DE · Abitur

Elektrische und magnetische Felder

Das Feldkonzept beantwortet die Frage, wie Kräfte ohne Berührung übertragen werden — und es trägt in der Abiturprüfung mehr Gewicht als jedes andere Thema: „Elektrische und magnetische Felder" ist einer von nur drei Inhaltsbereichen, aus denen die KMK-Prüfungsaufgabe schöpft. Von der Punktladung über den Kondensator als Energiespeicher bis zur Bahn geladener Teilchen in gekreuzten Feldern wird hier das Werkzeug gebaut, mit dem später Induktion, Schwingkreis und die elektromagnetische Welle beschrieben werden.

6 Abschnitte~30 Min Lesezeit4 KompetenzenStand 05/2026

T·0555 / 10

Prüfungsprofil

S 1 · Phänomene unter Nutzung bekannter physikalischer Modelle und Theorien erklärenS 7 · Bekannte mathematische Verfahren auf physikalische Sachverhalte anwendenE 6 · Mithilfe bekannter Modelle die in Daten gefundenen Strukturen und Beziehungen erklärenK 6 · Informationen und Daten in sach- und adressatengerechten Darstellungsformen veranschaulichen

Operatoren:beschreibenberechnenerläuternbegründenskizzierenbeurteilen

grundlegendes Niveau

gA: Feldbegriff, Feldstärke und Feldlinienbilder sicher deuten; Plattenkondensator als homogenes Feld rechnen ( $E = U/d$ , $C = Q/U$ , $E_C = \tfrac12 CU^2$ ); Kräfte auf Ladungen in homogenen Feldern bestimmen und Bahnformen qualitativ begründen.

erhöhtes Niveau

eA: zusätzlich Coulomb-Gesetz quantitativ, Spannung als Potentialdifferenz, Spule und Induktivität sowie die quantitative Betrachtung der Bahnformen in homogenen Feldern (Wurfparabel im E-Feld, Kreisbahn im B-Feld, Geschwindigkeitsfilter).

Tiefe

Schrift

Inhalt · 6 Abschnitte

Elektrische und magnetische Felder

6 Abschnitte30 Merksätze15 Formeln30 Fehlerwarnungen

Ladung, Coulomb-Gesetz und die elektrische Feldstärke#

~6 Min LesezeitBasisKMK 2.6.1Feldkonzept

Plattenkondensator — homogenes E-Feld

Abb. 2Zwischen den Platten herrscht ein nahezu homogenes elektrisches Feld

E = U/d

Zwei geladene Körper üben Kräfte aufeinander aus, ohne sich zu berühren. Die Physik erklärt das nicht durch eine Fernwirkung, sondern durch einen Zwischenschritt: Jede Ladung verändert den Raum um sich herum, und dieser veränderte Raum — das Feld — übt die Kraft auf eine zweite Ladung aus. Das Feld ist damit kein Rechentrick, sondern die Aussage, dass die Wechselwirkung lokal übertragen wird. Die KMK führt „Elektrische und magnetische Felder" als eigenen Inhaltsbereich, weil dieses eine Bild Elektrostatik, Magnetismus und später die elektromagnetische Welle zusammenhält.

Für zwei ruhende Punktladungen

q_1

und

q_2

im Abstand

r

beschreibt das Coulomb-Gesetz den Betrag der Kraft. Es gilt streng für Punktladungen und — wegen der Kugelsymmetrie — auch für gleichmäßig geladene Kugeln, wobei dann der Abstand der Mittelpunkte einzusetzen ist. Die elektrische Feldkonstante beträgt

\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot 10^{-12}\,\text{C}^2/(\text{N}\,\text{m}^2)

; in Luft rechnet man mit

\varepsilon_r \approx 1

Formal ist das Coulomb-Gesetz mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz identisch — beide fallen mit

1/r^2

. Physikalisch trennt sie zweierlei: Ladungen tragen ein Vorzeichen und können sich abstoßen, Massen niemals; und die elektrische Kraft ist im Atom rund

10^{39}

-mal stärker als die Gravitation (siehe Rechenbeispiel). Dass im Sonnensystem trotzdem die Gravitation regiert, liegt an der Neutralität großer Materiemengen: Ladungen kompensieren sich, Massen addieren sich.

Die elektrische Feldstärke ist als Kraft pro Ladung einer Probeladung definiert:

\vec E = \vec F/q

. „Probe" ist dabei wörtlich zu nehmen —

q

muss klein genug sein, um die felderzeugende Ladungsverteilung nicht zu verschieben. Die Einheit

1\,\text{N/C}

ist identisch mit

1\,\text{V/m}

. Vereinbart ist die Richtung der Kraft auf eine POSITIVE Probeladung; auf eine negative Ladung wirkt die Kraft entgegen der Feldrichtung.

Mehrere Ladungen überlagern sich ungestört: Die Gesamtfeldstärke ist die VEKTORIELLE Summe der Einzelfeldstärken, praktisch also komponentenweise

E_x = \sum E_{i,x}

und

E_y = \sum E_{i,y}

. Dieses Superpositionsprinzip ist eines der vier KMK-Basiskonzepte und kehrt bei Wellen, Induktion und Quantenobjekten unverändert wieder.

Feldlinienbilder machen das Feld anschaulich (siehe ). Sie beginnen an positiven und enden an negativen Ladungen, schneiden sich nie — an einem Schnittpunkt wären zwei Kraftrichtungen zugleich definiert — und treten senkrecht aus Leiteroberflächen aus. Die Liniendichte ist ein QUALITATIVES Maß der Feldstärke: Aus einer Skizze werden keine Zahlenwerte abgelesen.

Feldrichtung im elektrischen Dipol

Abb. 1Überlagerung der Felder zweier entgegengesetzt gleicher Punktladungen. Die Pfeile weisen überall von der positiven zur negativen Ladung — das Feld ist die vektorielle Summe beider Einzelfelder.

Abb. 1 ↓

Der Plattenkondensator ist der wichtigste Sonderfall, weil sein Feld im Innenraum homogen ist: gleicher Betrag, gleiche Richtung überall. Dann und nur dann gilt der einfache Zusammenhang

U = E\,d

, aus dem sich

E

bequem messen lässt. In Randnähe wölben sich die Linien nach außen; diese Streufelder werden in der Schulrechnung vernachlässigt, was den Plattenabstand klein gegenüber der Plattenausdehnung voraussetzt.

Ladung tritt nicht in beliebigen Portionen auf, sondern nur als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung

e = 1{,}602\,176\,634\cdot 10^{-19}\,\text{C}

— seit der SI-Revision von 2019 ist dieser Wert exakt festgelegt und definiert das Coulomb. Millikans Schwebemethode ist der klassische Beleg: Nicht ein einzelner Messwert zeigt die Quantisierung, sondern die Tatsache, dass über viele Tröpfchen hinweg nur Vielfache eines kleinsten Betrags auftreten.

Vokabeln

→ Kartei

die FeldstärkeKraft je Probeladung, $\vec E = \vec F/q$; Einheit V/mvektorielle Größe — Richtung immer bezogen auf eine positive Probeladung
die Probeladunggedachte kleine Ladung, mit der ein Feld ausgemessen wirdmuss so klein sein, dass sie die Quellladungen nicht verschiebt
die Elementarladungkleinste frei auftretende Ladung, $e = 1{,}602\,176\,634\cdot 10^{-19}$ Cseit 2019 exakt definiert
das Superpositionsprinzipungestörte vektorielle Überlagerung mehrerer Felder
homogenüberall gleicher Betrag und gleiche RichtungGegenbegriff: radial (Punktladung)

Coulomb-Gesetz

F_C = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q_1 q_2}{r^2}

$\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot 10^{-12}\,\text{C}^2/(\text{N}\,\text{m}^2)$ .

