eine 2-V-Schaltung 100 V.

Typische Fehler

In $L = \mu_0\mu_r N^2 A/\ell$ die Windungszahl linear statt quadratisch angesetzt.
$E_L = \tfrac12 L I^2$ mit $E_L = L I^2$ verwechselt — der Faktor $\tfrac12$ hat denselben Grund wie beim Kondensator.
Angenommen, der Strom in einer Spule könne sprunghaft ansteigen. Die Selbstinduktion verhindert das; der Anstieg ist exponentiell mit $\tau = L/R$ .
Die Zeitkonstante der Spule mit der des Kondensators verwechselt: bei der Spule $\tau = L/R$ , beim Kondensator $\tau = R\,C$ .
Die Selbstinduktionsspannung mit der angelegten Spannung gleichgesetzt. Sie tritt zusätzlich auf und wirkt der Änderung entgegen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie $E_L = \tfrac12 L I^2$ durch Integration von $\mathrm{d}W = u\,i\,\mathrm{d}t$ mit $u = L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ her. Stellen Sie anschließend die Einschaltkurve $i(t) = (U_0/R)\,(1 - e^{-tR/L})$ auf und begründen Sie, warum die Zeitkonstante hier $L/R$ und nicht $R\,C$ lautet.

Aktive Wiederholung

Durch eine Spule mit $L = 0{,}25\,\text{H}$ fließen $2{,}0\,\text{A}$ . Beim Öffnen des Schalters sinkt der Strom in $5{,}0\,\text{ms}$ gleichmäßig auf null. Berechnen Sie die Selbstinduktionsspannung sowie die im Feld gespeicherte Energie und beurteilen Sie, warum an dieser Stelle eine Freilaufdiode eingebaut wird.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema

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Quellen: LEIFIphysik — Selbstinduktion und Induktivität (Joachim Herz Stiftung)

Der elektromagnetische Schwingkreis#

~4 Min LesezeitVertiefungKMK 2.6.2Schwingungen

Elektromagnetischer Schwingkreis

Abb. 3L und C tauschen Energie aus; Eigenfrequenz

f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})

(Thomson).

Schaltet man einen geladenen Kondensator auf eine Spule, beginnt die Energie zwischen beiden hin- und herzupendeln: Der Kondensator entlädt sich, der wachsende Strom baut das Magnetfeld der Spule auf; ist der Kondensator leer, treibt die Selbstinduktion den Strom weiter und lädt ihn mit umgekehrtem Vorzeichen wieder auf. Diese elektromagnetische Schwingung ist das exakte Gegenstück zum Federpendel.

Die Analogie trägt bis in die Formeln und ist der Schlüssel zu diesem Abschnitt: Die Ladung

q

entspricht der Auslenkung, der Strom

i = \dot q

der Geschwindigkeit, die Induktivität

L

der Masse (beide sind die Trägheit) und der Kehrwert der Kapazität

1/C

der Federkonstante. Wer die mechanische Schwingung verstanden hat, muss hier nichts Neues lernen, sondern nur übersetzen.

Die Maschenregel liefert unmittelbar die Differentialgleichung: Die Summe aus Kondensator- und Spulenspannung ist null, also

L\ddot q + q/C = 0

. Das ist formal identisch mit

m\ddot x + D x = 0

— dieselbe Gleichung, andere Buchstaben. Ihre Lösung ist eine harmonische Schwingung

q(t) = \hat q\cos(\omega_0 t)

mit

\omega_0 = 1/\sqrt{LC}

.

Daraus folgt die Thomsonsche Schwingungsformel

T = 2\pi\sqrt{L\,C}

. Beachtenswert ist die WURZEL: Eine Vervierfachung der Kapazität halbiert nur die Frequenz. Genau deshalb kommt ein Radioempfänger für einen ganzen Frequenzbereich mit einem Drehkondensator von mäßigem Stellbereich aus.

Auch die Energie pendelt: Die elektrische Energie

\tfrac12 q^2/C

im Kondensator und die magnetische Energie

\tfrac12 L i^2

in der Spule wechseln sich ab, ihre Summe bleibt beim idealen Kreis konstant. Weil beide quadratisch von ihren Größen abhängen, schwingt die Energie mit der DOPPELTEN Frequenz der Ladung — ein Detail, das in Aufgaben zur Energiebilanz gern geprüft wird.