Elektrische Feldstärke

\vec E = \dfrac{\vec F}{q},\quad U = E\,d\;\text{(homogen)}

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Musterlösung

Coulomb-Kraft gegen Gravitationskraft im Wasserstoffatom

Im Bohrschen Wasserstoffmodell umkreist das Elektron das Proton im Abstand $r = 5{,}29\cdot 10^{-11}\,\text{m}$ . Berechnen Sie die Coulomb-Kraft und die Gravitationskraft zwischen beiden Teilchen und beurteilen Sie, welche Wechselwirkung die Struktur des Atoms bestimmt.

Coulomb-Kraft ansetzen
Proton und Elektron tragen die Beträge $e$ ; mit $k = 1/(4\pi\varepsilon_0) = 8{,}99\cdot 10^9\,\text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2$ lautet der Ansatz:
$F_C = k\,\dfrac{e^2}{r^2}$
Coulomb-Kraft auswerten
Einsetzen: $F_C = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot (1{,}602\cdot 10^{-19})^2 / (5{,}29\cdot 10^{-11})^2 \approx 8{,}24\cdot 10^{-8}\,\text{N}$ .
Gravitationskraft auswerten
Mit $m_p = 1{,}673\cdot 10^{-27}\,\text{kg}$ , $m_e = 9{,}109\cdot 10^{-31}\,\text{kg}$ und $G = 6{,}674\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$ ergibt sich $F_G \approx 3{,}63\cdot 10^{-47}\,\text{N}$ .
$F_G = G\,\dfrac{m_p\,m_e}{r^2}$
Verhältnis bilden
Da beide Kräfte dieselbe $1/r^2$ -Abhängigkeit tragen, kürzt sich $r$ heraus: $F_C/F_G = k e^2/(G m_p m_e) \approx 2{,}3\cdot 10^{39}$ — unabhängig vom Abstand.
Ergebnis einordnen
Die Gravitation ist um 39 Zehnerpotenzen schwächer und im Atom vollständig vernachlässigbar. Dass sie im Sonnensystem dennoch dominiert, liegt daran, dass Materie im Großen elektrisch neutral ist: positive und negative Ladungen kompensieren sich, Massen dagegen addieren sich immer.

Ergebnis: $F_C \approx 8{,}2\cdot 10^{-8}\,\text{N}$ , $F_G \approx 3{,}6\cdot 10^{-47}\,\text{N}$ ; das Verhältnis $F_C/F_G \approx 2{,}3\cdot 10^{39}$ ist abstandsunabhängig — der Aufbau des Atoms wird allein durch die elektrische Wechselwirkung bestimmt.

Musterlösung

Schwebemethode nach Millikan — Ladung eines Öltröpfchens

Ein Öltröpfchen der Masse $m = 3{,}27\cdot 10^{-15}\,\text{kg}$ schwebt in einem Plattenkondensator mit Plattenabstand $d = 6{,}00\,\text{mm}$ bei der Spannung $U = 250\,\text{V}$ . Bestimmen Sie die Ladung des Tröpfchens und deuten Sie das Ergebnis.

Kräftegleichgewicht aufstellen
Im Schwebezustand ist die resultierende Kraft null: die elektrische Kraft $F_{\text{el}} = q\,E$ trägt die Gewichtskraft $F_G = m\,g$ . Das ist das KMK-Basiskonzept „Erhaltung und Gleichgewicht" in seiner einfachsten Form.
$q\,E = m\,g$
Feldstärke aus der Geometrie
Zwischen den Platten ist das Feld homogen, also $E = U/d = 250\,\text{V} / 6{,}00\cdot 10^{-3}\,\text{m} \approx 4{,}17\cdot 10^4\,\text{V/m}$ .
Ladung berechnen
Auflösen und einsetzen: $q = 3{,}27\cdot 10^{-15}\cdot 9{,}81 / (4{,}17\cdot 10^4) \approx 7{,}70\cdot 10^{-19}\,\text{C}$ .
$q = \dfrac{m\,g}{E} = \dfrac{m\,g\,d}{U}$
Ergebnis deuten
Der Quotient $q/e = 7{,}70\cdot 10^{-19} / 1{,}602\cdot 10^{-19} \approx 4{,}8$ liegt nahe bei 5. Das Tröpfchen trägt also fünf Elementarladungen. Genau darin besteht Millikans Argument: über viele Tröpfchen hinweg treten nur ganzzahlige Vielfache eines kleinsten Betrags auf — Ladung ist quantisiert.

Ergebnis: Ladung $q \approx 7{,}7\cdot 10^{-19}\,\text{C} \approx 5\,e$ . Der Nachweis der Quantisierung liegt nicht im Einzelwert, sondern darin, dass alle gemessenen Ladungen ganzzahlige Vielfache von $e$ sind.

Abiturfokus

Der Operator „berechnen" verlangt laut Operatorenliste ausdrücklich die Darstellung ausgehend von einem Ansatz: erst die Formel, dann das Einsetzen mit Einheiten, dann das Ergebnis. Eine nackte Zahl kostet die Ansatzpunkte, auch wenn sie stimmt.
„Skizzieren" Sie Feldlinienbilder mit vier bepunktbaren Merkmalen: Richtungspfeile, Beginn an der positiven Ladung, Ende an der negativen, senkrechter Austritt aus Leiteroberflächen.
„Begründen" Sie den vektoriellen Charakter von $\vec E$ über die Kraftrichtung auf eine Probeladung — nicht über die Formel; verlangt ist die physikalische Ursache, nicht die Schreibweise.
„Vergleichen" heißt: Gemeinsamkeiten UND Unterschiede kriteriengeleitet herausarbeiten. Bei Coulomb gegen Gravitation sind die Kriterien Abstandsgesetz, Vorzeichen und Größenordnung.
„Erläutern" Sie den Millikan-Versuch mit der richtigen Kernaussage: Beleg ist die Ganzzahligkeit der Vielfachen über viele Tröpfchen, nicht der Zahlenwert eines einzelnen.

Typische Fehler

Im Coulomb-Gesetz mit $1/r$ statt $1/r^2$ gerechnet. Prüfgriff: Verdoppelt man den Abstand, muss die Kraft auf ein Viertel fallen.
Beträge der Einzelfeldstärken addiert statt der Vektoren. Richtig ist die komponentenweise Addition $E_x = \sum E_{i,x}$ , $E_y = \sum E_{i,y}$ , danach $|\vec E| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}$ .
$U = E\,d$ auf ein radiales Feld angewandt. Die Beziehung gilt ausschließlich im homogenen Feld; um eine Punktladung nimmt $E$ mit $1/r^2$ ab, sodass die Spannung nicht linear mit dem Abstand wächst.
In $\vec E = \vec F/q$ die felderzeugende Ladung statt der Probeladung eingesetzt. $q$ ist immer die Ladung, auf die die Kraft wirkt.
Bei negativen Ladungen das Vorzeichen unterschlagen: Auf ein Elektron zeigt $\vec F$ ENTGEGEN $\vec E$ , es wird also zur positiven Platte hin beschleunigt.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Begründen Sie mit dem Superpositionsprinzip, warum das Feld im Inneren einer gleichmäßig geladenen Kugelschale überall null ist, außerhalb aber exakt dem Feld einer im Mittelpunkt sitzenden Punktladung gleicht. Übertragen Sie das Ergebnis auf die Abschirmwirkung eines Faradayschen Käfigs.