Ein realer Schwingkreis hat immer einen ohmschen Widerstand, an dem Energie in Wärme übergeht. Die Amplitude klingt deshalb exponentiell ab; die Schwingung ist gedämpft. Wird die Dämpfung zu groß, kommt gar keine Schwingung mehr zustande, sondern ein aperiodischer Kriechfall — auch das entspricht genau dem mechanischen Bild.

Vokabeln

→ Kartei

der SchwingkreisZusammenschaltung von Spule und Kondensator, in der Energie pendelt
die Thomsonsche Formel$T = 2\pi\sqrt{LC}$ — Periodendauer der freien Schwingung
die EigenfrequenzFrequenz der ungedämpften freien Schwingung
die DämpfungAmplitudenabnahme durch ohmsche Verluste
die MaschenregelSumme aller Spannungen in einem geschlossenen Umlauf ist null

Thomsonsche Schwingungsformel

f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L\,C}}

Schwingungsgleichung des LC-Kreises und ihr mechanisches Gegenstück

L\,\ddot q + \dfrac{q}{C} = 0 \qquad\longleftrightarrow\qquad m\,\ddot x + D\,x = 0

$q$ die Ladung in C, $\ddot q$ ihre zweite Zeitableitung; rechts $x$ die Auslenkung in m, $m$ die Masse in kg, $D$ die Federkonstante in N/m. Dieselbe Gleichung — $L$ entspricht der Masse, $1/C$ der Federkonstante.

Energiebilanz des ungedämpften Schwingkreises

E_{\text{ges}} = \dfrac{q^2}{2\,C} + \dfrac{1}{2}\,L\,i^2 = \text{const.}

Der erste Term ist die elektrische Energie im Kondensator, der zweite die magnetische in der Spule; beim idealen Kreis ist ihre Summe zeitlich konstant.

Musterlösung

Eigenfrequenz eines LC-Schwingkreises

Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit $L = 4{,}0\,\text{mH}$ und einem Kondensator mit $C = 2{,}5\,\mu\text{F}$ . Berechnen Sie Periodendauer und Eigenfrequenz und geben Sie an, wie sich die Frequenz ändert, wenn die Kapazität vervierfacht wird.

Thomsonsche Formel ansetzen
Die Eigenfrequenz folgt aus dem Wechselspiel von elektrischer Energie im Kondensator und magnetischer Energie in der Spule.
$T = 2\pi\sqrt{L\,C},\qquad f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L\,C}}$
Produkt unter der Wurzel
$L\,C = 4{,}0\cdot 10^{-3}\,\text{H}\cdot 2{,}5\cdot 10^{-6}\,\text{F} = 1{,}0\cdot 10^{-8}\,\text{s}^2$ , also $\sqrt{L C} = 1{,}0\cdot 10^{-4}\,\text{s}$ .
Periodendauer und Frequenz
$T = 2\pi\cdot 1{,}0\cdot 10^{-4} \approx 6{,}28\cdot 10^{-4}\,\text{s} = 0{,}63\,\text{ms}$ und $f = 1/T \approx 1{,}59\cdot 10^3\,\text{Hz}$ .
Vervierfachte Kapazität beurteilen
Wegen $f \propto 1/\sqrt{C}$ halbiert eine Vervierfachung von $C$ die Frequenz auf etwa $796\,\text{Hz}$ . Merkregel: Ein Faktor 4 unter der Wurzel wirkt als Faktor 2 — deshalb braucht ein Empfänger für den ganzen UKW-Bereich nur einen Drehkondensator mit mäßigem Stellbereich.

Ergebnis: Periodendauer $T \approx 0{,}63\,\text{ms}$ , Eigenfrequenz $f \approx 1{,}6\,\text{kHz}$ ; bei vierfacher Kapazität halbiert sich die Frequenz auf $\approx 0{,}80\,\text{kHz}$ .

Abiturfokus

„Herleiten" Sie die Differentialgleichung über die MASCHENREGEL ( $u_L + u_C = 0$ ) und setzen Sie $i = \dot q$ ein — dieser Weg wird erwartet, nicht das Zitieren des Ergebnisses.
Stellen Sie die mechanisch-elektrische Analogie explizit als Tabelle dar ( $x \leftrightarrow q$ , $v \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $D \leftrightarrow 1/C$ ); solche Zuordnungsaufgaben sind im Anforderungsbereich II Standard.
Achten Sie bei „berechnen" mit der Thomson-Formel penibel auf die Einheiten: mH und µF müssen vor dem Wurzelziehen in H und F stehen.
„Begründen" Sie, warum die Energie mit doppelter Frequenz schwingt — über die quadratische Abhängigkeit von $q$ bzw. $i$ .
„Beurteilen" Sie den Einfluss des ohmschen Widerstands: Er ändert die Frequenz nur wenig, dämpft aber die Amplitude exponentiell.

Typische Fehler

Die Wurzel in der Thomson-Formel übersehen und angenommen, doppelte Kapazität halbiere die Frequenz. Richtig ist der Faktor $1/\sqrt{2}$ .
mH und µF unumgerechnet eingesetzt; das verschiebt das Ergebnis um mehrere Zehnerpotenzen.
In der Analogie die Induktivität der Federkonstante zugeordnet. $L$ entspricht der MASSE (Trägheit), $1/C$ der Federkonstante.
Angenommen, die Energie schwinge mit derselben Frequenz wie die Ladung. Sie schwingt mit der doppelten.
Vergessen, dass der Strom dem Ladungsverlauf um eine Viertelperiode NACHEILT: Ist der Kondensator ganz geladen, ist der Strom null — und umgekehrt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie durch Einsetzen, dass $q(t) = \hat q\cos(\omega_0 t)$ die Gleichung $L\ddot q + q/C = 0$ genau für $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ löst. Erweitern Sie die Gleichung anschließend um den ohmschen Term zu $L\ddot q + R\dot q + q/C = 0$ und diskutieren Sie Schwingfall, aperiodischen Grenzfall und Kriechfall.

Aktive Wiederholung

Ein Schwingkreis besteht aus $L = 4{,}0\,\text{mH}$ und $C = 2{,}5\,\mu\text{F}$ . Berechnen Sie Periodendauer und Eigenfrequenz, skizzieren Sie $q(t)$ und $i(t)$ übereinander und begründen Sie deren Phasenverschiebung.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Elektromagnetischer Schwingkreis (Joachim Herz Stiftung)

Wechselspannung, Effektivwerte und Wechselstromwiderstände#

~4 Min LesezeitStandardKMK 2.6.1Veränderliche Felder

Wechselstromgrößen

Abb. 4Der Effektivwert ist so definiert, dass er dieselbe LEISTUNG erzeugt wie ein gleich großer Gleichstrom. Deshalb steht er auf jedem Typenschild.

Eine im homogenen Feld gleichförmig rotierende Spule liefert nach dem Induktionsgesetz eine sinusförmige Spannung

u(t) = \hat u\sin(\omega t)

— das ist der Wechselstromgenerator und der Grund, warum das gesamte Verbundnetz mit Sinusgrößen arbeitet. Die Kreisfrequenz

\omega = 2\pi f

ist dabei unmittelbar die Winkelgeschwindigkeit der Rotation.

Der zeitliche Mittelwert einer Sinusspannung ist null — er taugt daher nicht zur Beschreibung ihrer Wirkung. Physikalisch sinnvoll ist der Effektivwert: derjenige Gleichspannungswert, der an einem ohmschen Widerstand DIESELBE mittlere Leistung umsetzt. Weil die Leistung quadratisch von der Spannung abhängt und der Mittelwert von

\sin^2

genau

\tfrac12

beträgt, folgt daraus der Faktor

\sqrt2

.

Es gilt also

U_{\text{eff}} = \hat u/\sqrt2

und ebenso

I_{\text{eff}} = \hat\imath/\sqrt2

. Die vertrauten

230\,\text{V}

der Steckdose sind ein EFFEKTIVWERT; der Scheitelwert beträgt

\hat u = 230\cdot\sqrt2 \approx 325\,\text{V}

. Wer das verwechselt, unterschätzt die Isolationsanforderungen um gut 40 Prozent — ein Fehler mit realer Konsequenz.

An einem rein ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung in Phase, und die mittlere Leistung ist schlicht

P = U_{\text{eff}}\,I_{\text{eff}}

. Spule und Kondensator verhalten sich anders: Sie verschieben die Phase um eine Viertelperiode und nehmen im Mittel KEINE Wirkleistung auf — sie speichern Energie und geben sie vollständig zurück.

Ihre Wechselstromwiderstände hängen von der Frequenz ab: der induktive

X_L = \omega L

wächst mit ihr, der kapazitive

X_C = 1/(\omega C)

fällt. Daraus folgt das Verhalten der Grundschaltungen — eine Spule sperrt hohe Frequenzen und lässt Gleichstrom passieren, ein Kondensator umgekehrt. Auf dieser Frequenzabhängigkeit beruht jede Frequenzweiche und jedes Filter.