Aktive Wiederholung

Zwei gleich große Punktladungen $q = +2{,}0\,\text{nC}$ liegen $8{,}0\,\text{cm}$ voneinander entfernt. Bestimmen Sie Betrag und Richtung der elektrischen Feldstärke im Punkt P, der von beiden Ladungen jeweils $5{,}0\,\text{cm}$ entfernt ist, und begründen Sie ohne Rechnung, warum die zur Verbindungslinie parallelen Komponenten sich aufheben.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: Bildungsstandards im Fach Physik für die Allgemeine Hochschulreife (2020), Kap. 2.6.1 (Kultusministerkonferenz) · LEIFIphysik — Elektrisches Feld: Grundlagen, Versuche und Aufgaben (Joachim Herz Stiftung)

Potential, Spannung und Energie im elektrischen Feld#

~5 Min LesezeitStandardKMK 2.6.1Körper in statischen Feldern

Potential und potentielle Energie im elektrischen Feld

Abb. 3Potential ist eine Eigenschaft des FELDES, potentielle Energie eine Eigenschaft von Ladung UND Feld. Die Verwechslung ist die häufigste Fehlerquelle des Kapitels.

Wer eine Ladung im Feld verschiebt, verrichtet Arbeit — und zwar unabhängig vom gewählten Weg. Genau diese Wegunabhängigkeit erlaubt es, jedem Raumpunkt eine Zahl zuzuordnen: das Potential

\varphi

. Das elektrostatische Feld gehört damit zu den konservativen Feldern, ganz wie das Schwerefeld, und die gesamte Energiebuchführung der Mechanik lässt sich übertragen.

Das Potential allein ist nicht messbar, nur seine Differenz — und diese Differenz ist die Spannung:

U_{12} = \varphi_1 - \varphi_2

. Ein Potential anzugeben setzt daher immer einen willkürlich gewählten Nullpunkt voraus (im freien Raum das Unendliche, in Schaltungen die Masse). Die Spannung dagegen ist von dieser Wahl unabhängig. Wer beides gleichsetzt, verliert im Erwartungshorizont regelmäßig Punkte.

Für eine Punktladung fällt das Potential mit

1/r

ab — eine Potenz langsamer als die Feldstärke mit

1/r^2

. Das ist kein Zufall: Die Feldstärke ist die räumliche Änderungsrate des Potentials,

E = -\mathrm{d}\varphi/\mathrm{d}r

. Im homogenen Feld vereinfacht sich das zur bekannten Form

E = U/d

Die Energie, die eine Ladung

q

beim Durchlaufen der Spannung

U

aufnimmt, ist

W = q\,U

. Für ein aus der Ruhe beschleunigtes Elektron heißt das

\tfrac{1}{2}m_e v^2 = e\,U

— die Beschleunigungsspannung übersetzt sich unmittelbar in kinetische Energie. Man rechnet stets mit dem BETRAG der Ladung und entscheidet die Richtung durch physikalische Überlegung, nicht durch das Vorzeichen in der Formel.

Weil in der Atom- und Teilchenphysik ständig Ladungen durch Spannungen beschleunigt werden, hat sich eine eigene Energieeinheit eingebürgert:

1\,\text{eV} = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{J}

ist die Energie, die eine Elementarladung beim Durchlaufen von einem Volt gewinnt. Ein Elektron aus einer 400-V-Röhre trägt also schlicht

400\,\text{eV}

— die Einheit erspart die Umrechnung, verlangt aber, dass in jeder mit SI-Größen gemischten Rechnung zurückgerechnet wird.

Flächen gleichen Potentials — Äquipotentialflächen — stehen überall senkrecht auf den Feldlinien. Der Grund ist energetisch: Eine Bewegung längs einer solchen Fläche kostet keine Arbeit, also darf die Kraft keine Komponente in dieser Richtung haben. Im Plattenkondensator sind es Ebenen parallel zu den Platten, um eine Punktladung konzentrische Kugelschalen. Jede Leiteroberfläche im statischen Fall ist eine Äquipotentialfläche.

Vokabeln

→ Kartei

das Potentialpotentielle Energie je Ladung an einem Ort; Einheit Vnur relativ zu einem gewählten Bezugspunkt angebbar
die SpannungPotentialdifferenz zwischen zwei Punkten
die ÄquipotentialflächeFläche gleichen Potentials, steht senkrecht auf den Feldlinien
das ElektronenvoltEnergie einer Elementarladung nach Durchlaufen von 1 V; $1\,$eV $= 1{,}602\cdot 10^{-19}\,$J
konservativFeld, in dem die Verschiebearbeit wegunabhängig ist

Potential einer Punktladung

\varphi(r) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{r}

$\varphi$ in V, $q$ die felderzeugende Ladung in C, $r$ der Abstand vom Ladungsort in m; Bezugspunkt ist $\varphi(\infty) = 0$ .

Energie einer Ladung im Feld und Beschleunigungsspannung

W = q\,U,\qquad \tfrac{1}{2}m_e v^2 = e\,U

$W$ in J, $q$ die bewegte Ladung in C, $U$ die durchlaufene Spannung in V; rechts ist $m_e$ die Elektronenmasse in kg und $v$ die Endgeschwindigkeit in m/s.

Feldstärke als Gefälle des Potentials

E = -\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}r}

Das Minuszeichen sagt: Die Feldstärke zeigt in Richtung des STÄRKSTEN Potentialgefälles, also von hohem zu niedrigem Potential.

Musterlösung

Elektron in der Beschleunigungsröhre

Ein zunächst ruhendes Elektron durchläuft die Beschleunigungsspannung $U = 400\,\text{V}$ . Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit und prüfen Sie die Notwendigkeit einer relativistischen Rechnung.

Energieansatz aufstellen
Die gesamte vom Feld verrichtete Arbeit erscheint als kinetische Energie, da das Elektron aus der Ruhe startet und im Vakuum keine Reibung auftritt.
$e\,U = \tfrac{1}{2}\,m_e\,v^2$
Nach der Geschwindigkeit auflösen
Umstellen liefert $v = \sqrt{2eU/m_e}$ ; einsetzen: $v = \sqrt{2\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 400 / 9{,}109\cdot 10^{-31}}$ .
Zahlenwert auswerten
Der Radikand beträgt $1{,}407\cdot 10^{14}\,\text{m}^2/\text{s}^2$ , also $v \approx 1{,}19\cdot 10^7\,\text{m/s}$ .
Relativistische Korrektur prüfen
$v/c = 1{,}19\cdot 10^7 / 3{,}00\cdot 10^8 \approx 0{,}040$ . Der Lorentz-Faktor weicht damit um weniger als $0{,}1\,\%$ von eins ab — die klassische Rechnung ist gerechtfertigt. Erst ab etwa $U \approx 25\,\text{kV}$ wird die Korrektur in der zweiten Stelle sichtbar.

Ergebnis: Endgeschwindigkeit $v \approx 1{,}19\cdot 10^7\,\text{m/s}$ bei einer Energie von $400\,\text{eV}$ ; mit $v/c \approx 0{,}04$ genügt die klassische Beschreibung.

Abiturfokus

„Erläutern" Sie den Unterschied zwischen Potential und Spannung immer über die Bezugspunktwahl: Das Potential braucht einen willkürlichen Nullpunkt, die Spannung als Differenz nicht.
Bei „berechnen" der Endgeschwindigkeit im Beschleunigungsfeld führt der Energieansatz $eU = \tfrac12 m v^2$ schneller und sicherer zum Ziel als der Umweg über Kraft und Beschleunigung.
Prüfen Sie bei jedem Ergebnis oberhalb von etwa $10\%$ der Lichtgeschwindigkeit, ob relativistisch gerechnet werden muss — dieser Plausibilitätsschritt wird im Anforderungsbereich III erwartet.
„Skizzieren" Sie Äquipotentialflächen stets als Kurvenschar SENKRECHT zu den Feldlinien; die Begründung dafür ist die verschwindende Arbeit längs der Fläche.
„Beurteilen" Sie Energieangaben in eV, indem Sie die Größenordnung einordnen: chemische Bindungen einige eV, Röntgenquanten einige $10^4\,$ eV, Kernprozesse MeV.