Zur Beschreibung dient das Zeigerdiagramm: Spannungen und Ströme werden als rotierende Zeiger dargestellt, deren Projektion den Momentanwert liefert. Phasenverschiebungen werden damit zu Winkeln, und die Addition von Wechselgrößen wird zur VEKTORIELLEN Addition — Beträge einfach zu summieren ist der klassische Fehler.

Vokabeln

→ Kartei

der EffektivwertGleichwert gleicher mittlerer Leistung; $\hat u/\sqrt2$ beim Sinus
der ScheitelwertMaximalwert der Wechselgrößeauch Amplitude; Netz: 325 V
die Kreisfrequenz$\omega = 2\pi f$; Einheit 1/s
der BlindwiderstandWechselstromwiderstand von Spule oder Kondensatorsetzt im Mittel keine Wirkleistung um
das ZeigerdiagrammDarstellung von Wechselgrößen als rotierende Zeiger

Effektivwerte sinusförmiger Wechselgrößen

U_{\text{eff}} = \dfrac{\hat u}{\sqrt{2}},\qquad I_{\text{eff}} = \dfrac{\hat\imath}{\sqrt{2}}

$\hat u$ , $\hat\imath$ die Scheitelwerte in V bzw. A. Der Effektivwert ist der Gleichwert gleicher mittlerer Leistung; der Faktor gilt NUR für Sinusgrößen.

Induktiver und kapazitiver Wechselstromwiderstand

X_L = \omega\,L,\qquad X_C = \dfrac{1}{\omega\,C},\qquad \omega = 2\pi f

$X_L$ , $X_C$ in Ω, $\omega$ die Kreisfrequenz in 1/s, $L$ in H, $C$ in F. $X_L$ wächst mit der Frequenz, $X_C$ fällt mit ihr.

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Musterlösung

Effektivwert und Leistung der Netzspannung

Die Netzspannung hat den Scheitelwert $\hat u = 325\,\text{V}$ bei $f = 50\,\text{Hz}$ . Berechnen Sie den Effektivwert und die am ohmschen Widerstand $R = 1{,}0\,\text{k}\Omega$ umgesetzte mittlere Leistung.

Effektivwert bestimmen
Für Sinusgrößen ist der Effektivwert der durch $\sqrt2$ geteilte Scheitelwert: $U_{\text{eff}} = 325/\sqrt2 \approx 230\,\text{V}$ — der vertraute Netzwert.
$U_{\text{eff}} = \dfrac{\hat u}{\sqrt{2}}$
Leistung berechnen
Am rein ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung in Phase, also $P = U_{\text{eff}}^2/R = (230)^2/1000 \approx 52{,}9\,\text{W}$ .
Mit Effektivwerten gerechnet — warum
Setzte man den Scheitelwert ein, ergäbe sich $105\,\text{W}$ — genau das DOPPELTE. Denn $\overline{\sin^2} = \tfrac12$ : Der Effektivwert ist per Definition der Wert, der die richtige mittlere Leistung liefert.
Ergebnis einordnen
Rund $53\,\text{W}$ entsprechen einer kräftigen Glühlampe. Die Isolierung des Bauteils muss dennoch für $325\,\text{V}$ ausgelegt sein — die Spitze, nicht der Effektivwert, belastet das Dielektrikum.

Ergebnis: $U_{\text{eff}} \approx 230\,\text{V}$ und $P \approx 53\,\text{W}$ ; die Rechnung mit dem Scheitelwert hätte die Leistung verdoppelt.

Abiturfokus

Sagen Sie bei jeder Zahlenangabe ausdrücklich, ob es sich um einen Scheitel- oder Effektivwert handelt; die Verwechslung ist der häufigste Punktverlust dieses Abschnitts.
„Herleiten" Sie den Faktor $\sqrt2$ über die Leistung: $\overline{\sin^2} = \tfrac12$ ist der bepunktete Kern, nicht das Ergebnis.
„Begründen" Sie, warum Spule und Kondensator im Mittel keine Wirkleistung aufnehmen — über die Phasenverschiebung von $90°$ .
Bei „beurteilen" von Filterschaltungen argumentieren Sie über die Frequenzabhängigkeit: $X_L = \omega L$ steigt, $X_C = 1/(\omega C)$ fällt.
Addieren Sie Wechselspannungen im Zeigerdiagramm stets VEKTORIELL; bei $90°$ Phasenverschiebung gilt $U = \sqrt{U_R^2 + U_L^2}$ .