Typische Fehler

Potential und Spannung gleichgesetzt. Eine Aufgabe, die „das Potential im Punkt P" verlangt, erwartet die Angabe des Bezugspunkts.
In $E_{\text{kin}} = e\,U$ das negative Vorzeichen der Elektronenladung mitgeführt und eine negative kinetische Energie erhalten. Es wird stets mit $|e|$ gerechnet.
Bei einer Punktladung das Bezugsniveau im Endlichen gewählt; die Formel $\varphi(r) = q/(4\pi\varepsilon_0 r)$ setzt $\varphi(\infty) = 0$ voraus.
eV und Joule in derselben Rechnung vermischt. Vor dem Einsetzen in $\tfrac12 m v^2$ muss in Joule umgerechnet werden.
Äquipotentialflächen parallel zu den Feldlinien gezeichnet statt senkrecht dazu.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie aus $W = \int \vec F\cdot \mathrm{d}\vec s$ und dem Coulomb-Gesetz das Potential $\varphi(r) = q/(4\pi\varepsilon_0 r)$ her und begründen Sie, warum das Integral wegunabhängig ist. Diskutieren Sie anschließend das Potential einer Hohlkugel: innen konstant, außen Coulomb-Form.

Aktive Wiederholung

Ein Elektron wird aus der Ruhe durch die Spannung $U = 400\,\text{V}$ beschleunigt. Berechnen Sie seine Endgeschwindigkeit und beurteilen Sie, ob eine relativistische Rechnung nötig ist. Geben Sie seine Energie zusätzlich in Elektronenvolt an.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema

Aktiv abrufen

Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Potential und Spannung im elektrischen Feld (Joachim Herz Stiftung) · OpenStax University Physics Volume 2 — Electric Potential (OpenStax (Rice University))

Der Kondensator als Ladungs- und Energiespeicher#

~6 Min LesezeitStandardKMK 2.6.1Feldkonzept

RC-Glied: Aufladen und Entladen eines Kondensators

Abb. 4Über den Widerstand R lädt die Quelle den Kondensator C auf; in Schalterstellung „entladen" fließt der Strom über denselben Widerstand zurück. Die Zeitkonstante ist in beiden Fällen τ = R·C.

Ein Kondensator speichert Ladung, indem er sie trennt: Auf der einen Platte sammelt sich ein Überschuss, auf der anderen ein gleich großer Mangel. Die aufgenommene Ladung wächst dabei streng proportional zur angelegten Spannung, und der Proportionalitätsfaktor

C = Q/U

heißt Kapazität. Sie ist eine reine Bauteileigenschaft — sie hängt von Geometrie und Füllmaterial ab, nicht davon, wie viel Ladung gerade gespeichert ist.

Für den Plattenkondensator folgt die Kapazität aus der Geometrie:

C = \varepsilon_0\varepsilon_r A/d

. Große Fläche und kleiner Abstand erhöhen sie. Die Einheit Farad ist im Alltag riesig —

1\,\text{F} = 1\,\text{C/V}

—, weshalb reale Bauteile in pF, nF oder µF angegeben werden; die Rechenbeispiele der Schule landen typischerweise bei einigen hundert Pikofarad.

Ein Dielektrikum zwischen den Platten erhöht die Kapazität um den Faktor

\varepsilon_r

. Der Mechanismus ist die Polarisation: Im elektrischen Feld richten sich Moleküldipole aus beziehungsweise werden induziert, ihre Oberflächenladungen erzeugen ein Gegenfeld, und das Gesamtfeld im Inneren sinkt. Bei fester Ladung sinkt damit die Spannung, bei fester Spannung strömt zusätzliche Ladung nach — in beiden Fällen steigt

Q/U

Die gespeicherte Energie ist

E_C = \tfrac{1}{2}CU^2 = \tfrac{1}{2}QU = Q^2/(2C)

. Der Faktor

\tfrac12

überrascht viele: Er entsteht, weil die Spannung während des Ladens von null auf

U

ANSTEIGT, die Ladungsportionen also im Mittel nur die halbe Endspannung durchlaufen. Wer welche der drei Formen wählt, richtet sich danach, welche zwei Größen gegeben sind.

Die Energie sitzt physikalisch im FELD, nicht auf den Platten. Das zeigt die Energiedichte

w = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_r E^2

: Sie ist eine lokale Größe, die überall dort von null verschieden ist, wo ein Feld herrscht. Diese Einsicht trägt später die elektromagnetische Welle, die Energie durch den leeren Raum transportiert, ganz ohne Ladungsträger.

In Schaltungen addieren sich Kapazitäten bei Parallelschaltung (

C_{\text{ges}} = \sum C_i

— die wirksame Fläche wächst), während bei Reihenschaltung die Kehrwerte addiert werden (

1/C_{\text{ges}} = \sum 1/C_i

— der wirksame Abstand wächst). Das ist genau umgekehrt zu Widerständen; die Merkhilfe ist die Geometrie, nicht das Auswendiglernen.

Über einen Widerstand geladen oder entladen, folgt die Kondensatorspannung einem Exponentialgesetz (siehe und 3):

u_C(t) = U_0\,e^{-t/\tau}

beim Entladen,

u_C(t) = U_0(1 - e^{-t/\tau})

beim Laden, mit der Zeitkonstante

\tau = R\,C

. Nach

t = \tau

sind erst rund

37\,\%

der Anfangsspannung übrig beziehungsweise

63\,\%

des Endwerts erreicht —

\tau

ist ausdrücklich NICHT die Dauer des Vorgangs, der theoretisch nie endet.

Vokabeln

→ Kartei

die KapazitätLadung je Spannung, $C = Q/U$; Einheit Farad
das Dielektrikumnichtleitendes Füllmaterial zwischen den Plattenerhöht die Kapazität um den Faktor $\varepsilon_r$
die PolarisationAusrichtung bzw. Induktion von Moleküldipolen im Feld
die ZeitkonstanteProdukt $\tau = R\,C$; nach $\tau$ sind 37 % der Anfangsspannung übrig
die Energiedichteim Feld je Volumen gespeicherte Energie in J/m³

Kapazität eines Kondensators

C = \dfrac{Q}{U},\quad C_{\text{Platte}} = \varepsilon_0\varepsilon_r\dfrac{A}{d}

Im Kondensator gespeicherte Energie

E_C = \tfrac{1}{2}\,C\,U^2 = \tfrac{1}{2}\,Q\,U = \dfrac{Q^2}{2\,C}

$E_C$ in J, $C$ die Kapazität in F, $U$ die Spannung in V, $Q$ die gespeicherte Ladung in C. Alle drei Formen sind gleichwertig — gewählt wird die mit den gegebenen Größen.

Energiedichte des elektrischen Feldes

w = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,E^2

$w$ in J/m³ ist die je Volumeneinheit im Feld gespeicherte Energie; $E$ die Feldstärke in V/m, $\varepsilon_r$ die dimensionslose Permittivitätszahl des Materials.

Entladen und Laden am RC-Glied

u_C(t) = U_0\,e^{-t/\tau}\quad\text{bzw.}\quad u_C(t) = U_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right),\qquad \tau = R\,C

$u_C$ die Kondensatorspannung in V, $U_0$ der Anfangs- bzw. Endwert in V, $t$ die Zeit in s, $\tau$ die Zeitkonstante in s ( $R$ in Ω, $C$ in F).

RC-Entladung — exponentieller Verlauf

Abb. 5Spannung am Kondensator fällt nach

U(t) = U_0 e^{-t/(RC)}

; nach

\tau = RC

ist

U

auf

36{,}8\%

abgefallen.

Spannungsverlauf U(t) = U₀ e⁻t/(RC) am Kondensator

Abb. 6Nach einer Zeitkonstanten \tau = RC ist U(t) auf 1/e ≈36,8\% gefallen.

Interaktive Grafik lädt…

Musterlösung

Plattenkondensator — Kapazität, Energie und die Wirkung des Dielektrikums

Ein Plattenkondensator hat die Plattenfläche $A = 200\,\text{cm}^2$ und den Plattenabstand $d = 1{,}00\,\text{mm}$ und liegt an $U = 200\,\text{V}$ . Berechnen Sie Kapazität und gespeicherte Energie. Beurteilen Sie anschließend, wie sich die Energie ändert, wenn bei angeschlossener Quelle ein Dielektrikum mit $\varepsilon_r = 4{,}0$ eingeschoben wird.

Kapazität aus der Geometrie
Mit $A = 200\,\text{cm}^2 = 2{,}00\cdot 10^{-2}\,\text{m}^2$ folgt $C = 8{,}854\cdot 10^{-12}\cdot 2{,}00\cdot 10^{-2}/1{,}00\cdot 10^{-3} \approx 1{,}77\cdot 10^{-10}\,\text{F} = 177\,\text{pF}$ .
$C = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\dfrac{A}{d}$
Gespeicherte Energie
$E_C = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}77\cdot 10^{-10}\cdot (200)^2 \approx 3{,}54\cdot 10^{-6}\,\text{J} = 3{,}54\,\mu\text{J}$ — winzig gegenüber einer Batterie, aber in Nanosekunden abrufbar.
$E_C = \tfrac{1}{2}\,C\,U^2$
Dielektrikum bei konstanter Spannung
Die Quelle bleibt angeschlossen, also bleibt $U = 200\,\text{V}$ fest. Die Kapazität vervierfacht sich auf $C' = 4{,}0\,C \approx 708\,\text{pF}$ , und weil $E_C \propto C$ bei festem $U$ gilt, vervierfacht sich auch die Energie auf $\approx 14{,}2\,\mu\text{J}$ .
Energiebilanz prüfen
Die zusätzliche Energie kann nicht aus dem Nichts stammen: Sie wird der Quelle entnommen, die die Ladung $\Delta Q = \Delta C\cdot U$ nachliefert. Die Quelle gibt dabei $\Delta Q\cdot U$ ab, wovon die Hälfte im Feld landet und die Hälfte beim Hineinziehen des Dielektrikums als Arbeit und Wärme umgesetzt wird.

Ergebnis: $C \approx 177\,\text{pF}$ , $E_C \approx 3{,}54\,\mu\text{J}$ ; mit $\varepsilon_r = 4{,}0$ bei konstanter Spannung $C' \approx 708\,\text{pF}$ und $E_C' \approx 14{,}2\,\mu\text{J}$ — die Energie vervierfacht sich, weil die Quelle Ladung nachschiebt.

Abiturfokus

„Berechnen" Sie die Energie mit der Form, die zu den gegebenen Größen passt: $\tfrac12 CU^2$ bei gegebener Spannung, $Q^2/(2C)$ bei gegebener Ladung — das erspart einen Zwischenschritt und damit eine Fehlerquelle.
Bei Dielektrikums-Aufgaben ist die erste Frage immer: bleibt die QUELLE angeschlossen (dann ist $U$ konstant) oder ist der Kondensator abgetrennt (dann ist $Q$ konstant)? Von dieser Unterscheidung hängt das gesamte Ergebnis ab.
„Erläutern" Sie die Wirkung des Dielektrikums über die Polarisation und das entstehende Gegenfeld — die bloße Angabe „ $C$ wird größer" beschreibt nur, erklärt aber nicht.
Lesen Sie die Zeitkonstante aus einem gemessenen Entladediagramm ab, indem Sie die Zeit bis zum Abfall auf $37\,\%$ bestimmen; alternativ linearisiert $\ln(u_C)$ gegen $t$ die Kurve, und die Steigung ist $-1/\tau$ .
„Beurteilen" Sie technische Größenordnungen: Ein Blitzlichtkondensator gibt seine Energie in Millisekunden ab, ein Netzteil-Elko glättet mit $\tau$ im Bereich zehntel Sekunden.

Typische Fehler

$E_C = QU$ statt $\tfrac12 QU$ verwendet. Der Faktor $\tfrac12$ folgt daraus, dass die Spannung beim Laden erst aufgebaut wird.
Die Formeln für Reihen- und Parallelschaltung mit denen für Widerstände vertauscht. Bei Kondensatoren addieren sich die Kapazitäten PARALLEL.
Das Dielektrikum in $C = \varepsilon_0\varepsilon_r A/d$ vergessen, obwohl $\varepsilon_r$ in der Aufgabe angegeben war.
Die Zeitkonstante $\tau$ als „Aufladezeit" gedeutet. Nach einer Zeitkonstante sind erst $63\,\%$ des Endwerts erreicht; als praktisch abgeschlossen gilt der Vorgang nach etwa $5\,\tau$ ( $> 99\,\%$ ).
Bei angeschlossener Quelle angenommen, die Ladung bleibe konstant. Die Quelle hält die SPANNUNG; die Ladung passt sich an.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Leiten Sie $E_C = \tfrac12 CU^2$ durch Integration von $\mathrm{d}W = u\,\mathrm{d}q$ mit $u = q/C$ her. Diskutieren Sie anschließend den Energieumsatz beim Einschieben eines Dielektrikums für beide Randbedingungen und erklären Sie, warum das Dielektrikum in BEIDEN Fällen in den Kondensator hineingezogen wird.

Aktive Wiederholung

Ein Plattenkondensator ( $A = 200\,\text{cm}^2$ , $d = 1{,}0\,\text{mm}$ ) liegt an $U = 200\,\text{V}$ . Berechnen Sie Kapazität und gespeicherte Energie. Beurteilen Sie anschließend, wie sich Ladung und Energie ändern, wenn ein Dielektrikum mit $\varepsilon_r = 4{,}0$ eingeschoben wird — einmal bei angeschlossener Quelle und einmal nach dem Abtrennen.

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Quellen: LEIFIphysik — Kondensator: Kapazität, Energie und Lade-/Entladevorgang (Joachim Herz Stiftung) · OpenStax University Physics Volume 2 — Capacitance (OpenStax (Rice University))

Magnetische Flussdichte und die Lorentz-Kraft#

~5 Min LesezeitStandardKMK 2.6.1Körper in statischen Feldern

Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule

Abb. 7Im Inneren homogen, außen wie ein Stabmagnet; Rechte-Faust-Regel zur Orientierung.

Magnetfelder entstehen durch bewegte Ladung — im Leiter durch den Strom, im Permanentmagneten durch die Kreisströme und Spins der Elektronen. Es gibt keine magnetischen Einzelladungen: Magnetfeldlinien haben weder Anfang noch Ende, sondern sind stets geschlossen. Das ist der auffälligste Strukturunterschied zum elektrischen Feld und ein beliebter Prüfungsgegenstand.

Als Feldgröße dient die magnetische Flussdichte

B

mit der Einheit Tesla,

1\,\text{T} = 1\,\text{N}/(\text{A}\,\text{m})

. Sie wird über die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter definiert:

F = B\,I\,\ell

für einen Leiter senkrecht zum Feld. Zur Einordnung: Das Erdmagnetfeld liegt bei etwa

50\,\mu\text{T}

, ein Hufeisenmagnet bei einigen

10\,\text{mT}

, ein Kernspintomograph bei

1{-}3\,\text{T}

Auf eine einzelne bewegte Ladung wirkt die Lorentz-Kraft

F_L = q\,v\,B\,\sin\alpha

, wobei

\alpha

der Winkel zwischen

\vec v

und

\vec B

ist. Zwei Grenzfälle sind entscheidend: Bewegt sich die Ladung PARALLEL zum Feld, ist die Kraft null; steht sie SENKRECHT dazu, ist sie maximal. Die Richtung liefert die Drei-Finger-Regel — für den technischen Stromrichtungssinn die rechte Hand, für die Bewegungsrichtung negativer Elektronen die linke.

Die Lorentz-Kraft steht immer senkrecht auf der Geschwindigkeit. Daraus folgt unmittelbar: Sie verrichtet KEINE Arbeit und kann den Betrag der Geschwindigkeit niemals ändern — nur die Richtung. Ein Magnetfeld allein beschleunigt ein Teilchen also nie im Sinne einer Energiezufuhr; wer in einer Aufgabe einen Energiegewinn im reinen B-Feld ausrechnet, hat sich verrechnet.