Typische Fehler

Effektiv- und Scheitelwert vertauscht: $\hat u = 325\,\text{V}$ gehört zu $U_{\text{eff}} = 230\,\text{V}$ , nicht umgekehrt.
Mit dem arithmetischen Mittel der Sinusspannung gerechnet. Dieses ist über eine volle Periode null.
Den Faktor $\sqrt2$ auch bei nicht-sinusförmigen Größen verwendet. Er gilt ausschließlich für den Sinus.
Bei Reihenschaltungen von $R$ und $L$ die Spannungen skalar addiert statt im Zeigerdiagramm.
$X_L$ und $X_C$ in ihrer Frequenzabhängigkeit vertauscht. Kontrolle: Bei $f \to 0$ (Gleichstrom) muss die Spule zum Kurzschluss und der Kondensator zur Unterbrechung werden.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie $U_{\text{eff}} = \hat u/\sqrt2$ durch Mittelung von $p(t) = \hat u^2\sin^2(\omega t)/R$ über eine Periode her (nutzen Sie $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$ ). Konstruieren Sie anschließend das Zeigerdiagramm einer $RL$ -Reihenschaltung und bestimmen Sie Scheinwiderstand $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ und Phasenwinkel $\tan\varphi = X_L/R$ .

Aktive Wiederholung

Die Netzspannung hat den Scheitelwert $\hat u = 325\,\text{V}$ bei $f = 50\,\text{Hz}$ . Berechnen Sie den Effektivwert und die Leistung an einem ohmschen Widerstand von $1{,}0\,\text{k}\Omega$ . Beurteilen Sie anschließend, wie sich der Widerstand einer Spule mit $L = 0{,}50\,\text{H}$ zwischen $50\,\text{Hz}$ und $5{,}0\,\text{kHz}$ ändert.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Wechselstromkreise und Effektivwerte (Joachim Herz Stiftung)

Transformator und Energieübertragung#

~4 Min LesezeitStandardKMK 2.6.1Veränderliche Felder

Der Transformator — ideal und real

Abb. 5Die Übersetzungsgleichungen gelten für den IDEALEN Transformator. Reale Verluste erklären, warum die Energieübertragung überhaupt Hochspannung braucht.

Zwei Spulen auf einem gemeinsamen Eisenkern: Der Wechselstrom in der Primärspule erzeugt einen wechselnden Fluss, den der Kern nahezu vollständig zur Sekundärspule führt und der dort eine Spannung induziert. Der Transformator ist damit die unmittelbarste Anwendung des Induktionsgesetzes — und er funktioniert ausschließlich mit WECHSELSTROM, weil nur dieser die nötige Flussänderung liefert.

Weil beide Spulen denselben Fluss umfassen, ist die Spannung je Windung in beiden gleich. Daraus folgt sofort die Spannungsübersetzung

U_1/U_2 = N_1/N_2

: Die Spannungen verhalten sich wie die Windungszahlen. Diese Beziehung gilt streng nur für den unbelasteten idealen Transformator, ist aber für Schulaufgaben die maßgebliche Formel.

Beim belasteten idealen Transformator kommt die Leistungsbilanz hinzu:

U_1 I_1 = U_2 I_2

. Die Ströme verhalten sich also UMGEKEHRT zu den Windungszahlen. Ein Transformator erzeugt keine Energie — er tauscht Spannung gegen Strom. Wer die Spannung zehntelt, verzehnfacht den Strom, und die Leistung bleibt dieselbe.

Genau darauf beruht die Hochspannungs-Fernübertragung. Die Verlustleistung in der Leitung ist

P_V = R\,I^2

und hängt vom QUADRAT des Stroms ab, nicht von der Spannung. Wird die Spannung auf das Zehnfache hochtransformiert, sinkt der Strom auf ein Zehntel und die Leitungsverluste auf ein HUNDERTSTEL. Dieses quadratische Argument ist der Kern jeder Aufgabe zur Energieübertragung.

Reale Transformatoren verlieren Energie auf drei Wegen: ohmsche Wärme in den Wicklungen (Kupferverluste), Ummagnetisierung des Kerns (Hystereseverluste) und Wirbelströme im Kern. Die Wirbelströme werden durch geblätterte, gegeneinander isolierte Bleche stark verringert — ein Bauprinzip, das sich an jedem geöffneten Netztrafo unmittelbar sehen lässt.

Vokabeln

→ Kartei

der Transformatorzwei Spulen auf gemeinsamem Kern; wandelt Wechselspannungen um
die ÜbersetzungVerhältnis der Windungszahlen $N_1/N_2$
der WirbelstromRingstrom im Kern; durch geblätterte Bleche verringert
die HystereseVerlust durch wiederholtes Ummagnetisieren des Kerns
die Verlustleistungin der Leitung in Wärme umgesetzte Leistung $R\,I^2$

Transformator-Verhältnisgleichungen

\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{N_2}{N_1},\quad \dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{N_1}{N_2}\;\text{(idealer Trafo)}

Verlustleistung einer Übertragungsleitung

P_V = R\,I^2 = R\,\left(\dfrac{P}{U}\right)^2

$P_V$ in W, $R$ der Leitungswiderstand in Ω, $I$ der Leitungsstrom in A, $P$ die übertragene Leistung in W und $U$ die Übertragungsspannung in V. Zehnfache Spannung ⇒ hundertstel Verlust.

Musterlösung

Klingeltransformator — Windungszahl und Primärstrom

Ein Transformator soll aus $U_1 = 230\,\text{V}$ eine Spannung von $U_2 = 12\,\text{V}$ erzeugen. Die Primärspule hat $N_1 = 1200$ Windungen. Bestimmen Sie die Sekundärwindungszahl und den Primärstrom bei einem Sekundärstrom von $I_2 = 3{,}0\,\text{A}$ (idealer Transformator).

Spannungsübersetzung ansetzen
Beide Spulen umfassen denselben Fluss, deshalb ist die Spannung je Windung gleich — daraus folgt unmittelbar das Verhältnis der Windungszahlen.
$\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{N_1}{N_2}$
Sekundärwindungszahl berechnen
$N_2 = N_1\,U_2/U_1 = 1200\cdot 12/230 \approx 62{,}6$ . Windungen sind ganzzahlig, also werden 63 gewickelt — damit ergibt sich real $U_2 = 230\cdot 63/1200 \approx 12{,}1\,\text{V}$ , was innerhalb der üblichen Toleranz liegt.
Primärstrom aus der Leistungsbilanz
Beim idealen Transformator ist die abgegebene gleich der aufgenommenen Leistung: $U_1 I_1 = U_2 I_2$ . Also $I_1 = 12\cdot 3{,}0/230 \approx 0{,}157\,\text{A}$ .
$U_1\,I_1 = U_2\,I_2 \;\Longrightarrow\; \dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{N_2}{N_1}$
Ergebnis prüfen
Die Spannung wird herunter-, der Strom hinaufgesetzt — die Leistung von $36\,\text{W}$ bleibt erhalten. Ein Transformator ist kein Energiequelle: Er tauscht Spannung gegen Strom, nie Leistung gegen nichts.

Ergebnis: $N_2 = 63$ Windungen (rechnerisch $62{,}6$ ), Primärstrom $I_1 \approx 0{,}16\,\text{A}$ bei einer übertragenen Leistung von $36\,\text{W}$ .

Abiturfokus

„Erläutern" Sie stets zuerst, warum der Transformator Wechselstrom BRAUCHT: Nur ein sich ändernder Fluss induziert. Diese Begründung eröffnet fast jede Transformatoraufgabe.
Halten Sie die beiden Verhältnisse sauber auseinander: Spannungen verhalten sich WIE, Ströme UMGEKEHRT WIE die Windungszahlen.
„Begründen" Sie die Hochspannungsübertragung über $P_V = R I^2$ — das QUADRAT ist das Argument, nicht die bloße Aussage „weniger Strom, weniger Verlust".
Runden Sie berechnete Windungszahlen auf ganze Zahlen und geben Sie die daraus folgende reale Ausgangsspannung an; das wird als Sorgfaltspunkt gewertet.
„Beurteilen" Sie die drei Verlustarten und ordnen Sie jeder ihre bauliche Gegenmaßnahme zu (dickere Drähte, weichmagnetischer Kern, geblätterte Bleche).