Tritt eine Ladung senkrecht in ein homogenes Magnetfeld ein, wirkt die Lorentz-Kraft als Zentripetalkraft und die Bahn wird ein Kreis mit

r = m\,v/(q\,B)

. Der Radius wächst mit Impuls und fällt mit Ladung und Feldstärke — das ist das Messprinzip jedes Massenspektrometers und jeder Blasenkammer. Bei schrägem Eintritt überlagert sich die unbeeinflusste Parallelkomponente und es entsteht eine Schraubenlinie.

Bemerkenswert ist, dass die Umlauffrequenz

f_c = q\,B/(2\pi m)

von der Geschwindigkeit UNABHÄNGIG ist: Ein schnelleres Teilchen läuft auf einem größeren Kreis, braucht aber dieselbe Zeit. Genau darauf beruht das Zyklotron, dessen Beschleunigungsspannung mit fester Frequenz umgepolt werden kann — bis relativistische Massenzunahme die Synchronität zerstört.

Vokabeln

→ Kartei

die magnetische FlussdichteFeldgröße $B$ des Magnetfelds; Einheit Tesla
die Lorentz-KraftKraft auf eine bewegte Ladung im Magnetfeldsteht stets senkrecht auf $\vec v$ und verrichtet keine Arbeit
die ZyklotronfrequenzUmlauffrequenz im homogenen B-Feld, unabhängig von $v$
der magnetische Monopoleinzelner magnetischer Polnicht beobachtet — daher sind Magnetfeldlinien geschlossen
die SchraubenlinieBahnform bei schrägem Eintritt ins Magnetfeld

Lorentz-Kraft

\vec F_L = q\,(\vec E + \vec v\times\vec B)

Betrag der Lorentz-Kraft auf eine bewegte Ladung

F_L = q\,v\,B\,\sin\alpha

$F_L$ in N, $q$ der Ladungsbetrag in C, $v$ die Geschwindigkeit in m/s, $B$ die magnetische Flussdichte in T, $\alpha$ der Winkel zwischen $\vec v$ und $\vec B$ .

Bahnradius und Zyklotronfrequenz bei senkrechtem Eintritt

r = \dfrac{m\,v}{q\,B},\qquad f_c = \dfrac{q\,B}{2\pi\,m}

$r$ in m, $m$ die Teilchenmasse in kg, $v$ die Bahngeschwindigkeit in m/s; $f_c$ in Hz ist die Umlauffrequenz und hängt NICHT von $v$ ab.

Musterlösung

Kreisbahn eines Elektrons im homogenen Magnetfeld

Ein Elektron tritt mit $v = 2{,}0\cdot 10^7\,\text{m/s}$ senkrecht in ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte $B = 5{,}0\,\text{mT}$ ein. Berechnen Sie den Bahnradius und die Umlauffrequenz.

Kraftansatz aufstellen
Die Lorentz-Kraft steht stets senkrecht auf $\vec v$ , ändert also nur die Richtung, nie den Betrag der Geschwindigkeit. Sie wirkt damit als Zentripetalkraft: $e\,v\,B = m_e\,v^2/r$ .
$r = \dfrac{m_e\,v}{e\,B}$
Radius auswerten
$r = 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 2{,}0\cdot 10^7 / (1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 5{,}0\cdot 10^{-3}) \approx 2{,}27\cdot 10^{-2}\,\text{m}$ .
Umlauffrequenz bestimmen
Aus $v = 2\pi r/T$ und dem Radius oben kürzt sich $v$ vollständig heraus — die Zyklotronfrequenz hängt nicht von der Geschwindigkeit ab. Zahlenwert: $f_c \approx 1{,}40\cdot 10^8\,\text{Hz}$ .
$f_c = \dfrac{e\,B}{2\pi\,m_e}$
Ergebnis einordnen
Ein Radius von rund $2{,}3\,\text{cm}$ passt in einen Tischaufbau — das ist der Grund, warum das Fadenstrahlrohr ein Schulversuch sein kann. Dass $f_c$ geschwindigkeitsunabhängig ist, ist das Konstruktionsprinzip des Zyklotrons: die Beschleunigungsspannung kann mit fester Frequenz umgepolt werden.

Ergebnis: Bahnradius $r \approx 2{,}3\,\text{cm}$ , Zyklotronfrequenz $f_c \approx 1{,}4\cdot 10^8\,\text{Hz} = 140\,\text{MHz}$ — unabhängig von der Eintrittsgeschwindigkeit.

Abiturfokus

„Begründen" Sie, warum die Lorentz-Kraft keine Arbeit verrichtet: Sie steht senkrecht auf $\vec v$ , also ist $\vec F\cdot\mathrm{d}\vec s = 0$ . Diese Argumentation wird häufiger geprüft als jede Zahlenrechnung dieses Abschnitts.
Geben Sie bei jeder Richtungsbestimmung ausdrücklich an, WELCHE Hand Sie benutzen und für welche Stromrichtung — technische Stromrichtung (rechte Hand) oder Elektronenbewegung (linke Hand).
Bei „berechnen" des Bahnradius zuerst den Kraftansatz $q v B = m v^2/r$ notieren; das Kürzen von $v$ ist der eigentlich bepunktete Schritt.
„Erläutern" Sie den Unterschied der Feldlinienbilder: elektrische Feldlinien beginnen und enden an Ladungen, magnetische sind stets geschlossen — es gibt keine magnetischen Monopole.
„Beurteilen" Sie Zahlenwerte über Vergleichsgrößen: Erdfeld $50\,\mu$ T, Schulmagnet einige zehn mT, MRT $1{-}3\,$ T.

Typische Fehler

Den Winkel in $F_L = q\,v\,B\sin\alpha$ ignoriert und stets $F = qvB$ gerechnet, obwohl die Bewegung schräg zum Feld verläuft.
Bei Elektronen die rechte statt der linken Hand verwendet und die Kraftrichtung damit um $180°$ gedreht.
Angenommen, das Magnetfeld beschleunige das Teilchen im Sinne einer Energiezufuhr. Die Bahngeschwindigkeit bleibt dem Betrag nach konstant.
Im Radius $r = mv/(qB)$ Masse und Ladung vertauscht. Kontrolle über die Einheiten: $\text{kg}\cdot\text{m}\,\text{s}^{-1}/(\text{C}\cdot\text{T})$ ergibt Meter.
Behauptet, magnetische Feldlinien liefen vom Nord- zum Südpol. Außerhalb des Magneten stimmt das, im Inneren laufen sie zurück — die Linien sind geschlossen.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zerlegen Sie beim schrägen Eintritt die Geschwindigkeit in Komponenten parallel und senkrecht zu $\vec B$ und zeigen Sie, dass die Bahn eine Schraubenlinie mit der Ganghöhe $h = v_\parallel\,T$ ist. Erklären Sie damit, wie geladene Teilchen des Sonnenwinds längs der Erdfeldlinien zu den Polen geführt werden.

Aktive Wiederholung

Ein Elektron tritt mit $v = 2{,}0\cdot 10^7\,\text{m/s}$ senkrecht in ein Magnetfeld mit $B = 5{,}0\,\text{mT}$ ein. Berechnen Sie Bahnradius und Umlauffrequenz und begründen Sie, warum sich die Frequenz nicht ändert, wenn das Elektron mit doppelter Geschwindigkeit einträte.

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Quellen: LEIFIphysik — Magnetisches Feld und Lorentzkraft (Joachim Herz Stiftung)

Geladene Teilchen in gekreuzten Feldern — der Geschwindigkeitsfilter#

~4 Min LesezeitVertiefungKMK 2.6.1Körper in statischen Feldern

Gekreuzte Felder — Wien-Filter und Massenspektrometer

Abb. 8Im gekreuzten Feld gibt es genau EINE Geschwindigkeit, bei der sich elektrische und magnetische Kraft aufheben. Darauf beruhen beide Geräte.