Typische Fehler

Die Stromübersetzung wie die Spannungsübersetzung angesetzt. Die Ströme verhalten sich UMGEKEHRT: $I_1/I_2 = N_2/N_1$ .
Angenommen, ein Transformator funktioniere auch mit Gleichspannung. Ohne Flussänderung wird nichts induziert.
Beim Verlustargument mit $P_V = U\,I$ statt $P_V = R\,I^2$ gerechnet. Für die LEITUNGSverluste zählt der Widerstand der Leitung und das Quadrat des Stroms.
Angenommen, hochtransformierte Spannung erhöhe die übertragene Leistung. Sie bleibt gleich; nur die Verluste sinken.
Nicht-ganzzahlige Windungszahlen als Endergebnis stehen gelassen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Eine Leitung mit $R = 4{,}0\,\Omega$ überträgt $P = 20\,\text{kW}$ . Vergleichen Sie die Verlustleistung bei $U = 400\,\text{V}$ und bei $U = 20\,\text{kV}$ und diskutieren Sie, welche technischen und sicherheitstechnischen Grenzen einer beliebigen Steigerung der Übertragungsspannung entgegenstehen.

Aktive Wiederholung

Ein Transformator soll aus $230\,\text{V}$ eine Spannung von $12\,\text{V}$ erzeugen; die Primärspule hat $1200$ Windungen. Bestimmen Sie die Sekundärwindungszahl und den Primärstrom bei $I_2 = 3{,}0\,\text{A}$ . Begründen Sie anschließend quantitativ, warum Überlandleitungen mit Hochspannung betrieben werden.

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Quellen: LEIFIphysik — Transformator (Joachim Herz Stiftung)

Hertzscher Dipol und die Ablösung der elektromagnetischen Welle#

~4 Min LesezeitVertiefungKMK 2.6.2Ausbreitung von Wellen

Elektromagnetische Welle

Abb. 6Elektrisches Feld

E

(vertikal) und magnetisches Feld

B

(horizontal) schwingen senkrecht zueinander und zur Ausbreitungsrichtung.

Zieht man die Platten eines Schwingkreis-Kondensators immer weiter auseinander und streckt die Spule zum geraden Draht, entsteht der offene Schwingkreis: der Hertzsche Dipol. Kapazität und Induktivität sind nun über die ganze Leiterlänge verteilt, das Feld ist nicht mehr im Bauteil eingesperrt — und genau dadurch kann Energie den Leiter verlassen.

Auf dem Dipol bildet sich eine stehende Welle aus: An den offenen Enden kann kein Strom fließen (Stromknoten, Spannungsbauch), in der Mitte ist der Strom maximal. Die Grundschwingung passt deshalb genau eine halbe Wellenlänge auf den Draht,

\ell = \lambda/2

. Aus dieser Bedingung folgt die Länge jeder Sende- und Empfangsantenne.

Wechselnde elektrische Felder erzeugen magnetische und umgekehrt — ein sich gegenseitig tragender Vorgang, der sich vom Erzeuger löst und als elektromagnetische Welle im Raum ausbreitet.

\vec E

und

\vec B

stehen dabei senkrecht aufeinander UND senkrecht zur Ausbreitungsrichtung: Die Welle ist transversal, und sie braucht kein Medium.

Es gilt der universelle Zusammenhang

c = \lambda\,f

mit

c = 2{,}998\cdot 10^8\,\text{m/s}

im Vakuum. Eine UKW-Sendung bei

100\,\text{MHz}

hat demnach

\lambda = 3{,}0\,\text{m}

, und die zugehörige Halbwellenantenne misst rund

1{,}5\,\text{m}

— nachprüfbar an jedem Autoradio.

Die Abstrahlung ist richtungsabhängig: Senkrecht zur Dipolachse ist sie maximal, LÄNGS der Achse verschwindet sie. Deshalb steht eine Rundfunkantenne aufrecht und strahlt in die Fläche, nicht nach oben. Die abgestrahlte Leistung wächst außerdem sehr stark mit der Frequenz, weshalb niederfrequente Wechselströme im Haushalt praktisch nichts abstrahlen.

Da die abgestrahlte Welle aus demselben Dipol stammt, ist sie linear POLARISIERT — die Feldrichtung liegt parallel zur Dipolachse. Eine Empfangsantenne muss deshalb gleich ausgerichtet sein; steht sie um

90°

verdreht, bleibt sie stumm. Das ist der direkteste Alltagsbeleg für Polarisation.