Stehen ein elektrisches und ein magnetisches Feld senkrecht aufeinander und durchquert eine Ladung beide senkrecht, so wirken zwei Kräfte gegeneinander: die elektrische Kraft

qE

, die nicht von der Geschwindigkeit abhängt, und die Lorentz-Kraft

qvB

, die proportional zu

v

wächst. Genau ein Geschwindigkeitswert bringt beide ins Gleichgewicht.

Aus

q\,E = q\,v\,B

folgt sofort

v = E/B

— die Ladung kürzt sich vollständig heraus. Der Filter selektiert also allein nach GESCHWINDIGKEIT, unabhängig von Ladung, Vorzeichen und Masse des Teilchens. Diese Unabhängigkeit ist die eigentliche Pointe und wird regelmäßig als Begründung verlangt.

Teilchen, die zu schnell sind, überwiegen mit der Lorentz-Kraft und werden zur einen Seite abgelenkt; zu langsame folgen der elektrischen Kraft zur anderen. Nur der schmale Strahl mit

v = E/B

passiert die Blende geradlinig. Die Anordnung heißt nach ihrem Erfinder auch Wien-Filter.

In der Praxis wird das elektrische Feld über einen Plattenkondensator erzeugt, sodass

E = U/d

gilt und die Auswahlgeschwindigkeit über die leicht einstellbare Spannung geregelt wird:

v = U/(d\,B)

. Damit lässt sich ein Massenspektrometer zweistufig aufbauen — der Filter macht die Geschwindigkeit einheitlich, ein nachgeschaltetes reines Magnetfeld trennt dann über

r = mv/(qB)

nach der spezifischen Ladung

q/m

Der Aufbau ist ein Musterbeispiel des KMK-Basiskonzepts „Superposition und Komponenten": Zwei unabhängig wirkende Kräfte werden vektoriell überlagert, und die Bedingung für die geradlinige Bahn ist schlicht, dass ihre Summe verschwindet — dieselbe Denkfigur wie beim Kräftegleichgewicht der Mechanik.

Vokabeln

→ Kartei

der GeschwindigkeitsfilterAnordnung gekreuzter Felder, die nach $v = E/B$ selektiertauch Wien-Filter
gekreuzte Feldersenkrecht zueinander stehendes E- und B-Feld
die spezifische LadungVerhältnis $q/m$ eines Teilchens

Auswahlbedingung des Geschwindigkeitsfilters

q\,E = q\,v\,B \;\Longrightarrow\; v = \dfrac{E}{B} = \dfrac{U}{d\,B}

$v$ in m/s ist die einzige Geschwindigkeit, die den Filter geradlinig passiert; $E$ in V/m, $B$ in T, $U$ die Kondensatorspannung in V und $d$ der Plattenabstand in m. Die Ladung $q$ kürzt sich heraus.

Musterlösung

Auswahlgeschwindigkeit eines Wien-Filters

Ein Geschwindigkeitsfilter besteht aus einem Plattenkondensator mit $U = 300\,\text{V}$ und Plattenabstand $d = 5{,}0\,\text{mm}$ sowie einem dazu senkrechten Magnetfeld der Flussdichte $B = 12\,\text{mT}$ . Berechnen Sie die Geschwindigkeit der geradlinig durchtretenden Teilchen.

Gleichgewichtsbedingung aufstellen
Damit die Bahn geradlinig bleibt, muss die resultierende Kraft verschwinden: Die elektrische Kraft und die Lorentz-Kraft sind entgegengesetzt gleich groß.
$q\,E = q\,v\,B$
Feldstärke aus der Spannung
Zwischen den Platten ist das Feld homogen: $E = U/d = 300\,\text{V}/5{,}0\cdot 10^{-3}\,\text{m} = 6{,}0\cdot 10^4\,\text{V/m}$ .
Geschwindigkeit auswerten
$v = 6{,}0\cdot 10^4 / 12\cdot 10^{-3} = 5{,}0\cdot 10^6\,\text{m/s}$ .
$v = \dfrac{E}{B}$
Unabhängigkeit prüfen
In keiner Zeile der Rechnung tauchen Masse oder Ladung auf — $q$ kürzt sich bereits im ersten Schritt. Zweifach geladene Ionen würden bei derselben Geschwindigkeit ebenso geradlinig passieren. Mit $v/c \approx 0{,}017$ ist zudem die klassische Rechnung zulässig.

Ergebnis: Auswahlgeschwindigkeit $v = 5{,}0\cdot 10^6\,\text{m/s}$ — für ALLE Teilchen gleich, unabhängig von Ladung und Masse.

Typische Fehler

Angenommen, der Filter selektiere nach Masse oder Ladung. Er selektiert ausschließlich nach Geschwindigkeit.
Die Felder parallel statt gekreuzt gezeichnet; bei parallelen Feldern gibt es kein Gleichgewicht dieser Art.
$E$ in Volt statt in V/m eingesetzt — der Plattenabstand wurde vergessen. Zwischen Platten gilt $E = U/d$ .
Angenommen, im Filter ändere sich die Geschwindigkeit. Im Gleichgewichtsfall ist die resultierende Kraft null, die Bewegung also gleichförmig geradlinig.
Die Rechnung nur mit Beträgen geführt und dann behauptet, auch die Richtung sei gezeigt. Für die geradlinige Bahn müssen die beiden Kräfte ENTGEGENGESETZT gerichtet sein.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Schließen Sie an den Filter ein reines Magnetfeld $B_2$ an und zeigen Sie, dass sich aus dem Bahnradius die spezifische Ladung als $q/m = v/(r\,B_2)$ ergibt. Diskutieren Sie, welche Messunsicherheiten (Blendenbreite, Feldinhomogenität) die Trennschärfe eines solchen Spektrometers begrenzen.

Aktive Wiederholung

Ein Geschwindigkeitsfilter arbeitet mit einem Plattenkondensator ( $U = 300\,\text{V}$ , $d = 5{,}0\,\text{mm}$ ) und einem dazu senkrechten Magnetfeld $B = 12\,\text{mT}$ . Berechnen Sie die Auswahlgeschwindigkeit und begründen Sie, ob sich das Ergebnis ändert, wenn statt Elektronen zweifach geladene Ionen eingeschossen werden.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Wien-Filter und Massenspektrometer (Joachim Herz Stiftung)

Ablenkung im transversalen E-Feld — die Braunsche Röhre#

~4 Min LesezeitVertiefungKMK 2.6.1Körper in statischen Feldern

Plattenkondensator — homogenes E-Feld

Abb. 9Zwischen den Platten herrscht ein nahezu homogenes elektrisches Feld

E = U/d

Ein Elektron, das mit der Geschwindigkeit

v_x

waagerecht in einen Plattenkondensator eintritt, erfährt eine konstante Kraft senkrecht zu seiner Bewegung. Das ist rechnerisch exakt die Situation des waagerechten Wurfs: gleichförmige Bewegung längs

x

, gleichmäßig beschleunigte Bewegung längs

y

— nur ist die Ursache hier das elektrische statt das Schwerefeld.

Die beiden Bewegungen laufen unabhängig voneinander ab; das ist erneut das Superpositionsprinzip. Mit

x = v_x t

und

y = \tfrac12 a t^2

ergibt das Eliminieren der Zeit eine PARABEL:

y(x) = \tfrac12\,a\,x^2/v_x^2

. Die Bahn im Plattenbereich ist also parabelförmig, danach — feldfrei — geradlinig.

Die Querbeschleunigung folgt aus der elektrischen Kraft:

a = e\,E/m_e = e\,U_y/(m_e\,d)

, wobei

U_y

die Ablenkspannung und

d

der Plattenabstand ist. Die Eintrittsgeschwindigkeit stammt aus der vorgeschalteten Beschleunigungsstrecke,

\tfrac12 m_e v_x^2 = e\,U_B

Setzt man beides zusammen, kürzen sich Ladung und Masse vollständig heraus und es bleibt die bemerkenswert einfache Ablenkformel

y = U_y\,\ell^2/(4\,d\,U_B)

am Ende der Platten. Die Ablenkung hängt also nur von zwei Spannungen und der Geometrie ab — nicht davon, welches geladene Teilchen fliegt.

Weil

y

PROPORTIONAL zur Ablenkspannung ist, wird die Anordnung zum Messinstrument: Genau darauf beruhte die Braunsche Röhre des Analogoszilloskops, bei der ein zweites Plattenpaar senkrecht dazu die Zeitablenkung übernimmt. Eine Verdopplung von

U_y

verdoppelt den Ausschlag exakt.

Die Rechnung ist nur gültig, solange das Elektron die Platten nicht berührt: Die Ablenkung am Plattenende muss kleiner als der halbe Plattenabstand bleiben. Diese Kontrolle gehört ausdrücklich zur Lösung und wird als eigener Bewertungspunkt geführt.

Vokabeln

→ Kartei

die AblenkspannungSpannung am Querplattenpaar, erzeugt die Ablenkung
die BeschleunigungsspannungSpannung der vorgeschalteten Strecke, legt $v_x$ fest
die Braunsche RöhreElektronenstrahlröhre mit zwei Ablenkplattenpaaren

Bahnkurve im transversalen Feld

y(x) = \dfrac{1}{2}\,\dfrac{a}{v_x^2}\,x^2,\qquad a = \dfrac{e\,U_y}{m_e\,d}

$y$ die Querablenkung in m, $x$ der zurückgelegte Weg längs der Platten in m, $a$ die Querbeschleunigung in m/s², $v_x$ die konstante Eintrittsgeschwindigkeit in m/s, $U_y$ die Ablenkspannung in V, $d$ der Plattenabstand in m.

Ablenkung am Plattenende

y = \dfrac{U_y\,\ell^2}{4\,d\,U_B}

$\ell$ die Plattenlänge in m, $U_B$ die vorgeschaltete Beschleunigungsspannung in V. Ladung und Masse kürzen sich heraus — die Ablenkung ist teilchenunabhängig.

Musterlösung

Ablenkung eines Elektrons im Plattenkondensator

$U_B = 2{,}0\,\text{kV}$ , Plattenlänge $\ell = 6{,}0\,\text{cm}$ , Plattenabstand $d = 2{,}0\,\text{cm}$ , Ablenkspannung $U_y = 300\,\text{V}$ . Berechnen Sie die Ablenkung am Plattenende und den Austrittswinkel.

Bewegung zerlegen
Längs der Platten bleibt die Bewegung gleichförmig mit $v_x$ aus $\tfrac12 m_e v_x^2 = e\,U_B$ ; quer dazu wirkt die konstante Beschleunigung $a = e\,U_y/(m_e\,d)$ . Zeit im Feld: $t = \ell/v_x$ .
Zur kompakten Form zusammenfassen
Setzt man $t$ und $a$ in $y = \tfrac12 a t^2$ ein, kürzen sich $e$ und $m_e$ vollständig heraus und es bleibt die reine Spannungs-Geometrie-Formel.
$y = \dfrac{U_y\,\ell^2}{4\,d\,U_B}$
Zahlenwerte einsetzen
$y = 300\cdot (0{,}060)^2 / (4\cdot 0{,}020\cdot 2000) = 1{,}08 / 160 \approx 6{,}75\cdot 10^{-3}\,\text{m}$ .
Durchtritt kontrollieren
Der halbe Plattenabstand beträgt $d/2 = 10\,\text{mm}$ . Wegen $6{,}75\,\text{mm} < 10\,\text{mm}$ verlässt das Elektron das Plattenpaar, ohne aufzutreffen.
Austrittswinkel bestimmen
Für die Parabel gilt $\tan\alpha = v_y/v_x = 2y/\ell = 2\cdot 6{,}75\cdot 10^{-3}/0{,}060 = 0{,}225$ , also $\alpha \approx 12{,}7°$ .

Ergebnis: Ablenkung am Plattenende $y \approx 6{,}8\,\text{mm}$ — kleiner als $d/2 = 10\,\text{mm}$ , das Elektron passiert die Platten; Austrittswinkel $\alpha \approx 13°$ .

Abiturfokus

Zerlegen Sie die Bewegung explizit in $x$ - und $y$ -Richtung und benennen Sie beide Teilbewegungen — „gleichförmig" und „gleichmäßig beschleunigt". Diese Zerlegung ist der Ansatz, den der Operator „berechnen" fordert.
Prüfen Sie am Ende IMMER, ob $y < d/2$ gilt, und schreiben Sie das Ergebnis dieser Prüfung hin; ohne sie ist die Lösung unvollständig.
„Begründen" Sie die Parabelform durch Elimination der Zeit aus den beiden Weg-Zeit-Gesetzen — nicht durch den Verweis auf den waagerechten Wurf allein.
„Erläutern" Sie, warum die Ablenkung nicht von der Teilchenart abhängt: In $y = U_y\ell^2/(4dU_B)$ kommen weder $e$ noch $m$ vor.
„Beurteilen" Sie die Linearität $y \propto U_y$ als Grundlage der Oszilloskop-Messung.

Typische Fehler

Die Ablenkung mit der Länge der Gesamtröhre statt mit der Plattenlänge $\ell$ gerechnet. Beschleunigt wird nur im Feldbereich; danach fliegt das Elektron geradeaus.
Angenommen, im Plattenbereich wachse auch $v_x$ . Die Kraft steht senkrecht auf $v_x$ , die Längskomponente bleibt konstant.
Die Bahn als Kreis statt als Parabel beschrieben — der Kreis gehört zum homogenen MAGNETfeld, die Parabel zum homogenen elektrischen Feld.
Die Kontrolle $y < d/2$ unterlassen und ein physikalisch unmögliches Ergebnis stehen gelassen.
Ablenkspannung $U_y$ und Beschleunigungsspannung $U_B$ vertauscht. Ein Blick auf die Formel hilft: $U_B$ steht im NENNER — eine schnellere Eintrittsgeschwindigkeit lenkt weniger ab.

LK-Vertiefung

eA-Vertiefung: Zeigen Sie, dass die rückwärtige Verlängerung der Austrittsgeraden die Mittellinie genau in der MITTE der Platten schneidet, und leiten Sie daraus die Ablenkung auf einem Schirm im Abstand $L$ hinter den Platten als $Y = y\,(1 + 2L/\ell)$ her.

Aktive Wiederholung

Ein Elektron wird durch $U_B = 2{,}0\,\text{kV}$ beschleunigt und tritt anschließend mittig in ein Plattenpaar der Länge $\ell = 6{,}0\,\text{cm}$ mit Abstand $d = 2{,}0\,\text{cm}$ ein, an dem $U_y = 300\,\text{V}$ anliegen. Berechnen Sie die Ablenkung am Plattenende, prüfen Sie, ob das Elektron die Platten passiert, und bestimmen Sie den Austrittswinkel.

Passende Aufgaben üben70 Fragen zum Thema

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Erinnere dich an die Kernpunkte — dann aufdecken.

Quellen: LEIFIphysik — Bewegung geladener Teilchen im elektrischen Feld (Joachim Herz Stiftung)

Stand 05/2026Vollständige Fassung über den Tiefenregler — gleiche Stelle, gleiche Anker

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Belege & Quellen

Quellen

Kultusministerkonferenz

Bildungsstandards im Fach Physik für die Allgemeine Hochschulreife (2020), Kap. 2.6.1

Joachim Herz Stiftung

OpenStax (Rice University)

Siehe auch