Vokabeln

→ Kartei

der Hertzsche Dipoloffener Schwingkreis; strahlt elektromagnetische Wellen ab
der offene SchwingkreisSchwingkreis mit über den Leiter verteiltem $L$ und $C$
der StromknotenOrt verschwindender Stromstärkeliegt stets am offenen Dipolende
die RichtcharakteristikRichtungsabhängigkeit der abgestrahlten Leistung
transversalSchwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung

Wellenbeziehung und Länge des Halbwellendipols

c = \lambda\,f,\qquad \ell = \dfrac{\lambda}{2}\;\text{(Grundschwingung)}

$c = 2{,}998\cdot 10^8\,\text{m/s}$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit, $\lambda$ die Wellenlänge in m, $f$ die Frequenz in Hz, $\ell$ die Dipollänge in m.

Musterlösung

Wellenlänge und Antennenlänge eines UKW-Senders

Ein UKW-Sender strahlt bei $f = 100\,\text{MHz}$ . Berechnen Sie die Wellenlänge und die Länge der zugehörigen Halbwellenantenne.

Wellenbeziehung ansetzen
Im Vakuum (und mit guter Näherung in Luft) gilt der universelle Zusammenhang zwischen Ausbreitungsgeschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz.
$\lambda = \dfrac{c}{f}$
Wellenlänge auswerten
Mit $f = 100\,\text{MHz} = 1{,}00\cdot 10^8\,\text{Hz}$ : $\lambda = 2{,}998\cdot 10^8 / 1{,}00\cdot 10^8 \approx 3{,}0\,\text{m}$ .
Antennenlänge bestimmen
Auf dem Halbwellendipol sind die offenen Enden Stromknoten, sodass genau eine halbe Wellenlänge Platz findet: $\ell = \lambda/2 \approx 1{,}5\,\text{m}$ .
Ergebnis prüfen
Rund $1{,}5\,\text{m}$ entsprechen der Länge einer ausgezogenen Autoradio-Antenne — ein Alltagsbeleg, der die Rechnung bestätigt. Ein um $90°$ verdrehter Empfangsdipol läge quer zur Feldrichtung der linear polarisierten Welle und bliebe nahezu signallos.

Ergebnis: Wellenlänge $\lambda \approx 3{,}0\,\text{m}$ , Halbwellenantenne $\ell \approx 1{,}5\,\text{m}$ — in Übereinstimmung mit realen UKW-Antennen.

Abiturfokus

„Beschreiben" Sie den Übergang geschlossener → offener Schwingkreis als schrittweise Verformung; genau dieser Zusammenhang wird geprüft, nicht die Bauform allein.
Leiten Sie die Antennenlänge über die Randbedingung her: offene Enden sind STROMKNOTEN, daher $\ell = \lambda/2$ in der Grundschwingung.
„Berechnen" Sie Wellenlängen konsequent mit $c = \lambda f$ und prüfen Sie die Größenordnung gegen bekannte Bänder (UKW einige Meter, Mikrowelle Zentimeter).
„Begründen" Sie die Richtcharakteristik: längs der Dipolachse wird nicht abgestrahlt — mit der Schwingungsrichtung der Ladungen als Argument.
„Erläutern" Sie die Polarisation der abgestrahlten Welle über die Orientierung des Dipols und leiten Sie daraus die nötige Antennenausrichtung ab.

Typische Fehler

Die Antennenlänge gleich der Wellenlänge gesetzt. In der Grundschwingung ist sie die HALBE Wellenlänge.
Angenommen, elektromagnetische Wellen brauchten ein Trägermedium. Sie breiten sich im Vakuum aus — anders als der Schall.
$\vec E$ und $\vec B$ parallel gezeichnet. Sie stehen senkrecht aufeinander und beide senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
Angenommen, die Abstrahlung sei längs der Dipolachse maximal. Dort ist sie null; maximal ist sie senkrecht dazu.
Frequenz in MHz unumgerechnet in $c = \lambda f$ eingesetzt — die Wellenlänge fällt dann um den Faktor $10^6$ falsch aus.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie, dass sich beim Übergang vom geschlossenen zum offenen Schwingkreis die Eigenfrequenz stark erhöht, indem Sie die Wirkung auf $L$ und $C$ in $f = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ diskutieren. Erklären Sie außerdem, warum die abgestrahlte Leistung mit der vierten Potenz der Frequenz wächst und was daraus für die Bauform von Mobilfunkantennen folgt.

Aktive Wiederholung

Ein UKW-Sender arbeitet bei $f = 100\,\text{MHz}$ . Berechnen Sie die Wellenlänge und die Länge einer Halbwellenantenne. Begründen Sie, warum ein um $90°$ verdrehtes Empfangsdipol praktisch kein Signal liefert.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Hertzscher Dipol und elektromagnetische Wellen (Joachim Herz Stiftung)